2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(四川卷)理

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工类)本试题卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题).第卷1至2页,第卷3至4页,共4页.考生作答时,须将答案答在答题卡上.在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第卷(选择题共50分)注意事项:必须使用2b铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(2013四川,理1)设集合a=x|x+2=0,集合b=x|x2-4=0,则ab=(). a.-2b.2c.-2,2d.答案:a

2、解析:由题意可得,a=-2,b=-2,2,ab=-2.故选a.2.(2013四川,理2)如图,在复平面内,点a表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是().a.ab.bc.cd.d答案:b解析:复数z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称.3.(2013四川,理3)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是().答案:d解析:由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体,故选d.4.(2013四川,理4)设xz,集合a是奇数集,集合b是偶数集.若命题p:xa,2xb,则().a.􀱑p:xa,2xbb.􀱑p:xa,2xbc.Л

3、729;p:xa,2xbd.􀱑p:xa,2xb答案:d5.(2013四川,理5)函数f(x)=2sin(x+)>0,-2<<2的部分图象如图所示,则,的值分别是().a.2,-3b.2,-6c.4,-6d.4,3答案:a解析:由图象可得,3t4=512-3=34,t=,则=2=2,再将点512,2代入f(x)=2sin(2x+)中得,sin56+=1,令56+=2k+2,kz,解得,=2k-3,kz,又-2,2,则取k=0,=-3.故选a.6.(2013四川,理6)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-y23=1的渐近线的距离是().a.12b.32c.1d.

4、3答案:b解析:由题意可得,抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线方程为y=±3x,即±3x-y=0,由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d=|±3-0|2=32.7.(2013四川,理7)函数y=x33x-1的图象大致是().答案:c解析:由函数解析式可得,该函数定义域为(-,0)(0,+),故排除a;取x=-1,y=-113-1=32>0,故再排除b;当x+时,3x-1远远大于x3的值且都为正,故x33x-10且大于0,故排除d,选c.8.(2013四川,理8)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共

5、可得到lg a-lg b的不同值的个数是().a.9b.10c.18d.20答案:c解析:记基本事件为(a,b),则基本事件空间=(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,1),(3,5),(3,7),(3,9),(5,1),(5,3),(5,7),(5,9),(7,1),(7,3),(7,5),(7,9),(9,1),(9,3),(9,5),(9,7)共有20个基本事件,而lg a-lg b=lgab,其中基本事件(1,3),(3,9)和(3,1),(9,3)使lgab的值相等,则不同值的个数为20-2=18(个),故选c.9.(2013四川,理9)节日前夕,小李在家门前的树上挂

6、了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是().a.14b.12c.34d.78答案:c解析:设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,则由题意可得,0x4,0y4;而所求事件“两串彩灯同时通电后,第一次闪亮相差不超过2秒”=(x,y)|x-y|2,由图示得,该事件概率p=s阴影s正方形=16-416=34.10.(2013四川,理10)设函数f(x)=ex+x-a(ar,e为自然对数的底数),若曲线y=sin x上存在点(x0,y0)使得f(f(y0)=y

7、0,则a的取值范围是().a.1,eb.e-1-1,1c.1,e+1d.e-1-1,e+1答案:a解析:由题意可得,y0=sin x0-1,1,而由f(x)=ex+x-a可知y00,1,当a=0时,f(x)=ex+x为增函数,y00,1时,f(y0)1,e+1.f(f(y0)e+1>1.不存在y00,1使f(f(y0)=y0成立,故b,d错;当a=e+1时,f(x)=ex+x-e-1,当y00,1时,只有y0=1时f(x)才有意义,而f(1)=0,f(f(1)=f(0),显然无意义,故c错.故选a.第卷(非选择题共100分)注意事项:必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的

8、答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚,答在试题卷上无效.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2013四川,理11)二项式(x+y)5的展开式中,含x2y3的项的系数是.(用数字作答) 答案:10解析:由二项式展开系数可得,x2y3的系数为c53=c52=10.12.(2013四川,理12)在平行四边形abcd中,对角线ac与bd交于点o,ab+ad=ao,则=. 答案:2解析:如图所示,在平行四边形abcd中,ab+ad=ac=2ao,=2.13.(2013四川,理13)设sin 2=-sin ,2,则tan

9、2的值是. 答案:3解析:sin 2=-sin ,2sin cos =-sin .又2,cos =-12.sin =1-cos2=32.sin 2=-32,cos 2=2cos2-1=-12.tan 2=sin2cos2=3.14.(2013四川,理14)已知f(x)是定义域为r的偶函数,当x0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是. 答案:(-7,3)解析:当x0时,令x2-4x<5,解得,0x<5.又因为f(x)为定义域为r的偶函数,则不等式f(x+2)<5等价于-5<x+2<5,即-7<x<3;故

