2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(课标全国Ⅱ) (2)

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国理科数学注意事项:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国,理1)已知集合a=-2,-1,0,1,2,b=x|(x-1)(x+2)&l

2、t;0,则ab=()a.-1,0b.0,1c.-1,0,1d.0,1,2答案:a解析:b=x|-2<x<1,ab=-1,0.2.(2015课标全国,理2)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=()a.-1b.0c.1d.2答案:b解析:(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,4a=0,a2-4=-4,解之得a=0.3.(2015课标全国,理3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是()a.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著b.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效c.2006

3、年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势d.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案:d解析:由柱形图知,2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势,故其排放量与年份负相关,故d错误.4.(2015课标全国,理4)已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()a.21b.42c.63d.84答案:b解析:由题意知a1+a3+a5a1=1+q2+q4=213=7,解得q2=2(负值舍去).a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=21×2=42.5.(2015课标全国,理5)设函数f(x)=1+log2(2-x),x<1,2x-1, x1

4、,则f(-2)+f(log212)=()a.3b.6c.9d.12答案:c解析:f(-2)=1+log24=3,f(log212)=2log212-1=2log21221=122=6,f(-2)+f(log212)=9.6.(2015课标全国,理6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()a.18b.17c.16d.15答案:d解析:由题意知该正方体截去了一个三棱锥,如图所示,设正方体棱长为a,则v正方体=a3,v截去部分=16a3,故截去部分体积与剩余部分体积的比值为16a356a3=15.7.(2015课标全国,理7)过三点a(1,

5、3),b(4,2),c(1,-7)的圆交y轴于m,n两点,则|mn|=()a.26b.8c.46d.10答案:c解析:设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0,将点a,b,c代入,得d+3e+f+10=0,4d+2e+f+20=0,d-7e+f+50=0,解得d=-2,e=4,f=-20.则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设m(0,y1),n(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|mn|=|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=16+80=46.8.(2015课标

6、全国,理8)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=()a.0b.2c.4d.14答案:b解析:由程序框图,得(14,18)(14,4)(10,4)(6,4)(2,4)(2,2),则输出的a=2.9.(2015课标全国,理9)已知a,b是球o的球面上两点,aob=90°,c为该球面上的动点.若三棱锥o-abc体积的最大值为36,则球o的表面积为()a.36b.64c.144d.256答案:c解析:由aob面积确定,若三棱锥o-abc的底面oab的高最大,则其体积才最大.因为高最大为半径r,所以v

7、o-abc=13×12r2×r=36,解得r=6,故s球=4r2=144.10.(2015课标全国,理10)如图,长方形abcd的边ab=2,bc=1,o是ab的中点.点p沿着边bc,cd与da运动,记bop=x.将动点p到a,b两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图像大致为()答案:b解析:当点p在线段bc上时,如图,x0,4.pb=obtan x=tan x,pa=pb2+ab2=tan2x+4,所以f(x)=pb+pa=tan x+tan2x+4.显然函数f(x)在0,4内单调递增,故f(0)f(x)f4,即2f(x)1+5.取线段cd的中点e,当点p

8、在线段ce上时,x4,2.如图,过点p作phab,垂足为h.则oh=1tanx,bh=1-1tanx.所以pb=ph2+bh2=12+1-1tanx2,pa=ph2+ah2=12+1+1tanx2.所以f(x)=pb+pa=1+1-1tanx2+1+1+1tanx2.所以f(x)在4,2上单调递减.当点p在点e处,f(x)=pb+pa=22<1+5.当点p在线段de上时,x2,34.由图形的对称性可知,此时函数图像与当点p在线段ce上时的图像关于x=2对称.当点p在线段da上时,x34,.由图形的对称性可知,此时的函数图像与当点p在线段bc上时的图像关于x=2对称.综上选b.11.(20

9、15课标全国,理11)已知a,b为双曲线e的左、右顶点,点m在e上,abm为等腰三角形,且顶角为120°,则e的离心率为()a.5b.2c.3d.2答案:d解析:设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),点m在右支上,如图所示,abm=120°,过点m向x轴作垂线,垂足为n,则mbn=60°.ab=bm=2a,mn=2asin 60°=3a,bn=2acos 60°=a.点m坐标为(2a,3a),代入双曲线方程x2a2-y2b2=1,整理,得a2b2=1,即b2a2=1.e2=1+b2a2=2,e=2.12.(2

