2020年东北三省四市高考数学一模试卷(一)(有答案解析)

1、第1页，共17页2020年东北三省四市高考数学一模试卷一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1 . 已知集合a=-1 , 0, 1, 2, b=x| （x+1） （x-2） v 0, 贝 u aab= （）a. 0, 1 b. -1 , 0 c. -1 , 0, 1 d. 0, 1, 2 2 .在复平面内，复数z 对应的点位于（）a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限3 .下列各点中，可以作为函数y 二 &访工图象对称中心的是（）a.（刎b.点c.（小） | d. （/ ）4 .执行如图所示的程序框图, 为（）a. 6 b. 24 c. 120 d. 720 已知

2、等差数列 an的前 n 项和为 sn,且 a2=4, 34=2,则 s5=（c. 15 d. 30 a, 3 为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出b. m e，m a, n13 d. mln, m a, n 3 .2007 年至 2018 年，某企业连续12 年累计研发投入达 4100 亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比，这12年间的研发投入（单位：十亿元）用图中的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示. a. 0 b. 10 6 .已知 m, n 为两条不重合直线，牛的是（）a. m /n, m? a, n? 3 c. mln, m ila, n 吟7 .科

3、技研发是企业发展的驱动力量5. 如果输入 n=4,则输出 p 第2页，共17页根据折线图和条形图，下列结论错误的是（）a. 2012 年至 2013 年研发投入占营收比增量相比2017 年至 2018 年增量大b. 2013 年至 2014 年研发投入增量相比2015 年至 2016 年增量小c.该企业连续 12 年来研发投入逐年增加d.该企业连续 12 年来研发投入占营收比逐年增加8, 若 a=log2：, b=0,48, c=ln2 , 则 a, b, c 的大小关系是（a. avcvb b. a bvc c. c bva 9,我国古代数学名著九章算术？商功中阐述：“斜解立方，得两遒堵 .

4、 斜解遒堵，其为阳马，一为鳖月需. 阳 马居二，鳖月需居一，不易之率也. 合两鳖月需三而一，验之以恭，其形露矣 . ”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1,则对该几何体描述：四个侧面都是直角三角形；最长的侧棱长为2 亚;四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；外接球的表面积为 24 兀. 其中正确的个数为（）a. 3 b. 2 c. 1 d. 0 10.函数 f （x） = ! 的部分图象大致是（）*tl 110。d. bv c0) 的焦点为 f,过 f 且倾斜角为 120 的直线与抛物线c 交于 a, b两点，若 af, bf 的中点在 y 轴上的射影分别

5、为m, n, 且|mn|=4g , 则 p 的值为 ( )a. 2 b. 3 c. 4 d. 6 (1 十inxjc 112 . 已如函数f (x) = 9 + 若 x1 次2,且 f (xi) +f(x2)=2,则 x1+x2 的取值范围是 ( )a. 2, +8)b. e-1, + ) c. 3-2ln2 , +8)d. 3-2ln3 , +8)二、填空题 ( 本大题共4 小题，共 20.0 分) 13 .已知 a0, b0, 且 2 是 a, b 的等比中项，则a+4b 的最小值为14 .已知矩形 abcd 中，ab=4, bc=3, 以 a、b 为焦点，且过c、d 两点的椭圆的离心率为

6、 . qr-r- rri n15 .已知 ，为的是两个单位向量，且夹角为/ tcr,则 1+t.与+., 数量积的最小值为16 .已知数列 an中， a1=2, an+1 = 三、解答题 ( 本大题共7 小题，共 84.0 分) 17 .在 aabc 中，ab=6, ac=4 、z.(i )若 sinb 上, 求 bc 的面积；(n )若的=2m，ad=31 泛，求 bc 的长.18 .某工厂有甲，乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200 人，乙车间有工人400 人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中

7、每位工人生产(ncn*), 则第4页，共17页完成的一件产品的事件( 单位：min)进行统计，按照 55, 65) , 65, 75) , 75 , 85) , 85, 95) 进行分组，得到下列统计图. (i )分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75min 的人数；(n )分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测车哪个车间工人的生产效率更高？( 出)从第一组生产时间少于75min 的工人中随机抽取2 人，求抽取 2 人中，至少1 人生产时间少于65min 的概率 . 19. 如图，等腰梯形abcd 中，ab /cd , 为折痕把那 de 折起，使点 d 到达点(i )证

8、明： ae1pb；(ii)当四棱锥p-abce 体积最大时 , ad=ab=bc=1, cd=2, e 为 cd 中点，以ae p的位置（ p?平面 abce ）. 求点 c 到平面 pab 的距离 . 第5页，共i7页20 .椭圆 c：三十 :=1 (ab0) 的离心 率为小 bi, b2是椭圆 c 的短轴端点，且|bib2|=6,点 m 在椭圆c 上运动，且点m 不与 bi, b2重合，点 n 满足 nbixmbi, nb2山 mb2. (i )求椭圆 c 的方程；(ii )求四边形mb2nb1面积的最大值 . y21 . 已知函数f (x) = +alnx ( a0). in-(i )若

