活跃在高考数学中的新型函数

1、活跃在高考数学中的新型函数 函数是中学数学的主轴内容，也是历年高考“经久不衰”的考点.各级各类考试命题者为了命好函数题而绞尽脑汁，挖空心思，所编制的函数题超凡脱俗，新颖别致，颇具思考性和挑战性.其中以一些特殊函数为背景的函数题更是频频“闪亮登场”，常处于难解题的地位，充当把关题的“角色”.下面将活跃在高考中的几乎所有特殊函数分类列举，并予以剖析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.一、 凹凸函数1. 一般定义设函数为定义在区间上的函数，若对区间上任意两点、，恒有：（1），则称为上的凹函数；（2），则称为上的凸函数。2.正规定义：（北京高考题曾出过）设为定义在区间上的函数，若对区间上的任意两点和任意

2、实数总有，则称为上的凸函数反之，如果总有则称为的凹函数3. 凹凸函数的几何特征：几何特征1（形状特征）图1（凹函数） 图2（凸函数） 如图，设是凹函数y=曲线上两点，它们对应的横坐标，则，过点作轴的垂线交函数于A，交于B， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点与之间的部分位于弦的下方;凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点与之间的部分位于弦的上方。简记为：形状凹下凸上。几何特征2（切线斜率特征） 图3（凹函数） 图4（凸函数）设是函数y=曲线上两点，函数曲线与之间任一点A处切线的斜率：凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=随x增大而增大；凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=随x增大而减小；

3、简记为：斜率凹增凸减。几何特征3（增量特征）图5（凹函数） 图6（凸函数） 图7（凹函数） 图8（凸函数）设函数为凹函数，函数为凸函数，其函数图象如图5、6所示，由图7、8可知，当自变量逐次增加一个单位增量时，函数的相应增量，越来越大；函数的相应增量，越来越小；由此，对的每一个单位增量，函数的对应增量凹函数的增量特征是：越来越大；凸函数的增量特征是：越来越小；简记为：增量凹大凸小。4. 凹凸函数的二阶导数几何特征：若在区间上有，则在区间上是凸函数若在区间上有，则在区间上是凹函数5.应用弄清了上述凹凸函数及其图象的本质区别和变化的规律，就可准确迅速、简捷明了地解决有关凹凸的曲线问题。例1：一高为

4、、满缸水量为的鱼缸的截面如图9所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出若鱼缸水深为时水的体积为，则函数（）的大致图象可能是图10中的（ ） 图9 图10解：据四个选项提供的信息（从），我们可将水“流出”设想成“流入”，这样，每当增加一个单位增量时，根据鱼缸形状可知V的变化开始其增量越来越大，但经过中截面后则越来越小，故关于的函数图象是先凹后凸的，因此，选例2：向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系的图象如图11所示，那么水瓶的形状是（图12中的）（ ）（98全国高考题）图12 图11解：因为容器中总的水量（即注水量）V关于的函数图象是凸的，即每当增加一个单位增量，V的相应增

5、量越来越小这说明容器的上升的液面越来越小，故选 图13例3在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如图16所示现给出下面说法：A BC D前5分钟温度增加的速度越来越快； 前5分钟温度增加的速度越来越慢； 5分钟以后温度保持匀速增加； 5分钟以后温度保持不变其中正确的说法是（ ） 解：因为温度关于时间的图象是先凸后平行直线，即5分钟前每当增加一个单位增量，则相应的增量越来越小，而5分钟后是关于的增量保持为0，故选 注：本题选自中学数学教学参考2001年第12合期的试题集绵，用了增量法就反成了“看图说画”例4（06重庆 理）如图所示，单位圆中弧AB的长为，表示