10、解集为(-7,3).15.(2013四川,理15)设p1,p2,pn为平面内的n个点,在平面内的所有点中,若点p到点p1,p2,pn的距离之和最小,则称点p为点p1,p2,pn的一个“中位点”,例如,线段ab上的任意点都是端点a,b的中位点,现有下列命题:若三个点a,b,c共线,c在线段ab上,则c是a,b,c的中位点;直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点;若四个点a,b,c,d共线,则它们的中位点存在且唯一;梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.其中的真命题是.(写出所有真命题的序号) 答案:解析:由“中位点”可知,若c在线段ab上,则线段ab上任一点都为“中

11、位点”,c也不例外,故正确;对于假设在等腰rtabc中,acb=90°,如图所示,点p为斜边ab中点,设腰长为2,则|pa|+|pb|+|pc|=32|ab|=32,而若c为“中位点”,则|cb|+|ca|=4<32,故错;对于,若b,c三等分ad,若设|ab|=|bc|=|cd|=1,则|ba|+|bc|+|bd|=4=|ca|+|cb|+|cd|,故错;对于,在梯形abcd中,对角线ac与bd的交点为o,在梯形abcd内任取不同于点o的一点m,则在mac中,|ma|+|mc|>|ac|=|oa|+|oc|,同理在mbd中,|mb|+|md|>|bd|=|ob|+

12、|od|,则得,|ma|+|mb|+|mc|+|md|>|oa|+|ob|+|oc|+|od|,故o为梯形内唯一中位点是正确的.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(2013四川,理16)(本小题满分12分)在等差数列an中,a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列an的首项、公差及前n项和.解:设该数列公差为d,前n项和为sn.由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d).所以,a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得a1=4,d=0,或a1=1,d=3,即数列an的首项为4,公差为0,或首项为1

13、,公差为3.所以,数列的前n项和sn=4n或sn=3n2-n2.17.(2013四川,理17)(本小题满分12分)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,且2cos2a-b2cos b-sin(a-b)sin b+cos(a+c)=-35,(1)求cos a的值;(2)若a=42,b=5,求向量ba在bc方向上的投影.解:(1)由2cos2a-b2cos b-sin(a-b)sin b+cos(a+c)=-35,得cos(a-b)+1cos b-sin(a-b)sin b-cos b=-35,即cos(a-b)cos b-sin(a-b)sin b=-35.则cos(a-b+b)=-3

14、5,即cos a=-35.(2)由cos a=-35,0<a<,得sin a=45,由正弦定理,有asina=bsinb,所以,sin b=bsinaa=22.由题知a>b,则a>b,故b=4.根据余弦定理,有(42)2=52+c2-2×5c×-35,解得c=1或c=-7(舍去).故向量ba在bc方向上的投影为|ba|cos b=22.18.(2013四川,理18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,24这24个整数中等可能随机产生.(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi(i=1,2,3

15、);(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数,以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30146102 1001 027376697乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数30121172 1001 051696353当n=2 100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的

16、可能性较大;(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数的分布列及数学期望.解:(1)变量x是在1,2,3,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故p1=12;当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故p2=13;当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故p3=16.所以,输出y的值为1的概率为12,输出y的值为2的概率为13,输出y的值为3的概率为16.(2)当n=2 100时,甲、乙所编程序各自输

17、出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率甲1 0272 1003762 1006972 100乙1 0512 1006962 1003532 100比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.(3)随机变量可能的取值为0,1,2,3.p(=0)=c30×130×233=827,p(=1)=c31×131×232=49,p(=2)=c32×132×231=29,p(=3)=c33×133×230=127,故的分布列为0123p82749

18、29127所以,e=0×827+1×49+2×29+3×127=1.即的数学期望为1.19.(2013四川,理19)(本小题满分12分)如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,侧棱aa1底面abc,ab=ac=2aa1,bac=120°,d,d1分别是线段bc,b1c1的中点,p是线段ad的中点.(1)在平面abc内,试作出过点p与平面a1bc平行的直线l,说明理由,并证明直线l平面add1a1;(2)设(1)中的直线l交ab于点m,交ac于点n,求二面角a-a1m-n的余弦值.解:(1)如图,在平面abc内,过点p作直线lbc,因为l在平面a1