10、015课标全国,理12)设函数f'(x)是奇函数f(x)(xr)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()a.(-,-1)(0,1)b.(-1,0)(1,+)c.(-,-1)(-1,0)d.(0,1)(1,+)答案:a解析:当x>0时,令f(x)=f(x)x,则f'(x)=xf'(x)-f(x)x2<0,当x>0时,f(x)=f(x)x为减函数.f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故f(1)=0.在区间(0,1)上,f(x)>0;在(1,

11、+)上,f(x)<0,即当0<x<1时,f(x)>0;当x>1时,f(x)<0.又f(x)为奇函数,当x(-,-1)时,f(x)>0;当x(-1,0)时,f(x)<0.综上可知,f(x)>0的解集为(-,-1)(0,1).故选a.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国,理13)设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=. 答案:12解析:由题意知存在常数tr,使a+b

12、=t(a+2b),得=t,1=2t,解之得=12.14.(2015课标全国,理14)若x,y满足约束条件x-y+10,x-2y0,x+2y-20,则z=x+y的最大值为. 答案:32解析:由约束条件画出可行域,如图中的阴影部分所示.由可行域可知,目标函数z=x+y过点b取得最大值.联立x-2y=0,x+2y-2=0,得b1,12.zmax=12+1=32.15.(2015课标全国,理15)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=. 答案:3解析一:(1+x)4=x4+c43x3+c42x2+c41x+c40x0=x4+4x3+6x2+4x+1,

13、(a+x)(1+x)4的奇数次幂项的系数为4a+4a+1+6+1=32,a=3.解析二:设(a+x)(1+x)4=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5.令x=1,得16(a+1)=b0+b1+b2+b3+b4+b5,令x=-1,得0=b0-b1+b2-b3+b4-b5,由-,得16(a+1)=2(b1+b3+b5).即8(a+1)=32,解得a=3.16.(2015课标全国,理16)设sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=snsn+1,则sn=. 答案:-1n解析:由an+1=sn+1-sn=snsn+1,得1sn-1sn+1=1,即1sn+1-1sn=-

14、1,则1sn为等差数列,首项为1s1=-1,公差为d=-1,1sn=-n,sn=-1n.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国,理17)abc中,d是bc上的点,ad平分bac,abd面积是adc面积的2倍.(1)求sinbsinc;(2)若ad=1,dc=22,求bd和ac的长.解:(1)sabd=12ab·adsinbad,sadc=12ac·adsincad.因为sabd=2sadc,bad=cad,所以ab=2ac.由正弦定理可得sinbsinc=acab=12.(2)因为sabdsadc=bddc,所以bd

15、=2.在abd和adc中,由余弦定理知ab2=ad2+bd2-2ad·bdcosadb,ac2=ad2+dc2-2ad·dccosadc.故ab2+2ac2=3ad2+bd2+2dc2=6.由(1)知ab=2ac,所以ac=1.18.(本小题满分12分)(2015课标全国,理18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从a,b两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:a地区:6273819295857464537678869566977888827689b地区:7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数

16、据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记事件c:“a地区用户的满意度等级高于b地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求c的概率.解:(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,a地区用户满意度评分的平均值高于b地区用户满意度评分的平均值;a地区用户满意度评分比较集中,b地区用户满意度评分

17、比较分散.(2)记ca1表示事件:“a地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;ca2表示事件:“a地区用户的满意度等级为非常满意”;cb1表示事件:“b地区用户的满意度等级为不满意”;cb2表示事件:“b地区用户的满意度等级为满意”,则ca1与cb1独立,ca2与cb2独立,cb1与cb2互斥,c=cb1ca1cb2ca2.p(c)=p(cb1ca1cb2ca2)=p(cb1ca1)+p(cb2ca2)=p(cb1)p(ca1)+p(cb2)p(ca2).由所给数据得ca1,ca2,cb1,cb2发生的频率分别为1620,420,1020,820,故p(ca1)=1620,p(ca2)=420

18、,p(cb1)=1020,p(cb2)=820,p(c)=1020×1620+820×420=0.48.19.(本小题满分12分)(2015课标全国,理19)如图,长方体abcd-a1b1c1d1中,ab=16,bc=10,aa1=8,点e,f分别在a1b1,d1c1上,a1e=d1f=4,过点e,f的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求直线af与平面所成角的正弦值.解:(1)交线围成的正方形ehgf如图:(2)作emab,垂足为m,则am=a1e=4,em=aa1=8.因为ehgf为正方形,所以eh=ef=

