统考版2022届高考数学一轮复习第二章2.3函数的奇偶性与周期性学案理含解析20210423110

1、第三节函数的奇偶性与周期性【知识重温】一、必记3 个知识点1. 函数的奇偶性奇偶性定义图象特点如果函数f(x)的定义域内 x偶函数都有 ，那么函数f( x)是偶函数关于 对称如果函数f(x)的定义域内 x奇函数都有 ，关于 对称那么函数f( x)是奇函数2. 奇偶函数的性质(1) 奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 ，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 ( 填“相同”、“相反”)(2) 在公共定义域内( )两个奇函数的和函数是 ，两个奇函数的积函数是 . ( )两个偶函数的和函数、积函数是? .( )一个奇函数与一个偶函数的积函数是? .(3) 若 f(x)是奇函数且在x 0 处有意义，则

2、f (0) ? .3. 函数的周期性(1) 周期函数：对于函数y f(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x 取定义域内的任何值时， 都有 f(x t)? ，那么就称函数y f(x)为周期函数，称t 为这个函数的周期(2) 最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中? 的正数， 那么这个? 就叫做 f(x)的最小正周期1(3) 常见结论： 若 f (x a) f(x)，则 t 2a；若 f(x a) f x，则 t2a；若 f (x a) 1 ，f x则 t2a.二、必明2 个 易 误 点1判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是判断函数具有奇偶性的一个

3、必要条件2判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有 f ( x) f(x)或 f( x) f(x)，而不能说存在x0 使 f( x0) f(x0)、f( x0) f(x0 )【小题热身】一、判断正误1. 判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1) “ ab 0”是“函数f(x)在区间 a， b( a b)上具有奇偶性”的必要条件() (2)若函数 f(x)是奇函数，则必有f(0) 0.()(3)若函数 y f( xa)是偶函数，则函数y f (x)的图象关于直线x a 对称 () (4)若函数 y f( xb)是奇函数，则函数y f (x)的图象关于点(

4、b,0)中心对称 ()(5) 已知函数yf(x)是定义在r 上的偶函数，若在(， 0)上是减函数，则在(0 ， )上是增函数()(6) 若 t 为 y f( x)的一周期，那么nt(n z)是函数 f(x)的周期 ()二、教材改编2. 下列函数中为奇函数的是() a y x2sin xb y x2cos xc. y |ln x|d y 2 x3. 已知函数f( x)是定义域为r 的奇函数，当x 0 时， f(x) x(1x)，则 f(x)的解析式为 三、易错易混4. 关于函数f(x)x244 x2与 h(x)x 44x的奇偶性，下列说法正确的是()a 两 函 数 均 为 偶 函 数b两函数都既

5、是奇函数又是偶函数 c函数 f(x)是偶函数， h(x)是非奇非偶函数d. 函数 f(x)既是奇函数又是偶函数，h( x)是非奇非偶函数5. 设 f (x)为奇函数，且在(， 0)内是减函数， f (2) 0，则a x|x< 2 或 x>2b x|x< 2 或 0< x<2c x|2< x<0 或 x>2d x| 2<x<0 或 0<x<2四、走进高考f xx <0 的解集为 ()62019 ·全国卷 已知 f(x)是奇函数，且当 x<0 时，f (x) eax.若 f (ln 2) 8，则 a .考

6、点一函数的奇偶性分层深化型 考向一：判断函数的奇偶性12021 ·成都市高三阶段考试已知 y f(x)是定义在r 上的奇函数， 则下列函数中为奇函数的是 ()yf(|x|)； y f( x)； y xf(x)； y f(x) x. a b cd 2判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)3 x2x2 3；(2)f(x) (1 x)1 x；1 xlg 1 x2 (3)f(x) |x2| 2；x2 x， x<0，(4)f(x) x2 x， x>0.考向二：函数奇偶性的应用3(1)2019全·国卷 设 f(x)为奇函数， 且当 x 0 时，f(x) ex1，则当 x<