6、弧AB与弦AB所围成的弓形面积的倍，则函数的图象是（ ） 图14解：易得弓形AxB的面积的2倍为f(x)=-sin由于是直线，每当增加一个单位增量，的对应增量不变；而sin是正弦曲线，在0，上是凸的，在，2上是凹的，故每当增加一个单位增量时，对应的增量（=1，2，3，）在0，上越来越小，在，2上是越来越大，故当增加一个单位增量时，对应的f(x)的变化，在0，上其增量越来越大，在，2上，其增量则越来越小，故f(x)关于的函数图象，开始时在0，上是凹的，后来在，2上是凸的，故选D例5（07 江西） 四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图

7、所示盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半设剩余酒的高度从左到右依次为，则它们的大小关系正确的是（）图15Ah2h1h4 Bh1h2h3 Ch3h2h4 Dh2h4h1解： 设内空高度为H, 剩余酒的高度关于酒杯中酒的体积函数从左到右依次为V1（h）、V2（h）、V3(h)、V4（h），根据酒杯的形状可知函数V1（h）、V2（h）、V4（h）的图象可为图16 因为函数V1（h）、V2（h）为凹函数, V1（h）当h从H，h增加一个单位增量， （1，2，3，）增大，则h1> 0.5H =h4；同理V2（h）当h从H，h增加一个单位增量，（1，2，3，）增大，则h2> 0.5H =h4

8、；所以h1> h4、 h2> h4；由V1（h）、V2（h）图象可知，h从Hh2，V1（h）>V2（h）,而0.5 V1（h）>V1（h）,V2（h）=0.5 V2（h）,则当V1（h）=0.5 V1（h）时h1> h2，所以答案为A.例6、(05·湖北卷)在这四个函数中，当时，使恒成立的函数个数是 ( ) 分析：运用数形结合思想,考察各函数的图象.注意到对任意x1,x2I,且x1<x2,当f(x)总满足时,函数f(x)在区间I上的图象是“上凸”的,由此否定y=2x,y=x2,y=cos2x，应选B。本小题主要考查函数的凹凸性，试题给出了四个基本初

9、等函数，要求考生根据函数的图像研究函数的性质-凹凸性，对试题中的不等关系式：，既可以利用函数的图像直观的认识，也可以通过代数式的不等关系来理解。考查的重点是结合函数的图像准确理解凹凸的含义.例7、若定义在区间上的函数对于上的任意个值总满足，则称为上的凸函数.现已知在上是凸函数，则在ABC中，的最大值是( ).A. B. C. D. 例8. （广东省惠州市2010届高三第三次调研理科）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数。以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）A B C D 【答案】D【解析】若，则，在上，恒有；若，则，在

10、上，恒有；若，则，在上，恒有；若，则，在上，恒有，故选D。例9对于函数定义域中任意有如下结论： 上述结论中正确的结论个数是（ C ）1 2 3 4例10.（2010东北三校高三第一次联合模拟）已知函数，对于满足的任意，给出下列结论： 其中正确结论的序号是 （ ） 例11、（05北京理）对于函数定义域中任意的，有如下结论： ； ； . 当时，上述结论中正确结论的序号是 （） 。本题把对数的运算（）、对数函数的单调性（）、对数函数图像的凹凸性（）等知识有机的合成为一道多项填空题，若对函数的性质有较清楚的理解便不会有困难，而靠死记硬背的考生就会有问题。通过以上的例子可以看出在高三复习时，有必要留意以

11、高等数学知识为背景的创新题与信息题，也有必要让学生了解简单高等数学与初等数学结合的知识，这样既可以达到简化运算、避免易错点的目的，还可以突破难点，找到规律性的解题途径，更为高等数学的学习打下良好的基础。同时使学生们认识到知识学的越多、越深入，解决起问题来越有规律性、越简单。从而使他们渴望学习，渴望积累，更进一步的增加分析问题，解决问题的能力。二、分式型函数1、一次分式型一般变换方式：移项为： 原形为反比例函数，只不过对称中心移到了【例】.函数（）的值域是，则集合_2、-对（双、勾）勾函数、Nike函数、海鸥函数性质定义域值域奇偶性：奇函数，图像关于原点对称单调性：单增区间： 单减区间: 凹凸性

