2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(湖北卷)

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工类)本试题卷共6页,22题.其中第15、16题为选考题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2b铅笔将答题卡上试卷类型a后的方框涂黑.2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上

2、指定的位置用2b铅笔涂黑,再在答题卡上对应的答题区域内答题.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015湖北,理1)i为虚数单位,i607的共轭复数为() a.ib.-ic.1d.-1答案:a解析:i607=i151×4+3=i3=-i,i607的共轭复数为i.2.(2015湖北,理2)我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,

3、则这批米内夹谷约为()a.134石b.169石c.338石d.1 365石答案:b解析:由条件知254粒内夹谷28粒,可估计米内夹谷的概率为28254=14127,所以1 534石米中夹谷约为14127×1 534169(石).3.(2015湖北,理3)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为()a.212b.211c.210d.29答案:d解析:由条件知cn3=cn7,n=10.(1+x)10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.4.(2015湖北,理4)设xn(1,12),yn(2,22),这两个正态分布密度

4、曲线如图所示,下列结论中正确的是()a.p(y2)p(y1)b.p(x2)p(x1)c.对任意正数t,p(xt)p(yt)d.对任意正数t,p(xt)p(yt)答案:c解析:由曲线x的对称轴为x=1,曲线y的对称轴为x=2,可知2>1.p(y2)<p(y1),故a错;由图象知1<2且均为正数,p(x2)>p(x1),故b错;对任意正数t,由题中图象知,p(xt)p(yt),故c正确,d错.5.(2015湖北,理5)设a1,a2,anr,n3,若p:a1,a2,an成等比数列:q:(a12+a22+an-12)(a22+a32+an2)=(a1a2+a2a3+an-1an

5、)2,则()a.p是q的充分条件,但不是q的必要条件b.p是q的必要条件,但不是q的充分条件c.p是q的充分必要条件d.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件答案:a解析:p:a1,a2,an成等比数列,设公比为t,(a12+a22+an-12)(a22+a32+an2)=a12(1+t2+t4+t2n-4)·a12t2(1+t2+t4+t2n-4)=a14t2(1+t2+t4+t2n-4)2,(a1a2+a2a3+an-1an)2=a12t(1+t2+t4+t2n-4)2=a14t2(1+t2+t4+t2n-4)2.q成立.故pq.当an=0时,q成立,而p不成立.qp.故p是q

6、的充分不必要条件.6.(2015湖北,理6)已知符号函数sgn x=1,x>0,0,x=0,-1,x<0.f(x)是r上的增函数,g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),则()a.sgng(x)=sgn xb.sgng(x)=-sgn xc.sgng(x)=sgnf(x)d.sgng(x)=-sgnf(x)答案:b解析:f(x)是r上的增函数,g(x)=f(x)-f(ax)(a>1),当x>0时,x<ax,g(x)<0.sgng(x)=-1;当x=0时,x=ax,g(x)=0.sgng(x)=0;当x<0时,x>ax,g(x)>0.

7、sgng(x)=1.sgng(x)=-sgn x.故选b.7.(2015湖北,理7)在区间0,1上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y12”的概率,p2为事件“|x-y|12”的概率,p3为事件“xy12”的概率,则()a.p1<p2<p3b.p2<p3<p1c.p3<p1<p2d.p3<p2<p1答案:b解析:由题意知0x1,0y1.如图1,当x+y12时,p1=1-12×1221=78.如图2,当|x-y|12时,p2=1-18-181=68=34.如图3,121 12xdx=12lnx2|121=12ln12-ln14=ln2

8、.图1图2图3p3=12+ln2.p3-p2=ln2-14=ln2-ln e14=ln44e>0,p3-p1=ln2-38=ln2-ln e38=ln816e3<0,p2<p3<p1.8.(2015湖北,理8)将离心率为e1的双曲线c1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线c2,则()a.对任意的a,b,e1>e2b.当a>b时,e1>e2;当a<b时,e1<e2c.对任意的a,b,e1<e2d.当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2答案:d解析:

9、由条件知e12=c2a2=1+b2a2,e22=1+b+ma+m2,当a>b时,b+ma+m>ba,e12<e22.e1<e2.当a<b时,b+ma+m<ba,e12>e22.e1>e2.所以,当a>b时,e1<e2;当a<b时,e1>e2.9.(2015湖北,理9)已知集合a=(x,y)|x2+y21,x,yz,b=(x,y)|x|2,|y|2,x,yz,定义集合a􀱇b=(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)a,(x2,y2)b,则a􀱇b中元素的个数为()a.77b.49c.45d

