2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国卷Ⅰ)

1、1 / 15 绝密 启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(全国卷,文) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(2019 全国,文 1)设 z=3-i1+2i,则|z|=( ) a.2 b.3 c.2 d.1 解析z=3-i1+2i, z=(3-i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=1575i, |z|=(15)2+ (-75)2= 2. 故选 c. 答案 c 2.(2019 全国,文 2)已知集合 u=1,2,3,4,5,6,7,a=2,3,4,5,b=2,3,6,7,则 bua=( ) a

2、.1,6 b.1,7 c.6,7 d.1,6,7 解析由已知得ua=1,6,7, bua=6,7. 故选 c. 答案 c 2 / 15 3.(2019 全国,文 3)已知 a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则 ( ) a.abc b.acb c.cab d.bca 解析因为 a=log20.220=1, 又 00.20.30.201,即 c(0,1), 所以 ac1,f()=-1+20,排除 b,c.故选 d. 答案 d 6.(2019 全国,文 6)某学校为了解 1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为 1,2,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名

3、学生进行体质测验.若 46号学生被抽到,则下面 4 名学生中被抽到的是( ) a.8 号学生 b.200 号学生 c.616 号学生 d.815号学生 解析由已知得将 1 000名新生分为 100个组,每组 10名学生,用系统抽样 46号学生被抽到, 则第一组应为 6 号学生, 所以每组抽取的学生号构成等差数列an, 所以 an=10n-4,nn*, 若 10n-4=8,则 n=1.2,不合题意; 若 10n-4=200,则 n=20.4,不合题意; 若 10n-4=616,则 n=62,符合题意; 若 10n-4=815,则 n=81.9,不合题意. 故选 c. 4 / 15 答案 c 7.

4、(2019 全国,文 7)tan 255=( ) a.-2-3 b.-2+3 c.2-3 d.2+3 解析 tan 255=tan(180+75)=tan 75=tan(45+30)=tan45+tan301-tan45tan30=1+331-33=2+3. 答案 d 8.(2019 全国,文 8)已知非零向量 a,b 满足|a|=2|b|,且(a-b)b,则 a 与 b 的夹角为( ) a.6 b.3 c.23 d.56 解析因为(a-b)b, 所以(a-b) b=a b-b2=0, 所以 a b=b2. 设 a 与 b 的夹角为 , 则 cos =|=|22|2=12, 所以 a 与 b

5、的夹角为3,故选 b. 答案 b 9. 5 / 15 (2019全国,文 9)右图是求12+12+12的程序框图,图中空白框中应填入( ) a.a=12+ b.a=2+1 c.a=11+2 d.a=1+12 解析执行第 1次,a=12,k=12,是,第一次应该计算 a=12+12=12+,k=k+1=2;执行第 2 次,k=22,是,第二次应该计算 a=12+12+12=12+,k=k+1=3;执行第 3次,k=32,否,输出,故循环体为 a=12+,故选 a. 答案 a 10.(2019 全国,文 10)双曲线 c:2222=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为 130,则 c的离心率为(

6、 ) a.2sin 40 b.2cos 40 c.1sin50 d.1cos50 解析由已知可得-=tan 130=-tan 50, 则 e=1 + ()2= 1 + tan250 =1 +sin250cos250=sin250+cos250cos250=1cos50. 故选 d. 答案 d 6 / 15 11.(2019 全国,文 11)abc的内角 a,b,c的对边分别为 a,b,c.已知 asin a-bsin b=4csin c,cos a=-14,则=( ) a.6 b.5 c.4 d.3 解析由已知及正弦定理,得 a2-b2=4c2, 由余弦定理的推论,得-14=cos a=2+2

7、-22, 2-422=-14,-32=-14, =324=6,故选 a. 答案 a 12.(2019 全国,文 12)已知椭圆 c的焦点为 f1(-1,0),f2(1,0),过 f2的直线与 c 交于 a,b两点.若|af2|=2|f2b|,|ab|=|bf1|,则 c的方程为( ) a.22+y2=1 b.23+22=1 c.24+23=1 d.25+24=1 解析如图,由已知可设|f2b|=n,|bf1|=m. 由|ab|=|bf1|,则|af2|=m-n,|ab|=m. 又|af1|+|af2|=|bf1|+|bf2|,故|af1|=2n. 由椭圆的定义及|af2|=2|f2b|, 7

8、/ 15 得- = 2, + = 2,解得 =32, =2. |af1|=a,|af2|=a. 点 a为(0,-b). 2=1=b. 过点 b作 x轴的垂线,垂足为点 p. 由题意可知oaf2pbf2. 又|af2|=2|f2b|, |of2|=2|f2p|. |f2p|=12. 又2=|2|=|12=b, |bp|=12b.点 b(32,12). 把点 b坐标代入椭圆方程22+22=1 中,得 a2=3. 又 c=1,故 b2=2. 所以椭圆方程为23+22=1. 答案 b 二、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分。 13.(2019 全国,文 13)曲线 y=3(x2+x)ex