12、：在上凸，在上凹。渐近线：【附：类耐克函数】如的函数图象，由图象可知：函数定义域为、值域：、函数为偶函数、当和时单调递减；当和时单调递增。3、性质定义域 值域：奇偶性：奇函数，图像关于原点对称单调性：单增区间：和凹凸性：在上凹，在上凸。渐近线：4、性质定义域： 值域： 奇偶性：奇函数，图像关于原点对称单调性：单增区间： 单减区间: Oxy11凹凸性：在上凹，在上凸。【例1】若函数的图象如图所示，则m的范围为( )A（，1） B（1，2） C（1，2） D（0，2）【例2】设函数的图像如下图，则的大小为（C）A B C D三、取整函数（高斯函数）与小数函数1、高斯函数定义：设， 用表示不超过的最

13、大整数(如，等等)，则称为高斯函数，也叫取整函数。 任意一个实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即：，所以有：，这里是的整数部分，而是的小数部分。图像与性质：1）、高斯函数的定义域是，值域是，图象为： 2）、高斯函数是一个分段表达的不减的无界函数，即当时，有。 3）、对于任意整数，有：。 4）、对于任意实数、，有：，且 。 5）、由图象易见： 。 6）、若、N，则在数列，中，的倍数共有个。 7）、若、是整数，且, 则，且。 8）、对于任意正整数及实数，有：。2、小数函数的图象和性质1）函数的定义域是，值域为，图象为：2）的充要条件是。3）的充要条件是。4）若，则【例1】给定实数x，定义x为不

14、大于x的最大整数，则下列结论不正确的是( ).A.x-x0 B.x-x1 C.x-x是周期函数 D.x-x是偶函数x叫做取整函数，例如3=3，3.9=3，-3.1=-4，显然0x-x1，且函数x-x是周期函数，其周期为1.故应选D.【例2】给出定义：若 (其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：的定义域是，值域是；点是的图像的对称中心；函数的最小正周期为1； 函数在上是增函数； 则其中真命题是_ 解答：关键是能画出图像【例3】（广东省深圳高级中学2010届高三一模理科）设函数，表示不超过实数m的最大整数，则函数的值域是 答案-1，0 【例4】（2

15、009滨州一模）设函数，表示不超过的最大整数，则函数的值域为 A . B . C . D . 答案 B【例5】（2008青岛第一次质检）符号表示不超过的最大整数，如，定义函数，给出下列四个命题：函数的定义域是，值域是方程有无数个解；函数是周期函数；函数是增函数；其中正切命题的序号有 【例6】已知函数 ()，其中x表示不超过x的最大整数，如2.1=3，3=3，2.5=2.定义是函数的值域中的元素个数，数列的前n项和为，则满足的最大正整数 答案【例7】设x表示不超过x的最大整数（例如：55=5，一556），则不等式的解集为 （B ）A（2，3） B2，4） C2，3 D（2，3四、取大函数与取小函

16、数与【例1】(泉州2010届高三上学期数学模拟)任意的实数 ，记若，其中奇函数在x=l时有极小值-2，是正比例函数，函数与函数的图象如图所示则下列关于函数的说法中，正确的是( )A为奇函数 B有极大值F（-1）且有极小值F（0）C的最小值为-2且最大值为2 D在（-3，0）上为增函数答案B【例2】（2009宁夏海南）用表示a、b、c这三个数中的最小值。设，则的最大值为（C ）A4B5C6D7【例3】设表示，两者中的较小的一个，若函数，则满足的的集合为（ C ） （A） （B） （C） （D）【例4】（2006浙江）对，记，函数的最小值-【例5】（2010陕西）某学校要召开学生代表大会，规定各班