9、函数 y=f (x) 图象上各点切线斜率的最大值为2,求函数 f (x)的极值点 ; (n)若不等式 f (x) 2 有解，求 a 的取值范围 . 22 .在平面直角坐标系xoy 中，直线 li的倾斜角为 30 ,且经过点 a (2, 1). 以坐标原点。为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：p cos。,=队原点。作射线交 12于点 m,点 n 为射线 om 上的点，满足 |om|?|on|=i2, 记点 n 的轨迹为曲线 c.(i )求出直线 li的参数方程和曲线c 的直角坐标方程；(n)设直线 li与曲线 c 交于 p, q 两点，求 |ap|?|aq| 的值. 23 .已知

10、函数f (x) =|2x-1|+|x-1|. (i )求不等式 f (x) 04 的解集；第6页，共17页(n )设函数 f (x)的最小值为m,当 a, b, c?r+,且 a+b+c=m 时，求.2 “ + 1+飞2 b + l+.$c+ 1 的最大值 .第7页，共17页- 答案与解析 - 1 . 答案：a解析：解：由b 中不等式解得： -1x2, 即 b=x|-1vxv2, -a=-1 , 0, 1, 2, . anb=0, 1, 故选： a. 求出集合 b 中不等式的解集确定出b,找出 a 与 b 的交集即可 . 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2 . 答案

11、：a 解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题. 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解： 占n+3?, 复数/ =占对应的点的坐标为故选 a. 3 . 答案：a 解析：【分析】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，对函数的解析式进行化简是解题的关键，属于基础题 . 根据题意化函数为一个正弦型函数，根据正弦函数的对称性，即可求出图象的对称中心. 【解答】解： y=sinx /cosx=2sin (x-j ,令 x-；=ktt, k 求得 x=kttl, k?z,故输出的 p 值是 24 故选： b.分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程

12、图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算 p 值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案. 本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法，属于基础题. 5 . 答案：c解析：解：数列 an为等差数列，且a2=4, a4=2,所以由 a2+a4=2a3,得 a3=3, s5= x 5 = 5=5a3=5 x3=15, 故选： c.由a2+a4=2a3,再根据 s5于 a3的关系，可得 . 本题考查了等差数列的性质，等差数列的前n 项和，为基础题 . 当 k=0 时，可得函数y=sinx- 闾 cosx 图象对称中心的是 : ，0) 故选 a

13、. 4. 答案：b解析：解：由已知中n=4,第一次进入循环时 , p=1 , 此时 k=1 不满足退出循环的条件，则k=2第二次进入循环时 , p=2,此时 k=2 不满足退出循环的条件，则k=3第三次进入循环时 , p=6,此时 k=3 不满足退出循环的条件，则k=4第四次进入循环时 , p=24, 此时 k=4 满足退出循环的条件, 第8页，共17页6 . 答案：b解析：解：对于a,若 a n 3 匕 m/i, n/1, 显然条件成立，但 % 3 不平行，故 a 错误；对于 b,由 m /n, m,a 可得 n a,又 n 3,故a爬,故 b 正确；对于 c,若 mln, m /a, n

14、/3,则a, 3可能平行，可能相交，故c 错误；对于 d, mn, m a, n 3,则 a 3,故 d 错误 .故选： b.根据空间线面位置关系的定义，性质判断或举反例说明. 本题主要考查空间直线与平面位置关系，属于基础题. 7 . 答案：d解析：【分析】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题 . 由折线图和条形图可得答案【解答】解：由折线图和条形图可得2012 年至 2013 年研发投入占营收比增量相比2017 年至 2018年增量大，2013 年至 2014 年研发投入增量相比2015 年至 2016 年增量小，该企业连续 12 年来研

15、发投入逐年增加，该企业连续 12 年来研发投入占营收比，有增有减故选： d.8 . 答案：b 解析：【解答】2 j 4解：s.q后s外i =。, 00.480.58 0.5, 也 2 力?1/ = ：= 05；. a bv c. 故选： b.【分析】可以得出：logjcot 00, 4*0,5,从而得出 a, b, c 的大小关系 . 考查对数函数、指数函数和备函数的单调性，增函数和减函数的定义. 9 . 答案：a第9页，共17页解析：解：由三视图还原原几何体如图, 可知该几何体为四棱锥，pa1b 面 abcd, pa=2, 底面 abcd 为矩形， ab=2, bc=4, 则四个侧面是直角三