7、;0 时，f(x) ()eea x 1b e x 1cx1d e x 1(2)2021浙·江高三月考 若函数 f (x)x为奇函数，则实数a 的值为 x 2x a悟·技法1. 判断函数奇偶性的三种方法(1) 定义法(2) 图象法(3) 性质法设 f(x)，g(x)的定义域分别是d 1，d2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇， 奇× 奇偶， 偶偶偶，偶× 偶偶，奇 × 偶奇2. 函数奇偶性的应用(1) 求函数值：将特求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值(2) 求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求

8、出(3) 求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x) ±f( x) 0 得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值(4) 画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象(5) 求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值 注意 对于定义域为i 的奇函数f( x)，若 0 i，则 f(0) 0.考点二函数的周期性 互动讲练型 例 1(1)2021绵·阳模拟 函数 f(x)2x 1， 1 x<3 ，f x 4 ， x 3，则 f(9) .1(2)已知定义在r 上的函数f(x)满足 f

9、(x 2)f x，当 x 0,2) 时， f(x) x ex，则 f(2 020) .悟·技法1. 求函数周期的方法方法解读适合题型具体步骤为：对于函数yf(x)，如果能够找到一个非零定义法递推法常数 t，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有f (xt) f(x)，那么 t 就是函数y f(x)的周期采用递推的思路进行，再结合定义确定周期如：若f(x a) f(x)，则 f (x 2a)f(x a) a f(x a) f( x)，所以 2a 为 f(x)的一个周期非零常数t 容易确定的函数含有 f(xa)与 f (x)的关系式换元法通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：若 f

10、(x a) f(xa)，令 x a t，则 x t a，则 f(t 2a) f(t a a) f(t a a) f(t)，所以 2a 为 f(x)的一个周期f(bx±a) f(bx±c)型关系式2. 函数周期性的应用根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能在解决具体问题时，要注意结论：若t 是函数的周期，则kt( k z 且 k 0)也是函数的周期.变式练 (着眼于举一反三)11. 已知定义在r上的函数满足f(x 2) f x，当x (0,2 时， f(x) 2x 1.则 f(17) ， f(20

11、) .2. 已知 f(x)是 r 上最小正周期为2 的周期函数，且当0 x<2 时， f (x) x3 x，则函数y f( x)的图象在区间 0,6 上与 x 轴的交点个数为 考点三函数性质的综合应用分层深化型 考向一：单调性与奇偶性的综合例 22020 ·山东卷 若定义在r 的奇函数f(x)在(， 0)单调递减，且f(2) 0，则满足xf(x 1) 0 的 x 的取值范围是()a 1,1 3 ， )b 3， 1 0,1c 1,0 1 ， )d 1,0 1,3考向二：周期性与奇偶性结合例 32018 ·全国卷 已知 f(x)是定义域为 (， ) 的奇函数，满足f(1

12、x) f(1 x)若 f(1) 2，则 f(1) f(2) f(3) f(50) ()a 50b 0c 2d 50考向三：单调性、奇偶性和周期性结合例 42021 ·青岛二中模拟 已知定义在r 上的函数f(x)满足： f(x 2) f(x)； f(x 2)为奇函数；当x 0,1) 时， f x1 f x2x1 x2 15>0( x1 x2)恒成立，则f211， f(4)， f2的大小关系正确的是 ()11a f2>f(4)> f 15211b f(4)> f2>f 1522c f 1511>f(4)> f2df 15 2>f 112&g

13、t;f(4)悟·技法函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1) 函数单调性与奇偶性的综合解此类问题常利用以下两个性质： 如果函数f(x)是偶函数， 那么 f(x)f(|x|) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(2) 周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3) 单调性、奇偶性与周期性的综合解决此类问题通常先利用周期性、奇偶性转化自变量所在的区间，然后利用单调性求解.同类练 (着眼于触类旁通)232020 ·全国卷 设函数 f(x)

