2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(课标全国Ⅱ卷)文 (2)

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试课标全国文科数学注意事项:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第卷时,选出每小题答案后,用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013课标全国,文1)已知集合m=x|-3<x<1,n=-3,-2,-

2、1,0,1,则mn=().a.-2,-1,0,1b.-3,-2,-1,0c.-2,-1,0d.-3,-2,-1答案:c解析:由题意可得,mn=-2,-1,0.故选c.2.(2013课标全国,文2)21+i=().a.22b.2c.2d.1答案:c解析:21+i=1-i,21+i=|1-i|=2.3.(2013课标全国,文3)设x,y满足约束条件x-y+10,x+y-10,x3,则z=2x-3y的最小值是().a.-7b.-6c.-5d.-3答案:b解析:如图所示,约束条件所表示的区域为图中的阴影部分,而目标函数可化为y=23x-z3,先画出l0:y=23x,当z最小时,直线在y轴上的截距最大,

3、故最优点为图中的点c,由x=3,x-y+1=0,可得c(3,4),代入目标函数得,zmin=2×3-3×4=-6.4.(2013课标全国,文4)abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知b=2,b=6,c=4,则abc的面积为().a.23+2b.3+1c.23-2d.3-1答案:b解析:a=-(b+c)=-6+4=712,由正弦定理得asina=bsinb,则a=bsinasinb=2sin712sin6=6+2,sabc=12absin c=12×2×(6+2)×22=3+1.5.(2013课标全国,文5)设椭圆c:x2a2+y2b

4、2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为f1,f2,p是c上的点,pf2f1f2,pf1f2=30°,则c的离心率为().a.36b.13c.12d.33答案:d解析:如图所示,在rtpf1f2中,|f1f2|=2c,设|pf2|=x,则|pf1|=2x,由tan 30°=|pf2|f1f2|=x2c=33,得x=233c.而由椭圆定义得,|pf1|+|pf2|=2a=3x,a=32x=3c,e=ca=c3c=33.6.(2013课标全国,文6)已知sin 2=23,则cos2+4=().a.16b.13c.12d.23答案:a解析:由半角公式可得,cos2+4=

5、1+cos2+22=1-sin22=1-232=16.7.(2013课标全国,文7)执行下面的程序框图,如果输入的n=4,那么输出的s=().a.1+12+13+14b.1+12+13×2+14×3×2c.1+12+13+14+15d.1+12+13×2+14×3×2+15×4×3×2答案:b解析:由程序框图依次可得,输入n=4,t=1,s=1,k=2;t=12,s=1+12,k=3;t=13×2,s=1+12+13×2,k=4;t=14×3×2,s=1+12+13

6、×2+14×3×2,k=5;输出s=1+12+13×2+14×3×2.8.(2013课标全国,文8)设a=log32,b=log52,c=log23,则().a.a>c>bb.b>c>ac.c>b>ad.c>a>b答案:d解析:log25>log23>1,log23>1>1log23>1log25>0,即log23>1>log32>log52>0,c>a>b.9.(2013课标全国,文9)一个四面体的顶点在空间直角坐

7、标系o-xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zox平面为投影面,则得到的正视图可以为().答案:a解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系o-xyz的图像为下图:则它在平面zox的投影即正视图为,故选a.10.(2013课标全国,文10)设抛物线c:y2=4x的焦点为f,直线l过f且与c交于a,b两点.若|af|=3|bf|,则l的方程为().a.y=x-1或y=-x+1b.y=33(x-1)或y=-33(x-1)c.y=3(x-1)或y=-3(x-1)d.y=22(x-1)或y=-22(x-1)答案:c解析:由题

8、意可得抛物线焦点f(1,0),准线方程为x=-1.当直线l的斜率大于0时,如图所示,过a,b两点分别向准线x=-1作垂线,垂足分别为m,n,则由抛物线定义可得,|am|=|af|,|bn|=|bf|.设|am|=|af|=3t(t>0),|bn|=|bf|=t,|bk|=x,而|gf|=2,在amk中,由|nb|am|=|bk|ak|,得t3t=xx+4t,解得x=2t,则cosnbk=|nb|bk|=tx=12,nbk=60°,则gfk=60°,即直线ab的倾斜角为60°.斜率k=tan 60°=3,故直线方程为y=3(x-1).当直线l的斜率小

9、于0时,如图所示,同理可得直线方程为y=-3(x-1),故选c.11.(2013课标全国,文11)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是().a.x0r,f(x0)=0b.函数y=f(x)的图像是中心对称图形c.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-,x0)单调递减d.若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)=0答案:c解析:若x0是f(x)的极小值点,则y=f(x)的图像大致如下图所示,则在(-,x0)上不单调,故c不正确.12.(2013课标全国,文12)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是().a.(-,+)b.(-2,+)

10、c.(0,+)d.(-1,+)答案:d解析:由题意可得,a>x-12x(x>0).令f(x)=x-12x,该函数在(0,+)上为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+),故a>-1时,存在正数x使原不等式成立.第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22题第24题为选考题,考生根据要求作答。二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013课标全国,文13)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是. 答案:0.2解析:该事件基本事件空间=(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3)

11、,(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共有10个,记a=“其和为5”=(1,4),(2,3)有2个,p(a)=210=0.2.14.(2013课标全国,文14)已知正方形abcd的边长为2,e为cd的中点,则ae·bd=. 答案:2解析:以ab,ad为基底,则ab·ad=0,而ae=12ab+ad,bd=ad-ab,ae·bd=12ab+ad·(ad-ab)=-12|ab|2+|ad|2=-12×22+22=2.15.(2013课标全国,文15)已知正四棱锥o-abcd的体积为322,底面边长为3,则以o为球心,