16、角形，故正确；最长棱为 pc,长度为皿？ + 2* + 2,二 2 逆， 故正确；由已知可得， pb=2 便，pc = 2,pd=2%5,则四个侧面均不全等，故错误；把四棱锥补形为长方体，则其外接球半径为/ 匚=, 其表面积为伽 x (g2= 24 打，故正确 . .? 其中正确的个数为3.故选：a.由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥，pa1b 面 abcd, pa=2, 底面 abcd为矩形， ab=2, bc=4, 然后逐一分析四个选项得答案. 本题考查由三视图还原原几何体，考查空间想象能力与思维能力，是中档题. 10 . 答案：b 解析：【分析】本题考查了函数图象的识别，掌握函数

17、的奇偶性，以及函数值的变化趋势是关键，属于常规题 . 先判断函数的奇偶性，再根据函数值的变化趋势即可求出. 【解答】解：,. 函数 f (x)的定义域为 (-8,二)u (-, i)u ( , +),- f (x) 为偶函数，?f (x)的图象关于 y 轴对称，故排除a；分别取 x=1, x=2, 得 f (2) vf(1), 故排除 d; 综上所述，只有b 符合. 故选 b. 11 . 答案：d 解析：解：解：抛物线c： y2=2px (p0) 的焦点为 f0),过 f 且倾斜角为 120。的直线方程设为y7(x-：),联立抛物线的方程可得 8y2+2py-jp2=0,当 x=1 时， f

18、(1)二2,不满足题意 , x1 , x2不可能同时 1 .而 x1欢2, . xk 1 = 2,. x1 + x2=1 + x2-2lnx2, (x21). 构造函数g (x) =1+x-2lnx, ( x 1) 则/ =代 入再构x1 + x=t2+2t+第11页，共17页令 g (x) =0, 即 1：=。，解得 x=2; 令 g (x) 0, 即 1 一：0,解得 10, 即解得 x2. ?g (x)在( 1, 2)上单调递减，在x=2 处取得极小值，在 ( 2, +8)上单调递增 . . g (x) min=g (2) =3-2ln2 . . g (x) 2ln2 . . x1+x2

19、2ln2. 故选： c.13 . 答案：8 解析：解： a0, b0, 且 2 是 a, b 的等比中项，故ab=4,所以 a+4b4 反 d 尸 8,当且仅当 a=4b 时取得等号，即a=4, b=1 时取得最小值8. 故填： 8.a0, b0, 且 2 是 a, b 的等比中项，故ab=4, 再根据基本不等式处理即可，本题考查了等比中项的性质，基本不等式，属基础题. 14 . 答案：2 解析：解：由题意可得点oa=ob=2, ac=5设双曲线的标准方程是（一二 1. n b则 2c=4, c=2 贝 u 2a=ac-bc=5-3=2 , 所以 a=1. 所以双曲线的离心率为：e= = 2

20、.故答案为： 2.由题意可得点a, b, c 的坐标，设出双曲线的标准方程，根据题意知2a=ac-bc, 求得a,进而求得 c,则双曲线的离心率可得. 本题主要考查了双曲线的性质的简单应用，解答的关键是合理利用双曲线的定义解题. 15 . 答案： 解析：解：由题意知, it i t rl t(+tr ) ? ( 。:+%)=1“+ (/+1)已=t+t+1 (t2+1)第12页，共17页i , c 2 3=j 11+2）- 当 t=-2 时数量积取得最小值为g.故答案为：由题意计算 （，+）？（: +；）, 利用二次函数的性质求出最小值. 本题考查了平面向量的数量积计算问题，也考查了利用二次函

21、数求最值的应用问题，是基础题 . 16 . 答案：n1 2-，（n +1） 解析：解：由an+1=若.? 数列介 是以二 二; 为首项，以 2 为公差的等差数列, 故答案为：一、二2,则数列 1是以 为首项，以 2 为公差的等差数列，再由等差数列的前n 项和公式求解 . 本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了等差数列前题. 17 . 答案：解：（i） ,.b=4a26=c, .?b为锐角 . ,j. (42/ =62+a2-12a 飞, 化为：a2-4a+4=0, 解得 a=2. 1 e k?. abc 的面积s=, x 6 x 2 x 二例 2 . （口）日口=2pc，ad=3k/，

22、设 cd=x, 贝 u bd=2x. 在 9bd 与祥 bc 中，分别利用余弦定理可得: cosb z z - z2 6 k 21 2 x 6 x 31 ，解得 x=?.bc=j 网把已知数列递推式变形，可得n 项和的求法，是中档sinb= 甘,一 . 1 cosb= jl 加r 韦.第i3页，共i7页解析：(i)由 b=4 、24+80 m0+90 4) =78 (min), 第二组平均时间为：#2=60x0.25+70 0.5+80 0.2+90 0.05=70.5 (min), ,.xi x2 , .? 乙车间工人生产效率更高. ( 出) 由题意得，第一组生产时间少于75min 的工人有