14、ln|2x 1| ln|2x 1|，则 f(x)() a是偶函数，且在1，单调递增2，2b. 是奇函数，且在 11单调递减2c. 是偶函数，且在， 12d. 是奇函数，且在， 1 变式练 (着眼于举一反三)单调递增单调递减42021 ·武昌区调研考试已知 f(x)是定义域为r 的奇函数，且函数y f(x1)为偶函数，2当 0 x 1 时， f(x)x3，则 f 5 .拓展练 (着眼于迁移应用)52021 ·广东珠海模拟 定义在 r 上的函数 f(x)满足 f(x) f(2 x) ，f(x) f(x)，且在 0,1上有 f(x)x2，则 f 2 019 12 ()91a.4b

15、.444c 9d 16已知定义在 r 上的奇函数 f(x)满足 f(x 4) f (x)，且在区间 0,2 上是增函数， 则( ) a f( 25)< f(11)< f(80)b f(80)< f(11)< f( 25) c f(11)< f(80)< f( 25) d f( 25)< f(80)< f(11)第三节函数的奇偶性与周期性【知识重温】任意一个 f( x) f(x) y 轴 任意一个 f( x) f(x) 原点 相同相反奇函数偶函数? 偶函数? 奇函数? 0? f(x)? 存在一个最小? 最小正数【小题热身】1答案： (1) (2)&

16、#215;(3)(4) (5)(6)×2解析： a 是奇函数， b 是偶函数， c， d 是非奇非偶函数 答案： a3解析： 当 x<0 时， x>0，f( x) ( x)(1 x) x(1 x) 又 f (x)为奇函数，f( x) f(x)， f (x) x(1 x)，即 f (x) x(1 x) x 1 x ， x 0答案： f(x)x 1 x ， x<0x2 40，4. 解析： 函数 f(x) x2 44 x2的定义域满足4 x2 0，即 x2 4，因此函数f(x)的定义域为 2,2 ，关于原点对称，此时f(x)0，满足f ( x) f (x)， f( x)

17、f(x)，所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数而函数 h(x)x 44 x的定义域为 4 ，不关于原点对称， 因此函数h(x)是非奇非偶函数答案： d5. 解析： f(x)为奇函数，且在( ， 0)内是减函数，函数 f(x)在 (0， )上也为减函数f (2) 0， f( 2) f(2) 0，故函数f(x)的大致图象如图所示则由f xx<0，可得 xf(x)<0，即 x 和 f(x) 异号，由图象可得x< 2 或 x>2.故f xx<0 的解集为 x|x< 2 或 x>2 ，故选 a.答案： ae6. 解析： 解法一由 x>0 可得 x<

18、0，由 f(x)是奇函数可知f( x) f(x)，x>0 时， f(x) f ( x) ea( x) 则 f (ln 2) e aln 2 8， aln 2 ln 8 3ln 2 ， a 3. ax，解法二由 f(x)是奇函数可知f( x) f(x)，) (ealnf (ln 2) f(ln122aln 1 ln 8 3ln 2 ，12) 8，a 3.答案： 3课堂考点突破考点一1解析： 因为 y f(x)是定义在r 上的奇函数，所以f ( x) f(x)，由 f(| x|) f(|x|)，知 是偶函数； 由 f ( x) f(x) f( x)，知 是奇函数； 由 y f(x)是定义在r

19、 上的奇函数，且 y x 是定义在 r 上的奇函数，奇× 奇偶，知 是偶函数；由f( x) (x) f(x) x， 知 是奇函数答案： d2解析： (1) 由3 x2 0， x2 3 0，得 x2 3，解得 x ± 3，即函数 f(x)的定义域为 3， 3 ，f(x)3 x2x2 3 0.f( x) f(x)且 f ( x) f(x)，函数 f(x)既是奇函数又是偶函数 1 x(2) 由(3) 由 0 得 1 x<1 ，所以 f(x)的定义域为 1,1)，所以函数f(x)是非奇非偶函数1 x1x2 >0，得定义域为 ( 1,0) (0,1)，关于原点对称|x 2

20、|2，x2<0 ， |x 2| 2 x， f(x)lg 1 x2. x又 f ( x)lg1 x 2xlg 1x2x f(x)，函数 f(x)为奇函数(4)显然函数f(x)的定义域为 ( ， 0) (0， )，关于原点对称 当 x<0 时， x>0， 则 f ( x) ( x)2 x x2 x f(x) ；当 x>0 时， x<0 ，则 f( x) ( x)2x x2 x f(x)； 综上可知，对于定义域内的任意x，总有 f( x) f(x)， 函数 f(x)为奇函数3解析： (1) 当 x<0 时， x>0，因为当x0 时， f(x) ex 1，所以