17、每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（B） 例6（2010湖南）用表示两数中的最小值。若函数的图像关于直线对称，则的值为A-2 B2 C-1 D1【例7】定义运算：.设，若，则的值域为（ C ）. A. B. C. D.五、双曲函数：1. 双曲正弦函数 性质：定义域 值域：奇偶性：奇函数，图像关于原点对称单调性：单增区间：凹凸性：在上凸，在上凹。渐近线：当时，它的图形在第一象限内接近于曲线在第三象限内接近于曲线 反函数： 定义域2、双曲余弦函数 性质: 定义域 值域：1,+

18、).奇偶性：偶函数，图像关于轴对称单调性：单增区间：单减区间：凹凸性：在上凹。渐近线：当时，它的图形在第一象限内接近于曲线在第二象限内接近于曲线反函数： 定义域：1,+).3、双曲正切函数 性质：定义域：R.值域：(-1,1).奇偶性：奇函数.单调性：函数图像为过原点并且穿越,象限的严格单调递增曲线渐近线：其图像被限制在两渐近线y=1和y=-1之间反函数： 定义域4、恒等式（举四个）5、双曲函数的导数【例2010高考题】.函数的图像大致为（ A )1 x y 1 O A x y O 1 1 B x y O 1 1 C x y 1 1 D O 六、单位跳跃函数与符号函数称为单位跳跃函数，称为符号

19、函数.七、有界函数定义在D上的函数，如果满足：存在常数M0，对任意xD，都有成立，则称是D上的有界函数【例1】（2010石景山期末模拟）如果对于函数的定义域内的任意，都有（为常数）成立，那么称为可界定函数，为上界值，为下界值设上界值中的最小值为，下界值中的最大值为给出函数，那么的值（ B ）A大于 B等于 C小于 D不存在【例2】试判断函数在实数集上，函数在1,3上是不是有界函数？若是，请给出证明；若不是，请说出理由。解：|f(x)|=|)+3|+3=2|)|+32×1+3=5，对任意xR都成立，f(x)是R上的有界函数.，当x1,3时，g(x)0. g(x)在1,3上是增函数.当x

20、1,3时，g(1)g(x)g(3)，即-2g(x)26.存在常数M=26，使得对任意x1,3，都有|g(x)|M成立.故函数是1,3上的有界函数.八、闭函数定义：对于函数，若同时满足以下条件在上单调递增或单调递减；存在区间使在上的值域是。那么，我们把函数叫做闭函数。反思：【例】例给出封闭函数的定义：若对于定义域内的任意一个自变量,都有函数值,则称函数在上封闭.若定义域则给出下列函数：（A） （B）（C） （D）其中在D上封闭的是 .（填序号即可）答案BCD【例】、(福建省漳州一中2008年上期期末考试)函数的定义域为，若满足：在内是单调函数；存在，使得在上的值域也是，则称为闭函数. 若是闭函数

21、，则实数的取值范围是A. B. C. D.答案：C【例】（2010北京海淀区期末模拟文科）对于函数，存在区间使得，则称区间为函数的一个“稳定区间”。请你写出一个具有“稳定区间”的函数 ；（只要写出一个即可）给出下列4个函数： 其中存在“稳定区间”的函数有 ；（填上正确的序号）【例】已知函数的定义域为D，且同时满足以下条件：在D上单调递增或单调递减；存在区间a,bD，使得在a,b上的值域是a,b，那么我们把函数(xD)叫做闭函数.(1)求闭函数符合条件的区间a,b；(2)判断函数(xR+)，是不是闭函数？若是，请说明理由，并找出区间a,b；若不是，请说明理由；(3)若是闭函数，求实数k的取值范围