19、bc外,bc在平面a1bc内,由直线与平面平行的判定定理可知,l平面a1bc.由已知,ab=ac,d是bc的中点,所以,bcad,则直线lad.因为aa1平面abc,所以aa1直线l.又因为ad,aa1在平面add1a1内,且ad与aa1相交,所以直线l平面add1a1.(2)解法一:连接a1p,过a作aea1p于e,过e作efa1m于f,连接af.由(1)知,mn平面aea1,所以平面aea1平面a1mn.所以ae平面a1mn,则a1mae.所以a1m平面aef,则a1maf.故afe为二面角a-a1m-n的平面角(设为).设aa1=1,则由ab=ac=2aa1,bac=120°,

20、有bad=60°,ab=2,ad=1.又p为ad的中点,所以m为ab中点,且ap=12,am=1,所以,在rtaa1p中,a1p=52;在rta1am中,a1m=2.从而ae=aa1·apa1p=15,af=aa1·ama1m=12.所以sin =aeaf=25.所以cos =1-sin2=1-252=155.故二面角a-a1m-n的余弦值为155.解法二:设a1a=1.如图,过a1作a1e平行于b1c1,以a1为坐标原点,分别以a1e,a1d1,a1a的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系oxyz(点o与点a1重合).则a1(0,0,0),a(0,

21、0,1).因为p为ad的中点,所以m,n分别为ab,ac的中点.故m32,12,1,n-32,12,1.所以a1m=32,12,1,a1a=(0,0,1),nm=(3,0,0).设平面aa1m的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则n1a1m,n1a1a,即n1·a1m=0,n1·a1a=0,故有(x1,y1,z1)·32,12,1=0,(x1,y1,z1)·(0,0,1)=0,从而32x1+12y1+z1=0,z1=0.取x1=1,则y1=-3,所以n1=(1,-3,0).设平面a1mn的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),则n2a1m,n2n

22、m,即n2·a1m=0,n2·nm=0,故有(x2,y2,z2)·32,12,1=0,(x2,y2,z2)·(3,0,0)=0,从而32x2+12y2+z2=0,3x2=0.取y2=2,则z2=-1,所以n2=(0,2,-1).设二面角a-a1m-n的平面角为,又为锐角,则cos =n1·n2|n1|·|n2|=(1,-3,0)·(0,2,-1)2·5=155.故二面角a-a1m-n的余弦值为155.20.(2013四川,理20)(本小题满分13分)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个

23、焦点分别为f1(-1,0),f2(1,0),且椭圆c经过点p43,13.(1)求椭圆c的离心率;(2)设过点a(0,2)的直线l与椭圆c交于m,n两点,点q是线段mn上的点,且2|aq|2=1|am|2+1|an|2,求点q的轨迹方程.解:(1)由椭圆定义知,2a=|pf1|+|pf2|=43+12+132+43-12+132=22,所以a=2.又由已知,c=1.所以椭圆c的离心率e=ca=12=22.(2)由(1)知,椭圆c的方程为x22+y2=1.设点q的坐标为(x,y).(1)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆c交于(0,1),(0,-1)两点,此时点q的坐标为0,2-355.(2)当直

24、线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2.因为m,n在直线l上,可设点m,n的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),则|am|2=(1+k2)x12,|an|2=(1+k2)x22.又|aq|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.由2|aq|2=1|am|2+1|an|2,得2(1+k2)x2=1(1+k2)x12+1(1+k2)x22,即2x2=1x12+1x22=(x1+x2)2-2x1x2x12x22.将y=kx+2代入x22+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0.由=(8k)2-4×(2k2+1)×6>0,得k2>

25、32.由可知,x1+x2=-8k2k2+1,x1x2=62k2+1,代入中并化简,得x2=1810k2-3.因为点q在直线y=kx+2上,所以k=y-2x,代入中并化简,得10(y-2)2-3x2=18.由及k2>32,可知0<x2<32,即x-62,00,62.又0,2-355满足10(y-2)2-3x2=18,故x-62,62.由题意,q(x,y)在椭圆c内,所以-1y1.又由10(y-2)2=18+3x2有(y-2)295,94且-1y1,则y12,2-355.所以,点q的轨迹方程为10(y-2)2-3x2=18,其中x-62,62,y12,2-355.21.(2013四川,理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)=x2+2x+a,x<0,lnx,x>0,其中a是实数.设a(x1,f(x1),b(x2,f(x2)为该函数图象上的两点,且x1<x2.(1)指出函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)的图象在点a,b处的切线互相垂直,且x2<0,求x2-x1的最小值;(3)若函数f(x)的图象在点a,b处的切线重合,求a的取值范围.解:(1)函数f(x)的单调递减区间为(-,-1),单调递增区间为-1,0),(0,+).(2)由导数的几何意义可知,点a处的切线斜