21、 f( x) ex 1.又因为 f(x)为奇函数，所以f( x) f( x) ex1.故选 d 项(2)由于函数f(x)为奇函数，故f( x) f(x) 0， x即 x2x ax x 2x a 0，4 2a x2即x 2 x2x ax a 0，故 4 2a 0，即 a 2.答案： (1)d(2)2考点二例 1解析： (1) f(9) f(94) f (5) f(5 4) f(1) 2× 1 1 1.11(2)因为定义在r 上的函数 f (x)满足 f (x 2)f x ，所以 f(x 4) f x 2 f(x)，所以函数 f(x)的周期为4.当 x 0,2) 时， f(x) xex，

22、所以 f(2 020) f (505×4 0) f(0) 0 e0 1.答案： (1)1(2)1变式练11. 解析： 因为 f(x2) f x ，1所以 f(x 4)f x 2 f(x)，所以函数y f(x)的周期 t 4.f(17) f(4 ×4 1) f(1) 1.3111f(20) f(4 ×4 4) f(4) f(2 2) f 2 2× 2答案： 113. 12. 解析： 因为当 0 x<2 时， f(x) x3x，又 f(x)是 r 上最小正周期为2 的周期函数，且f(0) 0，则 f(6) f(4) f(2) f(0) 0.又 f(1)

23、 0， f(3) f(5) f(1) 0，故函数yf(x)的图象在区间0,6 上与 x 轴的交点有7个答案： 7考点三例 2解析： 由题意知f( x)在( ， 0)， (0， )单调递减，且f( 2) f(2) f(0) 0.当x>0 时，令 f(x 1) 0，得 0 x 1 2， 1 x 3；当 x<0 时，令 f(x 1) 0，得 2 x 1 0， 1x 1，又 x<0， 1 x<0；当 x 0 时，显然符合题意综上，原不等式的解集为1,0 1,3 ，选 d.答案： d例 3解析： f( x)是奇函数， f( x) f(x)， f (1 x) f(x 1)由 f(1

24、 x) f(1 x)， f(x1) f(x 1)， f (x 2) f(x)， f (x 4) f(x 2) f(x) f (x)， 函数 f(x)是周期为4 的周期函数 由 f (x)为奇函数得f(0) 0.又 f(1x)f(1 x)， f (x)的图象关于直线x1 对称， f (2) f(0) 0， f( 2) 0.又 f (1) 2， f ( 1) 2， f (1) f(2) f(3) f(4) f(1) f(2) f( 1) f(0) 2 0 2 0 0， f (1) f(2) f(3) f(4) f(49) f(50) 0×12 f(49) f(50) f(1) f (2)

25、 2 0 2.故选 c.答案： c例 4解析： 由 f( x2) f(x)可知函数f( x)的周期为 2，所以 f( x) f(x 2)，又 f (x 2)为奇函数，所以f( x)为奇函数，所 以 f 152 f 1512 2× 4 f 2 ，f(4) f(4 2× 2) f(0) 0.f 11 f 11 2× 3 f 1 ，222又 x 0,1) 时， f(x)单调递增故奇函数f(x) 在( 1,1)上单调递增11所以 f2 >f (0)> f 2 ，即 f 15112>f(4)> f2.答案： c同类练3. 解析：|2x1|>0，|2x1|>0? x x x ±1， xr， 函数f( x)的定义域关于原点对称，2又 f( x) ln| 2x 1| ln| 2x1| ln|2x 1| ln|2x 1| f(x)， f(x)是奇函数，排除a 、112 2c；当 x ，时，f(x) ln(2 x 1) ln(1 2x)，则 f (x)4>0， f(x)221112x 11 2x1 4x2在22 ，单调递增，排除b；当 x ， 2时， f(x) ln( 2x 1) l