2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷)1

1、1 / 18 绝密 启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(2017 全国 1,理 1)已知集合 a=x|x1,b=x|3x1,则( )

2、 a.ab=x|x1 d.ab= 解析3x1=30,x0,b=x|x0,ab=x|x0,ab=x|x1 000 的最小偶数 n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( ) a.a1 000和 n=n+1 5 / 18 b.a1 000 和 n=n+2 c.a1 000和 n=n+1 d.a1 000 和 n=n+2 解析因为要求 a大于 1 000 时输出,且程序框图中在“否”时输出,所以“”中不能填入 a1 000,排除 a,b.又要求 n为偶数,且 n初始值为 0,所以“”中 n 依次加 2 可保证其为偶数,故选 d. 答案 d 9.(2017 全国 1,理 9)已知曲线 c1:y=cos

3、x,c2:y=sin(2x+23),则下面结论正确的是( ) a.把 c1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线 c2 b.把 c1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线 c2 c.把 c1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线 c2 d.把 c1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线 c2 解析曲线 c1的方程可化为 y=cos x=sin( +2),把曲线 c1上各点的横坐标缩短到

4、原来的12倍,纵坐标不变,得曲线 y=sin(2 +2)=sin 2( +4),为得到曲线 c2:y=sin 2( +3),需再把得到的曲线向左平移12个单位长度. 答案 d 10.(2017 全国 1,理 10)已知 f 为抛物线 c:y2=4x 的焦点,过 f 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1与 c交于 a,b 两点,直线 l2与 c交于 d,e 两点,则|ab|+|de|的最小值为( ) 6 / 18 a.16 b.14 c.12 d.10 解析方法一:由题意,易知直线 l1,l2斜率不存在时,不合题意. 设直线 l1方程为 y=k1(x-1), 联立抛物线方程,得2= 4,

5、 = 1(-1), 消去 y,得12x2-212x-4x+12=0, 所以 x1+x2=212+412. 同理,直线 l2与抛物线的交点满足 x3+x4=222+422. 由抛物线定义可知|ab|+|de|=x1+x2+x3+x4+2p=212+412+222+422+4=412+422+82161222+8=16, 当且仅当 k1=-k2=1(或-1)时,取得等号. 方法二:如图所示, 由题意可得 f(1,0),设 ab倾斜角为 (不妨令(0,2).作 ak1垂直准线,ak2垂直 x轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得|cos + | = |1|,|1| = |,| = 2, 所以|af|

6、cos +2=|af|,即|af|=21-cos. 同理可得|bf|=21+cos,所以|ab|=41-cos2=4sin2. 7 / 18 又 de与 ab 垂直,即 de的倾斜角为2+,则|de|=4sin2(2+)=4cos2, 所以|ab|+|de|=4sin2+4cos2=4sin2cos2=414sin22=16sin2216,当 =4时取等号,即|ab|+|de|最小值为 16,故选 a. 答案 a 11.(2017 全国 1,理 11)设 x,y,z 为正数,且 2x=3y=5z,则( ) a.2x3y5z b.5z2x3y c.3y5z2x d.3y2x1,可得 2x3y;再

7、由25=2ln55ln2=ln25ln321,可得 2x5z; 所以 3y2x100 且该数列的前 n 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) a.440 b.330 c.220 d.110 解析设数列的首项为第 1组,接下来两项为第 2 组,再接下来三项为第 3组,以此类推,设第 n 组的项数为 n,则前 n 组的项数和为(1+)2.第 n组的和为1-21-2=2n-1,前 n 组总共的和为2(1-2)1-2-n=2n+1-2-n. 由题意,n100,令(1+)2100,得 n14且 nn*,即 n出现在第 13 组之后.若要使最小整数 n满足:n100 且前 n项和为 2的整数

8、幂,则 sn-(1+)2应与-2-n 互为相反数,即 2k-1=2+n(kn*,n14),所以 k=log2(n+3),解得 n=29,k=5. 所以 n=29(1+29)2+5=440,故选 a. 8 / 18 答案 a 二、填空题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20分。 13.(2017 全国 1,理 13)已知向量 a,b 的夹角为 60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|= . 解析因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4 |a| |b| cos 60+4|b|2=22+4 2 112+4 1=12, 所以|a+2b|=12=23. 答案 23 14.(2017 全国