10、.30答案:c解析:a=(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),(0,0).如图,b中元素共25个.(1)当x1=y1=0时,a􀱇b=b,共有25个元素.(2)当x1=0,y1=-1时,a􀱇b中的元素为(x2,y2-1),其中不在b中的元素有(-2,-3),(-1,-3),(0,-3),(1,-3),(2,-3)共5个.(3)当x1=0,y1=1时,a􀱇b中的元素为(x2,y2+1),其中不在b中的元素有(-2,3),(-1,3),(0,3),(1,3),(2,3)共5个.(4)当x1=-1,y1=0时,a􀱇b

11、中的元素为(x2-1,y2),其中不在b中的元素有(-3,-2),(-3,-1),(-3,0),(-3,1),(-3,2)共5个.(5)当x1=1,y1=0时,a􀱇b中的元素为(x2+1,y2),其中不在b中的元素有(3,-2),(3,-1),(3,0),(3,1),(3,2)共5个.综上,a􀱇b中的元素共有25+5×4=45(个).10.(2015湖北,理10)设xr,x表示不超过x的最大整数,若存在实数t,使得t=1,t2=2,tn=n同时成立,则正整数n的最大值是()a.3b.4c.5d.6答案:b解析:tn=n,ntn<n+1,即n1

12、nt<(n+1)1n,问题转化为求n的最大值,使k取1到n时,不等式k1kt<(k+1)1k均成立,即lnkkln t<ln(k+1)k,构造函数f(x)=lnxx,则f'(x)=1-lnxx2,当0<x<e时,f'(x)>0,当x>e时,f'(x)<0,且f(2)=ln22<ln33=f(3),当k=3时,ln33为最大值,即313为k1k的最大值.当n=3时,413>313成立;当n=4时,514=125112>81112=313成立;当n=5时,615=(63)115=216115,而313=(35

13、)115=243115,(n+1)1n>313不成立.所以正整数n的最大值为4.二、填空题:本大题共6小题,考生需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置.书写不清,模棱两可均不得分.(一)必考题(11-14题)11.(2015湖北,理11)已知向量oaab,|oa|=3,则oa·ob=. 答案:9解析:oa·ob=oa·(oa+ab)=|oa|2+oa·ab.又oaab,|oa|=3.oa·ob=9.12.(2015湖北,理12)函数f(x)=4cos2x2cos2-x-2sin x-|l

14、n(x+1)|的零点个数为. 答案:2解析:令f(x)=4·1+cosx2·sin x-2sin x-|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|=0,即sin 2x=|ln(x+1)|,在同一坐标系作出y=sin 2x与y=|ln(x+1)|的图象.由图象知共2个交点,故f(x)的零点个数为2.13.(2015湖北,理13)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达b处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度cd= m. 

15、;答案:1006解析:在abc中,bac=30°,abc=180°-75°=105°,bca=45°.ab=600,由正弦定理得absinbca=bcsinbac,解得bc=3002(m).在rtbcd中,cbd=30°,dcb=90°,cd=bc·tan 30°=3002×33=1006(m).14.(2015湖北,理14)如图,圆c与x轴相切于点t(1,0),与y轴正半轴交于两点a,b(b在a的上方),且|ab|=2.(1)圆c的标准方程为; (2)过点a任作一条直线与圆o:x2+

16、y2=1相交于m,n两点,下列三个结论:|na|nb|=|ma|mb|;|nb|na|-|ma|mb|=2;|nb|na|+|ma|mb|=22.其中正确结论的序号是.(写出所有正确结论的序号) 答案:(1)(x-1)2+(y-2)2=2(2)解析:(1)由题意可设圆心c坐标为(1,b),再取ab中点为p,连接cp,cb,则bpc为直角三角形,得|bc|=r=2=b,故圆c的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=2.(2)由(1)知圆c的方程为(x-1)2+(y-2)2=2,令x=0,得y1=2-1或y2=2+1,所以a(0,2-1),b(0,2+1).设m(cos ,sin ),则

17、|mb|2=cos2+(sin -2-1)2=4+22-2(2+1)sin ,|ma|2=cos2+sin -(2-1)2=4-22-2(2-1)sin .|mb|2|ma|2=4+22-2(2+1)sin4-22-2(2-1)sin=2+2-(2+1)sin2-2-(2-1)sin=(2+1)(2-sin)(2-1)(2-sin)=2+12-1=3+22.|mb|ma|=1+2.同理|nb|na|=1+2.|na|nb|=|ma|mb|,即成立.又|nb|na|-|ma|mb|=1+2-11+2=1+2-(2-1)=2,也成立.又|nb|na|+|ma|mb|=1+2+11+2=22,也成立

18、.综上所述,都正确.(二)选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2b铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)15.(2015湖北,理15)(选修41:几何证明选讲)如图,pa是圆的切线,a为切点,pbc是圆的割线,且bc=3pb,则abac=. 答案:12解析:由题意易知pbapac,则得pbpa=papc=abac.又pa2=pb·pc,bc=3pb,所以pa2=4pb2,即pa=2pb,故abac=pbpa=12.16.(2015湖北,理16)(选修44:坐标系与参数方程)在直角坐标系xoy中,以o为极点