19、bc=10.于是mh=eh2-em2=6,所以ah=10.以d为坐标原点,da的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系d-xyz,则a(10,0,0),h(10,10,0),e(10,4,8),f(0,4,8),fe=(10,0,0),he=(0,-6,8).设n=(x,y,z)是平面ehgf的法向量,则n·fe=0,n·he=0,即10x=0,-6y+8z=0,所以可取n=(0,4,3).又af=(-10,4,8),故|cos<n,af>|=|n·af|n|af|=4515.所以af与平面ehgf所成角的正弦值为4515.20.(本小题满分1

20、2分)(2015课标全国,理20)已知椭圆c:9x2+y2=m2(m>0),直线l不过原点o且不平行于坐标轴,l与c有两个交点a,b,线段ab的中点为m.(1)证明:直线om的斜率与l的斜率的乘积为定值;(2)若l过点m3,m,延长线段om与c交于点p,四边形oapb能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由.解:(1)设直线l:y=kx+b(k0,b0),a(x1,y1),b(x2,y2),m(xm,ym).将y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故xm=x1+x22=-kbk2+9,ym=kxm+b=9bk2+9.于是直线om的

21、斜率kom=ymxm=-9k,即kom·k=-9.所以直线om的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)四边形oapb能为平行四边形.因为直线l过点m3,m,所以l不过原点且与c有两个交点的充要条件是k>0,k3.由(1)得om的方程为y=-9kx.设点p的横坐标为xp.由y=-9kx,9x2+y2=m2得xp2=k2m29k2+81,即xp=±km3k2+9.将点m3,m的坐标代入l的方程得b=m(3-k)3,因此xm=k(k-3)m3(k2+9).四边形oapb为平行四边形当且仅当线段ab与线段op互相平分,即xp=2xm.于是±km3k2+9=2×

22、k(k-3)m3(k2+9),解得k1=4-7,k2=4+7.因为ki>0,ki3,i=1,2,所以当l的斜率为4-7或4+7时,四边形oapb为平行四边形.21.(本小题满分12分)(2015课标全国,理21)设函数f(x)=emx+x2-mx.(1)证明:f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增;(2)若对于任意x1,x2-1,1,都有|f(x1)-f(x2)|e-1,求m的取值范围.解:(1)f'(x)=m(emx-1)+2x.若m0,则当x(-,0)时,emx-10,f'(x)<0;当x(0,+)时,emx-10,f'(x)>0.若m

23、<0,则当x(-,0)时,emx-1>0,f'(x)<0;当x(0,+)时,emx-1<0,f'(x)>0.所以,f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增.(2)由(1)知,对任意的m,f(x)在-1,0单调递减,在0,1单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x1,x2-1,1,|f(x1)-f(x2)|e-1的充要条件是f(1)-f(0)e-1,f(-1)-f(0)e-1,即em-me-1,e-m+me-1.设函数g(t)=et-t-e+1,则g'(t)=et-1.当t<0时,g'(t)<0;

24、当t>0时,g'(t)>0.故g(t)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,故当t-1,1时,g(t)0.当m-1,1时,g(m)0,g(-m)0,即式成立;当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即em-m>e-1;当m<-1时,g(-m)>0,即e-m+m>e-1.综上,m的取值范围是-1,1.请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,做答时请写清题号.22.(本小题满分10分)(2015课标全国,理22)选修41:几何证明选讲如图,o

25、为等腰三角形abc内一点,o与abc的底边bc交于m,n两点,与底边上的高ad交于点g,且与ab,ac分别相切于e,f两点.(1)证明:efbc;(2)若ag等于o的半径,且ae=mn=23,求四边形ebcf的面积.解:(1)由于abc是等腰三角形,adbc,所以ad是cab的平分线.又因为o分别与ab,ac相切于点e,f,所以ae=af,故adef.从而efbc.(2)由(1)知,ae=af,adef,故ad是ef的垂直平分线.又ef为o的弦,所以o在ad上.连结oe,om,则oeae.由ag等于o的半径得ao=2oe,所以oae=30°.因此abc和aef都是等边三角形.因为ae=23,所以ao=4,oe=2.因为om=oe=2,dm=12mn=3,所以od=1.于是ad=5,ab=1033.所以四边形ebcf的面积为12×10332×32-12×(23)2×32=1633.23.(本小题满分10分)(2015课标全国,理23)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xoy