22、.(1)因为y=-x3在R上单调递减，所以有-a3=b，-b3=a，二式相加得，-(a+b)(a2-ab+b2)=a+ba+b=0或a2-ab+b2=-1(舍)，即a=-b，代入-a3=b，得b3=bb=0或b=±1，而当b=0时，a=0；当b=-1时，a=1，又ab，故b0，b-1.b=1，a=-1，故a,b=-1,1.(2)取x1=1，x2=10，则f(x1)=f(x2)，故f(x)不是(0,+)上的减函数.取x1=，x2=，则f(x1)=+10+100=f(x2)，故f(x)不是(0,+)上的增函数.f(x)不是闭函数.y=2-lge，令y=0x=，当x时，y0，即它在(,+)

23、上单调递增；当0x时，y0，即它在(0,)上单调递减.综上可知y=2x-lgx不是单调函数，故它肯定不是闭函数.(3)y=0，故y=k+在-2,+)上单调递增，故(ak，bk)，故a，b为方程F(x)=x2-(2k+1)x+k2-2=0的两个大于或等于k的不同实根，则解得-k-2.所以实数k的取值范围为(-,-2.九、利普希茨类函数【例】已知函数f(x)=x2-1(x1)的图像是C1，函数y=g(x)的图像C2与C1关于直线y=x对称.(1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M；(2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x1，x2，都有|h(x1)-h

24、(x2)|a|x1-x2|成立，则称函数y=h(x)为A上的利普希茨类函数.试证明：y=g(x)是M上的利普希茨类函数.(3)设A，B是C2上任意不同的两点，证明直线AB与直线y=x必相交.(1)曲线C1和C2关于直线y=x对称，则g(x)为f(x)的反函数.由y=x2-1，得x2=y+1，又x1，x=，y0.曲线C2的方程为g(x)=，M=0,+).(2)对任意x1，x2M，且x1x2，则有x1-x20，x10，x20.|g(x1)-g(x2)|=|-|=|x1-x2|.故y=g(x)为M上的利普希茨类函数，其中a=.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)是曲线C2上任意不同的两点，x1

25、，x2M，且x1x2，由(2)知.直线AB的斜率kAB1，故直线AB与直线y=x必相交.例.(09浙江理）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有下列结论中正确的是 ( )A若，则B若，且，则C若，则D若，且，则答案 C 十.“淡泊”函数、完美函数、平缓函数【例】若函数对任意的，都有成立，则称为上的“淡泊”函数.(1)判断是否为-1,1上的“淡泊”函数，请说明理由；(2)设为R上的“淡泊”函数，证明：仍为R上的“淡泊”函数；(3)是否存在实数，使为R上的“淡泊”函数，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.(1)f(x)=x2+x是-1,1上的“淡泊”函数.因|f(x1)-f

26、(x2)|=|(x1-x2)(x1+x2+2)|，对于任意的x1，x2-1,1，都有0x1+x2+24，所以|f(x1)-f(x2)|x1-x2|，即f(x)=x2+x是-1,1上的“淡泊”函数.(2)证明：对于任意的x1，x2R，则|F(x1)-F(x2)|=|f(x1+a)-f(x2+a)|，设x1+a=t1，x2+a=t2，于是t1，t2R，f(x)为R上的“淡泊”函数，|f(t1)-f(t2)|t1-t2|，即|f(t1)-f(t2)|=|F(x1)-F(x2)|，|t1-t2|=|(x1+a)-(x2+a)|=|x1-x2|因此|F(x1)-F(x2)|x1-x2|，F(x)=f(x

27、+a)仍为R上的“淡泊”函数.(3)假设存在实数k，使f(x)=k为R上的“淡泊”函数.于是对于任意x1，x2R，都有|f(x1)-f(x2)|=|k-k|x1-x2|.当x1=±x2时，显然成立；当x1±x2时，有|k|·1成立，即|k|，由于1，所以只要|k|1即可，即存在实数k，使f(x)=k为R上的“淡泊”函数，实数k的取值范围是-1,1.【例】、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)若函数满足：“对于区间（1，2）上的任意实数，|恒成立，”则称为“完美函数”.在下列四个函数中，“完美函数”是ABCD答案：A【例】如果对于函数的定义域内任意的，都有成

