2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(课标全国Ⅰ卷)理

1、课标全国理科注意事项:1.本试题分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第卷1至3页,第卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013课标全国,理1)已知集合a=x|x2-2x>0,b=x|-5<x<5,则(). a.ab=b.ab=rc.bad.ab答案:b解析:x(x-2)>0,x<0或x>2.集合a与b可用图象表示为:由图

2、象可以看出ab=r,故选b.2.(2013课标全国,理2)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为().a.-4b.-45c.4d.45答案:d解析:(3-4i)z=|4+3i|,z=53-4i=5(3+4i)(3-4i)(3+4i)=35+45i.故z的虚部为45,选d.3.(2013课标全国,理3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是().a.简单随机抽样b.按性别分层抽样c.按学段分层抽样d.系统抽样答

3、案:c解析:因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样.4.(2013课标全国,理4)已知双曲线c:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52,则c的渐近线方程为().a.y=±14xb.y=±13xc.y=±12xd.y=±x答案:c解析:e=ca=52,e2=c2a2=a2+b2a2=54.a2=4b2,ba=±12.渐近线方程为y=±bax=±12x.5.(2013课标全国,理5)执行右面的程序框图,如果输入的t-1,3,则输出的s属于().a.-3,4b.-5,2c.-4,3d.-

4、2,5答案:a解析:若t-1,1),则执行s=3t,故s-3,3).若t1,3,则执行s=4t-t2,其对称轴为t=2.故当t=2时,s取得最大值4.当t=1或3时,s取得最小值3,则s3,4.综上可知,输出的s-3,4.故选a.6.(2013课标全国,理6)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为().a.5003 cm3b.8663 cm3c.1 3723 cm3d.2 0483 cm3答案:a解析:设球半径为r,由题可知r,r-2,正方体棱长一半可构成直角三角形

5、,即oba为直角三角形,如图.bc=2,ba=4,ob=r-2,oa=r,由r2=(r-2)2+42,得r=5,所以球的体积为4353=5003(cm3),故选a.7.(2013课标全国,理7)设等差数列an的前n项和为sn,若sm-1=-2,sm=0,sm+1=3,则m=().a.3b.4c.5d.6答案:c解析:sm-1=-2,sm=0,sm+1=3,am=sm-sm-1=0-(-2)=2,am+1=sm+1-sm=3-0=3.d=am+1-am=3-2=1.sm=ma1+m(m-1)2×1=0,a1=-m-12.又am+1=a1+m×1=3,-m-12+m=3.m=5

6、.故选c.8.(2013课标全国,理8)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().a.16+8b.8+8c.16+16d.8+16答案:a解析:由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体,由图中数据可知圆柱底面半径r=2,长为4,在长方体中,长为4,宽为2,高为2,所以几何体的体积为r2×4×12+4×2×2=8+16.故选a.9.(2013课标全国,理9)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=().a.5b.6c.7d.8答案:b解析:由题意可知,a=

7、c2mm,b=c2m+1m,又13a=7b,13·(2m)!m!m!=7·(2m+1)!m!(m+1)!,即137=2m+1m+1.解得m=6.故选b.10.(2013课标全国,理10)已知椭圆e:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为f(3,0),过点f的直线交e于a,b两点.若ab的中点坐标为(1,-1),则e的方程为().a.x245+y236=1b.x236+y227=1c.x227+y218=1d.x218+y29=1答案:d解析:设a(x1,y1),b(x2,y2),a,b在椭圆上,x12a2+y12b2=1, x22a2+y22b2=1,-

8、,得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,即b2a2=-(y1+y2)(y1-y2)(x1+x2)(x1-x2),ab的中点为(1,-1),y1+y2=-2,x1+x2=2,而y1-y2x1-x2=kab=0-(-1)3-1=12,b2a2=12.又a2-b2=9,a2=18,b2=9.椭圆e的方程为x218+y29=1.故选d.11.(2013课标全国,理11)已知函数f(x)=-x2+2x,x0,ln(x+1),x>0.若|f(x)|ax,则a的取值范围是().a.(-,0b.(-,1c.-2,1d.-2,0答案:d解析:由y=|f(x)|的图象知:

9、当x>0时,y=ax只有a0时,才能满足|f(x)|ax,可排除b,c.当x0时,y=|f(x)|=|-x2+2x|=x2-2x.故由|f(x)|ax得x2-2xax.当x=0时,不等式为00成立.当x<0时,不等式等价于x-2a.x-2<-2,a-2.综上可知:a-2,0.12.(2013课标全国,理12)设anbncn的三边长分别为an,bn,cn,anbncn的面积为sn,n=1,2,3,.若b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1=cn+an2,cn+1=bn+an2,则().a.sn为递减数列b.sn为递增数列c.s2n-1为递增数列,s2n为

10、递减数列d.s2n-1为递减数列,s2n为递增数列答案:b第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题第(24)题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2013课标全国,理13)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=. 答案:2解析:c=ta+(1-t)b,b·c=ta·b+(1-t)|b|2.又|a|=|b|=1,且a与b夹角为60°,bc,0=t|a|b|cos 60°+(1-t)

11、,0=12t+1-t.t=2.14.(2013课标全国,理14)若数列an的前n项和sn=23an+13,则an的通项公式是an=. 答案:(-2)n-1解析:sn=23an+13,当n2时,sn-1=23an-1+13.-,得an=23an-23an-1,即anan-1=-2.a1=s1=23a1+13,a1=1.an是以1为首项,-2为公比的等比数列,an=(-2)n-1.15.(2013课标全国,理15)设当x=时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos =. 答案:-255解析:f(x)=sin x-2cos x=515sinx-25cosx,令

12、cos =15,sin =-25,则f(x)=5sin(+x),当x=2k+2-(kz)时,sin(+x)有最大值1,f(x)有最大值5,即=2k+2-(kz),所以cos =cos2k+2-=cos2-=sin =-25=-255.16.(2013课标全国,理16)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为. 答案:16解析:函数f(x)的图像关于直线x=-2对称,f(x)满足f(0)=f(-4),f(-1)=f(-3),即b=-15(16-4a+b),0=-8(9-3a+b),解得a=8,b=15.f(x)=-x4-8x3-14

13、x2+8x+15.由f'(x)=-4x3-24x2-28x+8=0,得x1=-2-5,x2=-2,x3=-2+5.易知,f(x)在(-,-2-5)上为增函数,在(-2-5,-2)上为减函数,在(-2,-2+5)上为增函数,在(-2+5,+)上为减函数.f(-2-5)=1-(-2-5)2(-2-5)2+8(-2-5)+15=(-8-45)(8-45)=80-64=16.f(-2)=1-(-2)2(-2)2+8×(-2)+15=-3(4-16+15)=-9.f(-2+5)=1-(-2+5)2(-2+5)2+8(-2+5)+15=(-8+45)(8+45)=80-64=16.故f(

14、x)的最大值为16.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013课标全国,理17)(本小题满分12分)如图,在abc中,abc=90°,ab=3,bc=1,p为abc内一点,bpc=90°.(1)若pb=12,求pa;(2)若apb=150°,求tanpba.解:(1)由已知得pbc=60°,所以pba=30°.在pba中,由余弦定理得pa2=3+14-2×3×12cos 30°=74.故pa=72.(2)设pba=,由已知得pb=sin .在pba中,由正弦定理得3sin150°

15、=sinsin(30°-),化简得3cos =4sin .所以tan =34,即tanpba=34.18.(2013课标全国,理18)(本小题满分12分)如图,三棱柱abc-a1b1c1中,ca=cb,ab=aa1,baa1=60°.(1)证明:aba1c;(2)若平面abc平面aa1b1b,ab=cb,求直线a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值.(1)证明:取ab的中点o,连结oc,oa1,a1b.因为ca=cb,所以ocab.由于ab=aa1,baa1=60°,故aa1b为等边三角形,所以oa1ab.因为ocoa1=o,所以ab平面oa1c.又a1c平面oa

16、1c,故aba1c.(2)解:由(1)知ocab,oa1ab.又平面abc平面aa1b1b,交线为ab,所以oc平面aa1b1b,故oa,oa1,oc两两相互垂直.以o为坐标原点,oa的方向为x轴的正方向,|oa|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz.由题设知a(1,0,0),a1(0,3,0),c(0,0,3),b(-1,0,0).则bc=(1,0,3),bb1=aa1=(-1,3,0),a1c=(0,-3,3).设n=(x,y,z)是平面bb1c1c的法向量,则n·bc=0,n·bb1=0,即 x+3z=0,-x+3y=0.可取n=(3,1,-1).故cos