9、在点(0,0)处的切线方程为 . 解析由题意可知 y=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex =3(x2+3x+1)ex, 8 / 15 k=y|x=0=3. 曲线 y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 y=3x. 答案 y=3x 14.(2019 全国,文 14)记 sn为等比数列an的前 n项和.若 a1=1,s3=34,则 s4= . 解析设等比数列an的公比为 q. s3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=34, 即 q2+q+14=0. 解得 q=-12. 故 s4=1(1-4)1-=1-(-12)41+12=58. 答案58 15.(2019 全国,文 15)函数

10、 f(x)=sin(2 +32)-3cos x的最小值为 . 解析 f(x)=sin(2 +32)-3cos x =-cos 2x-3cos x =-2cos2x-3cos x+1 =-2(cos +34)2+178. -1cos x1, 当 cos x=1时,f(x)min=-4. 故函数 f(x)的最小值是-4. 9 / 15 答案-4 16.(2019 全国,文 16)已知acb=90,p为平面 abc外一点,pc=2,点 p 到acb 两边 ac,bc 的距离均为3,那么 p 到平面 abc的距离为 . 解析作 pd,pe 分别垂直于 ac,bc,po平面 abc.连接 co,od,知

11、 cdpd,cdpo,pdpo=p, cd平面 pdo,od平面 pdo, cdod. pd=pe=3,pc=2, sinpce=sinpcd=32, pcb=pca=60. poco,co 为acb 平分线, ocd=45,od=cd=1,oc=2. 又 pc=2,po=4-2 = 2. 答案2 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(12分) (2019全国,文 17)某商场为提高服务质量,随机调查了 50 名男顾客和 50名女顾

12、客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表: 10 / 15 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率; (2)能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异? 附:k2=(-)2(+)(+)(+)(+). p(k2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解(1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为4050=0.8,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.8. 女顾客中对该商场服务满意的比率为3050=0.6,因此女顾客对该商场服务满意的概率

13、的估计值为0.6. (2)k2=100(4020-3010)2505070304.762. 由于 4.7623.841,故有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 18.(12分) (2019全国,文 18)记 sn为等差数列an的前 n 项和.已知 s9=-a5. (1)若 a3=4,求an的通项公式; 11 / 15 (2)若 a10,求使得 snan的 n的取值范围. 解(1)设an的公差为 d. 由 s9=-a5得 a1+4d=0. 由 a3=4得 a1+2d=4. 于是 a1=8,d=-2. 因此an的通项公式为 an=10-2n. (2)由(1)得 a1=-4d,故

14、 an=(n-5)d,sn=(-9)2. 由 a10知 d0; 当 x(2,)时,g(x)0,g()=-2, 故 g(x)在(0,)存在唯一零点. 13 / 15 所以 f(x)在(0,)存在唯一零点. (2)解由题设知 f()a,f()=0,可得 a0. 由(1)知,f(x)在(0,)只有一个零点,设为 x0,且当 x(0,x0)时,f(x)0;当 x(x0,)时,f(x)0,所以 f(x)在(0,x0)单调递增,在(x0,)单调递减. 又 f(0)=0,f()=0,所以,当 x0,时,f(x)0. 又当 a0,x0,时,ax0,故 f(x)ax. 因此,a 的取值范围是(-,0. 21.(

15、12分) (2019全国,文 21)已知点 a,b 关于坐标原点 o 对称,|ab|=4,m过点 a,b 且与直线 x+2=0相切. (1)若 a 在直线 x+y=0上,求m 的半径; (2)是否存在定点 p,使得当 a 运动时,|ma|-|mp|为定值?并说明理由. 解(1)因为m过点 a,b,所以圆心 m在 ab的垂直平分线上.由已知 a在直线 x+y=0 上,且 a,b 关于坐标原点 o 对称,所以 m 在直线 y=x 上,故可设 m(a,a). 因为m 与直线 x+2=0相切,所以m的半径为 r=|a+2|. 由已知得|ao|=2,又 ,故可得 2a2+4=(a+2)2,解得 a=0或

16、 a=4. 故m的半径 r=2或 r=6. (2)存在定点 p(1,0),使得|ma|-|mp|为定值. 理由如下: 设 m(x,y),由已知得m 的半径为 r=|x+2|,|ao|=2. 由于 ,故可得 x2+y2+4=(x+2)2,化简得 m 的轨迹方程为 y2=4x. 因为曲线 c:y2=4x是以点 p(1,0)为焦点,以直线 x=-1为准线的抛物线,所以|mp|=x+1. 因为|ma|-|mp|=r-|mp|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点 p. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 14 / 15 22

17、.(10分) (2019全国,文 22)选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,曲线 c的参数方程为 =1-21+2, =41+2(t为参数).以坐标原点 o 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l的极坐标方程为 2cos +3sin +11=0. (1)求 c 和 l的直角坐标方程; (2)求 c 上的点到 l距离的最小值. 解(1)因为-11-21+21,且 x2+(2)2= (1-21+2)2+42(1+2)2=1,所以 c的直角坐标方程为 x2+24=1(x-1). l的直角坐标方程为 2x+3y+11=0. (2)由(1)可设 c 的参数方程为 = cos, = 2sin( 为参数,-). c上的点到 l的距离为 |2cos+23sin+11|7=4cos(-3)+117. 当 =-23时,4cos(-3)+11 取得最小值 7,故 c上的点到 l距离的最小值为7. 23.(10分) (2019全国,文 23)选修 45:不等式选讲 已知 a,b,c为正数,且满足 abc=1.证明: (1