9、1,理 14)设 x,y 满足约束条件 + 2 1,2 + -1,- 0,则 z=3x-2y的最小值为 . 解析不等式组 + 2 1,2 + -1,- 0表示的平面区域如图所示. 由 z=3x-2y,得 y=32x-2.求 z的最小值,即求直线 y=32x-2的纵截距的最大值. 数形结合知当直线 y=32x-2过图中点 a 时,纵截距最大. 由2 + = -1, + 2 = 1,解得 a 点坐标为(-1,1),此时 z 取得最小值为 3 (-1)-2 1=-5. 答案-5 15.(2017 全国 1,理 15)已知双曲线 c:2222=1(a0,b0)的右顶点为 a,以 a 为圆心,b为半径作

10、圆 a,圆 a 与双曲线 c 的一条渐近线交于 m,n两点.若man=60,则 c 的离心率为. 9 / 18 解析如图所示,由题意可得|oa|=a,|an|=|am|=b, man=60, |ap|=32b,|op|=|2-|2= 2-342. 设双曲线 c的一条渐近线 y=x 的倾斜角为 ,则 tan =|=322-342.又 tan =,322-342=,解得 a2=3b2, e=1 +22= 1 +13=233. 答案233 16.(2017 全国 1,理 16) 如图,圆形纸片的圆心为 o,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 abc的中心为 o.d,e,f 为圆 o 上的点,db

11、c,eca,fab分别是以 bc,ca,ab 为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以 bc,ca,ab为折痕折起dbc,eca,fab,使得 d,e,f重合,得到三棱锥.当abc 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为 . 解析 10 / 18 如图所示,连接 od,交 bc于点 g.由题意知 odbc,og=36bc. 设 og=x,则 bc=23x,dg=5-x, 三棱锥的高 h=2-2= 25-10 + 2-2= 25-10. 因为 sabc=12 23x 3x=33x2, 所以三棱锥的体积 v=13sabc h=3x2 25-10 = 3 254-105. 令 f(x

12、)=25x4-10 x5,x(0,52),则 f(x)=100 x3-50 x4.令 f(x)=0,可得 x=2, 则 f(x)在(0,2)单调递增,在(2,52)单调递减, 所以 f(x)max=f(2)=80. 所以 v3 80=415,所以三棱锥体积的最大值为 415. 答案 415 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(2017 全国 1,理 17)(12分) abc的内角 a,b,c的对边分别为 a,b,c.已知abc的面

13、积为23sin. (1)求 sin bsin c; (2)若 6cos bcos c=1,a=3,求abc的周长. 11 / 18 解(1)由题设得12acsin b=23sin,即12csin b=3sin. 由正弦定理得12sin csin b=sin3sin. 故 sin bsin c=23. (2)由题设及(1)得 cos bcos c-sin bsin c=-12,即 cos(b+c)=-12. 所以 b+c=23,故 a=3. 由题设得12bcsin a=23sin,即 bc=8. 由余弦定理得 b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得 b+c=33. 故abc的周长为

14、 3+33. 18.(2017 全国 1,理 18)(12分) 如图,在四棱锥 p-abcd 中,abcd,且bap=cdp=90. (1)证明:平面 pab平面 pad; (2)若 pa=pd=ab=dc,apd=90,求二面角 a-pb-c的余弦值. 解(1)由已知bap=cdp=90,得 abap,cdpd. 由于 abcd,故 abpd,从而 ab平面 pad. 又 ab平面 pab,所以平面 pab平面 pad. (2) 12 / 18 在平面 pad 内作 pfad,垂足为 f. 由(1)可知,ab平面 pad,故 abpf,可得 pf平面 abcd. 以 f 为坐标原点, 的方向