23、 6 人，其中生产时间少于65min 的有 2 人，分别用 ai, a2代表，生产时间不少于65min 的工人用 bi, b2, b3, b4代表，抽取 2 人基本事件空间为： = (ai, a2) , (ai, bi) , (ai, b2) , (ai, b3) , (ai, b4) , (a2, bi) , (a2, b2) , ( a2, b3), ( a2, b4), ( bi, b2) , ( bi, b3), ( bi, b4), ( b2, b3), (b2, b4), ( b3, b4),共 i5 个基本事件 .设事件 a= 2 人中至少 i 人生产时间少于65min”则事件八

24、 = (bi, b2) , (bi, b3), (bi, b4), (b2, b3), (b2, b4), (b3, b4), 共 6 个基本事件抽取 2 人中，至少 i 人生产时间少于65min 的概率 p (a) =i-p (八)=i-=. 解析：(i )分别计算出在75min 生产完成一件产品的频率，然后估算总体的频数. (n )利用频数分布图和频率分布直方图分别估计平均值，由于乙车间平均值较小，可得乙车间生产效率高. ( 出) 可确定工人共有6 人，其中少于65min 的共有 2 人，列举出所有基本事件，根据古典概型求得结果 . 本题考查统计中的频数分布图和频率分布直方图、分层抽样、古

25、典概型的问题；对于文科考题中的古典概型问题，主要考查的求解方法为：列举法. 19 . 答案：(i )证明：在等腰梯形abcd 中，连接 bd, 交 ae 于点 o,.ab /ce, ab=ce, . 四边形 abce 为平行四边形， . ae=bc=ad=de, 第14页，共17页?zade 为等边三角形 , .? 在等腰梯形abcd 中，zc=zade = , /dab = zabc=1, ?. 在等腰adb中，db=bdq?.zdbc= 秣- ：=；, 即 bd1bc, . bdae, 翻折后可得： op4e, ob4e, 又 op?平面 pob, ob? 平面 pob, op nob =

26、 o, . ae!面pob, .pb? 平面 pob, . ae1pb. (n ) 设点 c 到平面 pab 的距离为 d, 由题意得， op面 abce 时，四棱锥 p-abce 体积最大 , -，ap=ab=1 , .3 咛ab= ?、，=，解析：本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题. (i )在等腰梯形abcd 中连接 bd,交 ae 于点 o,证明 bdae 即可得出翻折后ae 平面 pob, 从而 ae1pb; (n)根据vp-abc=vc-pab列方程求出点c 到平面 pab 的距离 . 20 . 答案：解： (i) ,.e：. a= c, 又 2b=6, 且

27、 a2=b2+c2, . a2=18, b2=9, 因此椭圆 c 的方程为 1+%=1. id 7(h) ：设 m (x0, y0), n(x1, y1), ?.nbimbi, nb2mb2. . . . / _ ., 直线nbi： y+3= ryx 直线 nb2：y-3=-；x由，解得：xi=21,又?.-1 + -=1, 9?pb=；, saabc=； x 1 x 1 x sint7 / 、/ ，% 、乂vp-abc=vc-pab=7x x d=,第15页，共17页-g (x)= 1 1-mf1 =-r- x1=- 四边形mb2nb1 的面积s=|b2b1| (|x1|+|x0|)心 x0

28、|, ?0 x020, ,f (x) 取最大值 二, 8,.a0, .a=4, (n ) .f (x)=-, 其中 x0 且 a0, f (x) 可(a) =a+aln-. ? 关于 x 的不等式 f (x) v 2 有解 , . a+alnt0,令 g (x) =lnx+1-x, ? . . . , . . 当工 (0, 1) 时，g (x) 0, g (x) 单倜递增，当1re (1, +0 )时，g (x) o 且口 。?fl a 的取值范围是a0 且 aw2解析：本题考查利用导数求函数的单调性与极值，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是较难题 . （i ）求出原函数的导函数，得到当时，f （x）取最大 值=，由 2 =2 求得 a 值，当 he (0, ) 时，f(x) v0, f (x) 单调递减 ,4，+00)时,f (x) 0, f (x) 单倜递增 ,f (x)的极小值点为x=上，无极大值点 . 当工) 时，f (x) 0, f (x)单调递增 , 第16页，共17页代入函数解析式，分析单调性，进一步得到极值点. （n ）求出原函数的导函数，分析单调性，得到f （x）耳（） =a+aln 把关于 x 的不 & 0等式 f （x） 2 有解转化为 a+aln v2,即也三 十_：0,再由 g （x） =lnx+1-x 的单调性ci a o得到 g （x