28、立，那么就称函数是定义域上的“平缓函数”（1）判断函数，是否是“平缓函数”；（2）若函数是闭区间上的“平缓函数”，且证明：对于任意的，都有成立（3）设、为实常数，若是区间上的“平缓函数”，试估计的取值范围（用表示，不必证明）证明：（1）对于任意的，有，2分从而函数，是“平缓函数” 4分（2）当时，由已知得； 6分当时，因为，不妨设，其中，因为，所以.故对于任意的，都有成立 10分（3）结合函数的图象性质及其在点处的切线斜率，估计的取值范围是闭区间（注：只需直接给出正确结论）14分十一.“西湖”函数、Storm函数【例】定义在定义域内的函数，若对任意，都有，则称函数为“西湖”函数，否则称“非西湖

29、”函数.函数是否为“西湖”函数？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由.易知|f(x1)-f(x2)|f(x)max-f(x)min|.函数f(x)=x3-x+a(x-1,1，aR)的导数是f(x)=3x2-1，令f(x)=3x2-1=0，解得x=±.此时，f()=a-，f(-)=a+又f(1)=f(-1)=a，所以函数f(x)=x3-x+a(x-1,1，aR)的最大值是a+，最小值是a-，所以|f(x1)-f(x2)|f(x)max-f(x)min|=1.故函数f(x)=x3-x+a(x-1,1，aR)是“西湖”函数.十二、密切函数【例】（周测题）设与是定义在同一区间a，b上的两

30、个函数，若对任意xa，b，都有成立，则称和在a，b上是“密切函数”，区间a，b称为“密切区间”.若与在a，b上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是 （ ）A. 1，4 B. 2，4 C. 3，4 D. 2，3十三、承托函数【例】定义在R上的函数，如果存在函数(为常数)，使得对一切实数都成立，则称为函数的一个承托函数现有如下命题： 对给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；为函数的一个承托函数； 定义域和值域都是R的函数不存在承托函数其中正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 十四、倍约束函数、函数、有界泛函【例】设函数的定义域为R，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“倍约

31、束函数”现给出下列函数：；是定义在实数集R上的奇函数，且对一切，均有其中是“倍约束函数”的序号是 【例】如果函数对任意的实数，存在常数M,使得不等式恒成立，那么就称函数为有界泛函，下面四个函数：； ； 其中属于有界泛函的是（ ）A. B. C. D. 答案 B【例】设的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为函数现给出下列函数：1,3,5其中是函数的函数有 十五、三个超越函数1、函数在上是减函数，在上是增函数2、函数在上是增函数3、函数在上是增函数，在上是增函数【例】（05高考）若则（ ） 【例】已知，则，的大小关系为（ ）A B C D十六、阶梯函数【例】对函数，定义（其中x（mk，

32、mmk，kZ，m0，n0，且m、n为常数）为的第k阶阶梯函数，m叫做阶宽，n叫做阶高，已知阶宽为2，阶高为3 （1）当时 求和的解析式； 求证：的各阶阶梯函数图象的最高点共线； （2）若，则是否存在正整数，使得不等式有解？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解：（I）2分4分（II）时是增函数，6分的第k阶阶梯函数图象的最高点为第k+1阶阶梯函数图象的最高点为10分过Pk，Pk+1这两点的直线斜率为同是可得过两点的直线斜率也为的各阶阶梯函数图象的最高点共线。12分十七、延拓函数例：设函数、的定义域分别是、，且，若对任意的，都有=，则称为在上的一个“延拓函数”。已知函数，若为在上的一个“延拓函数”，且为偶函数，则函数的解析式为 十八、非减函数【例】函数f (x)的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数 . 设函数f (x)在0，1上为非减函数，且满足以下三个条件：； ； .则等于（ ） A. B. C. 1 D. 答案A十九、阶整点函数例、(