17、<n,a1c>=n·a1c|n|a1c|=-105.所以a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值为105.19.(2013课标全国,理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率

18、;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为x(单位:元),求x的分布列及数学期望.解:(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件a1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件a2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件b1,第二次取出的1件产品是优质品为事件b2,这批产品通过检验为事件a,依题意有a=(a1b1)(a2b2),且a1b1与a2b2互斥,所以p(a)=p(a1b1)+p(a2b2)=p(a1)p(b1|a1)+p(a2)p(b2|a2)=416×116+116×12=364.(2)x可能的取值为4

19、00,500,800,并且p(x=400)=1-416-116=1116,p(x=500)=116,p(x=800)=14.所以x的分布列为x400500800p111611614ex=400×1116+500×116+800×14=506.25.20.(2013课标全国,理20)(本小题满分12分)已知圆m:(x+1)2+y2=1,圆n:(x-1)2+y2=9,动圆p与圆m外切并且与圆n内切,圆心p的轨迹为曲线c.(1)求c的方程;(2)l是与圆p,圆m都相切的一条直线,l与曲线c交于a,b两点,当圆p的半径最长时,求|ab|.解:由已知得圆m的圆心为m(-1,

20、0),半径r1=1;圆n的圆心为n(1,0),半径r2=3.设圆p的圆心为p(x,y),半径为r.(1)因为圆p与圆m外切并且与圆n内切,所以|pm|+|pn|=(r+r1)+(r2-r)=r1+r2=4.由椭圆的定义可知,曲线c是以m,n为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),其方程为x24+y23=1(x-2).(2)对于曲线c上任意一点p(x,y),由于|pm|-|pn|=2r-22,所以r2,当且仅当圆p的圆心为(2,0)时,r=2.所以当圆p的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|ab|=23.若l的倾

21、斜角不为90°,由r1r知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为q,则|qp|qm|=rr1,可求得q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l与圆m相切得|3k|1+k2=1,解得k=±24.当k=24时,将y=24x+2代入x24+y23=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=-4±627.所以|ab|=1+k2|x2-x1|=187.当k=-24时,由图形的对称性可知|ab|=187.综上,|ab|=23或|ab|=187.21.(2013课标全国,理21)(本小题满分12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=

22、f(x)和曲线y=g(x)都过点p(0,2),且在点p处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x-2时,f(x)kg(x),求k的取值范围.解:(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f'(0)=4,g'(0)=4.而f'(x)=2x+a,g'(x)=ex(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1).设函数f(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2,则f'(x)=2kex(x+2)-2x-

23、4=2(x+2)(kex-1).由题设可得f(0)0,即k1.令f'(x)=0得x1=-ln k,x2=-2.若1k<e2,则-2<x10.从而当x(-2,x1)时,f'(x)<0;当x(x1,+)时,f'(x)>0.即f(x)在(-2,x1)单调递减,在(x1,+)单调递增.故f(x)在-2,+)的最小值为f(x1).而f(x1)=2x1+2-x12-4x1-2=-x1(x1+2)0.故当x-2时,f(x)0,即f(x)kg(x)恒成立.若k=e2,则f'(x)=2e2(x+2)(ex-e-2).从而当x>-2时,f'(x

24、)>0,即f(x)在(-2,+)单调递增.而f(-2)=0,故当x-2时,f(x)0,即f(x)kg(x)恒成立.若k>e2,则f(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x-2时,f(x)kg(x)不可能恒成立.综上,k的取值范围是1,e2.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2b铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(2013课标全国,理22)(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图,直线ab为圆的切线,切点为b,点c在圆上,abc的角平分线be交圆于点e,db垂直be交圆于点d.(1)证明:db=dc;(2)设圆的半径为1,bc=3,延长ce交ab于点f,求bcf外接圆的半径.(1)证明:连结de,交bc于点g.由弦切角定理得,abe=bce.而abe=cbe,故cbe=bce,be=ce.又因为dbbe,所以de为直径,dce=90°,由勾股定理可得db=dc.(2)解:由(1)知,cde=bde,db=dc,故dg是bc的中垂线,所以bg=32.设de的中点为o,连结bo,则bog=60°.从而abe=bce=cbe=30°,所以cfbf,故rtbcf外接