15、为 x 轴正方向,| |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 f-xyz. 由(1)及已知可得 a(22,0,0),p(0,0,22),b(22,1,0),c(-22,1,0). 所以 = (-22,1,-22), =(2,0,0), = (22,0,-22), =(0,1,0). 设 n=(x,y,z)是平面 pcb 的法向量,则 = 0, = 0,即-22 + -22 = 0,2 = 0. 可取 n=(0,-1,-2). 设 m=(x,y,z)是平面 pab 的法向量,则 = 0, = 0,即22-22 = 0, = 0. 可取 m=(1,0,1). 则 cos=|=-33. 所以二面角

16、 a-pb-c 的余弦值为-33. 19.(2017 全国 1,理 19)(12分) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布n(,2). (1)假设生产状态正常,记 x表示一天内抽取的 16个零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件数,求p(x1)及 x的数学期望; 13 / 18 (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. ()试说明上述监控

17、生产过程方法的合理性; ()下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸: 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 =116=116xi=9.97,s=116i=116(-)2= 116( =1162-162)0.212,其中 xi为抽取的第 i个零件的尺寸,i=1,2,16. 用样本平均数作为 的估计值,用样本标准差 s 作为 的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(-3,+3)之外的数据,用剩下的数据估计 和 (精确到 0

18、.01). 附:若随机变量 z 服从正态分布 n(,2),则 p(-3zb0),四点 p1(1,1),p2(0,1),p3(-1,32),p4(1,32)中恰有三点在椭圆 c上. (1)求 c 的方程; (2)设直线 l不经过 p2点且与 c 相交于 a,b 两点.若直线 p2a 与直线 p2b 的斜率的和为-1,证明:l过定点. 解(1)由于 p3,p4两点关于 y轴对称,故由题设知 c经过 p3,p4两点. 又由12+1212+342知,c 不经过点 p1,所以点 p2在 c 上. 因此12= 1,12+342= 1,解得2= 4,2= 1. 故 c 的方程为24+y2=1. (2)设直线

19、 p2a 与直线 p2b的斜率分别为 k1,k2, 如果 l与 x轴垂直,设 l:x=t,由题设知 t0,且|t|0. 设 a(x1,y1),b(x2,y2),则 x1+x2=-842+1,x1x2=42-442+1. 而 k1+k2=1-11+2-12 =1+-11+2+-12 =212+(-1)(1+2)12. 由题设 k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0. 即(2k+1)42-442+1+(m-1)-842+1=0. 解得 k=-+12. 当且仅当 m-1时,0,于是 l:y=-+12x+m, 即 y+1=-+12(x-2), 所以 l过定点(2,-1)

20、. 21.(2017 全国 1,理 21)(12分) 已知函数 f(x)=ae2x+(a-2)ex-x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)有两个零点,求 a的取值范围. 解(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1). ()若 a0,则 f(x)0,则由 f(x)=0得 x=-ln a. 16 / 18 当 x(-,-ln a)时,f(x)0,所以 f(x)在(-,-ln a)单调递减,在(-ln a,+)单调递增. (2)()若 a0,由(1)知,f(x)至多有一个零点. ()若 a0,由(1)知,当 x=-ln

21、 a时,f(x)取得最小值,最小值为 f(-ln a)=1-1+ln a. 当 a=1时,由于 f(-ln a)=0,故 f(x)只有一个零点; 当 a(1,+)时,由于 1-1+ln a0, 即 f(-ln a)0,故 f(x)没有零点; 当 a(0,1)时,1-1+ln a0,即 f(-ln a)-2e-2+20,故 f(x)在(-,-ln a)有一个零点. 设正整数 n0满足 n0ln(3-1),则 f(n0)=e0(ae0+a-2)-n0e0-n020-n00. 由于 ln(3-1)-ln a,因此 f(x)在(-ln a,+)有一个零点. 综上,a 的取值范围为(0,1). (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.(2017 全国 1,理 22)选修 44:坐标系与参数方程(10 分) 在直角坐标系 xoy 中,曲线 c的参数方程为 = 3cos, = sin,( 为参数),直线 l的参数方程为 = + 4, = 1-,(t为参数). (1)若 a=-1,求 c 与 l的交点坐标; (2)若 c