12、oa为半径的球的表面积为. 答案:24解析:如图所示,在正四棱锥o-abcd中,vo-abcd=13×s正方形abcd·|oo1|=13×(3)2×|oo1|=322,|oo1|=322,|ao1|=62,在rtoo1a中,oa=|oo1|2+|ao1|2=3222+622=6,即r=6,s球=4r2=24.16.(2013课标全国,文16)函数y=cos(2x+)(-<)的图像向右平移2个单位后,与函数y=sin2x+3的图像重合,则=. 答案:56解析:y=cos(2x+)向右平移2个单位得,y=cos2x-2+=cos(2

13、x-+)=sin2x-+2=sin2x+-2,而它与函数y=sin2x+3的图像重合,令2x+-2=2x+3+2k,kz,得=56+2k,kz.又-<,=56.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013课标全国,文17)(本小题满分12分)已知等差数列an的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求an的通项公式;(2)求a1+a4+a7+a3n-2.解:(1)设an的公差为d.由题意,a112=a1a13,即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去),d=-2.故an=-2n

14、+27.(2)令sn=a1+a4+a7+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故a3n-2是首项为25,公差为-6的等差数列.从而sn=n2(a1+a3n-2)=n2(-6n+56)=-3n2+28n.18.(2013课标全国,文18)(本小题满分12分)如图,直三棱柱abc-a1b1c1中,d,e分别是ab,bb1的中点.(1)证明:bc1平面a1cd;(2)设aa1=ac=cb=2,ab=22,求三棱锥c-a1de的体积.解:(1)连结ac1交a1c于点f,则f为ac1中点.又d是ab中点,连结df,则bc1df.因为df平面a1cd,bc1平面a1cd,所以bc1平面a1cd.

15、(2)因为abc-a1b1c1是直三棱柱,所以aa1cd.由已知ac=cb,d为ab的中点,所以cdab.又aa1ab=a,于是cd平面abb1a1.由aa1=ac=cb=2,ab=22得acb=90°,cd=2,a1d=6,de=3,a1e=3,故a1d2+de2=a1e2,即dea1d.所以vc-a1de=13×12×6×3×2=1.19.(2013课标全国,文19)(本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分

16、布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品.以x(单位:t,100x150)表示下一个销售季度内的市场需求量,t(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将t表示为x的函数;(2)根据直方图估计利润t不少于57 000元的概率.解:(1)当x100,130)时,t=500x-300(130-x)=800x-39 000.当x130,150时,t=500×130=65 000.所以t=800x-39 000,100x<130,65 000,130x150.(2)由(1)知利润t不少于57 000元当且仅当120x150.由直方图知需求量x1

17、20,150的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润t不少于57 000元的概率的估计值为0.7.20.(2013课标全国,文20)(本小题满分12分)在平面直角坐标系xoy中,已知圆p在x轴上截得线段长为22,在y轴上截得线段长为23.(1)求圆心p的轨迹方程;(2)若p点到直线y=x的距离为22,求圆p的方程.解:(1)设p(x,y),圆p的半径为r.由题设y2+2=r2,x2+3=r2.从而y2+2=x2+3.故p点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设p(x0,y0).由已知得|x0-y0|2=22.又p点在双曲线y2-x2=1上,从而得|x0-y0|=1,y02-x02=1.由x0-

18、y0=1,y02-x02=1得x0=0,y0=-1.此时,圆p的半径r=3.由x0-y0=-1,y02-x02=1得x0=0,y0=1.此时,圆p的半径r=3.故圆p的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.21.(2013课标全国,文21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2e-x.(1)求f(x)的极小值和极大值;(2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.解:(1)f(x)的定义域为(-,+),f'(x)=-e-xx(x-2).当x(-,0)或x(2,+)时,f'(x)<0;当x(0,2)时,f'(x)&g

19、t;0.所以f(x)在(-,0),(2,+)单调递减,在(0,2)单调递增.故当x=0时,f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)取得极大值,极大值为f(2)=4e-2.(2)设切点为(t,f(t),则l的方程为y=f'(t)(x-t)+f(t).所以l在x轴上的截距为m(t)=t-f(t)f'(t)=t+tt-2=t-2+2t-2+3.由已知和得t(-,0)(2,+).令h(x)=x+2x(x0),则当x(0,+)时,h(x)的取值范围为22,+);当x(-,-2)时,h(x)的取值范围是(-,-3).所以当t(-,0)(2,+)时,m(t)的取值范围是

20、(-,0)22+3,+).综上,l在x轴上的截距的取值范围是(-,0)22+3,+).请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,并用2b铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.22.(2013课标全国,文22)(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,cd为abc外接圆的切线,ab的延长线交直线cd于点d,e,f分别为弦ab与弦ac上的点,且bc·ae=dc·af,b,e,f,c四点共圆.(1)证明:ca是abc外接圆的直径;(2)若db=be=ea,求过b,e,f,c四点的圆的面积与abc外接圆面积的比值.解:(1)因为cd为abc外接圆的切线,所以dcb=a.由题设知bcfa=dcea,故cdbaef,所以dbc=efa.因为b,e,f,c四点共圆,所以cfe=dbc,故efa=cfe=90°.所以cba=90°,因此ca是abc外接圆的直径.(2)连结ce,因为cbe=90°,所以过b,e,f,c四点的圆的直径为ce,由db=be,有ce=dc,又bc2=db·ba=2db2,所以ca2=4db2+bc2=6db2.而