19、,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为(sin -3cos )=0,曲线c的参数方程为x=t-1t,y=t+1t(t为参数),l与c相交于a,b两点,则|ab|=. 答案:25解析:由题意知直线l的直角坐标方程为y=3x,曲线c的普通方程为y2-x2=4.由y=3x,y2-x2=4,得x=±22,由弦长公式得|ab|=10×2=25.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分11分)(2015湖北,理17)某同学用“五点法”画函数f(x)=asin(x+)>0,|<2在某一个周期

20、内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:x+02322x356asin(x+)05-50(1)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动(>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象,若y=g(x)图象的一个对称中心为512,0,求的最小值.解:(1)根据表中已知数据,解得a=5,=2,=-6.数据补全如下表:x+02322x123712561312asin(x+)050-50且函数表达式为f(x)=5sin2x-6.(2)由(1)知f(x)=5sin2x-6,得g(x)=5sin2x+2-6.因为y=sin

21、x的对称中心为(k,0),kz.令2x+2-6=k,解得x=k2+12-,kz.由于函数y=g(x)的图象关于点512,0成中心对称,令k2+12-=512,解得=k2-3,kz.由>0可知,当k=1时,取得最小值6.18.(本小题满分12分)(2015湖北,理18)设等差数列an的公差为d,前n项和为sn,等比数列bn的公比为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,s10=100.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)当d>1时,记cn=anbn,求数列cn的前n项和tn.解:(1)由题意有,10a1+45d=100,a1d=2,即2a1+9d=20,a1d=2,解得a1=1,d

22、=2,或a1=9,d=29.故an=2n-1,bn=2n-1,或an=19(2n+79),bn=9·29n-1.(2)由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=2n-12n-1,于是tn=1+32+522+723+924+2n-12n-1,12tn=12+322+523+724+925+2n-12n.-可得12tn=2+12+122+12n-2-2n-12n=3-2n+32n,故tn=6-2n+32n-1.19.(本小题满分12分)(2015湖北,理19)九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图

23、,在阳马p-abcd中,侧棱pd底面abcd,且pd=cd,过棱pc的中点e,作efpb,交pb于点f,连接de,df,bd,be.(1)证明:pb平面def,试判断四面体dbef是否为鳖臑.若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面def与面abcd所成二面角的大小为3,求dcbc的值.解法1:(1)因为pd底面abcd,所以pdbc.由底面abcd为长方形,有bccd,而pdcd=d,所以bc平面pcd.而de平面pcd,所以bcde.又因为pd=cd,点e是pc的中点,所以depc.而pcbc=c,所以de平面pbc.而pb平面pbc,所以pbde.又pbef

24、,deef=e,所以pb平面def.由de平面pbc,pb平面def,可知四面体bdef的四个面都是直角三角形,即四面体bdef是一个鳖臑,其四个面的直角分别为deb,def,efb,dfb.图1(2)如图1,在面pbc内,延长bc与fe交于点g,则dg是平面def与平面abcd的交线.由(1)知,pb平面def,所以pbdg.又因为pd底面abcd,所以pddg.而pdpb=p,所以dg平面pbd.故bdf是面def与面abcd所成二面角的平面角,设pd=dc=1,bc=,有bd=1+2,在rtpdb中,由dfpb,得dpf=fdb=3,则tan3=tandpf=bdpd=1+2=3,解得=

25、2.所以dcbc=1=22.故当面def与面abcd所成二面角的大小为3时,dcbc=22.解法2:(1)如图2,以d为原点,射线da,dc,dp分别为x,y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系.图2设pd=dc=1,bc=,则d(0,0,0),p(0,0,1),b(,1,0),c(0,1,0),pb=(,1,-1),点e是pc的中点,所以e0,12,12,de=0,12,12,于是pb·de=0,即pbde.又已知efpb,而deef=e,所以pb平面def.因pc=(0,1,-1),de·pc=0,则depc.所以de平面pbc.由de平面pbc,pb平面def,可知四面

26、体bdef的四个面都是直角三角形,即四面体bdef是一个鳖臑,其四个面的直角分别为deb,def,efb,dfb.(2)由pd平面abcd,所以dp=(0,0,1)是平面abcd的一个法向量;由(1)知,pb平面def,所以bp=(-,-1,1)是平面def的一个法向量.若面def与面abcd所成二面角的大小为3,则cos3=bp·dp|bp|·|dp|=12+2=12,解得=2,所以dcbc=1=22.故当面def与面abcd所成二面角的大小为3时,dcbc=22.20.(本小题满分12分)(2015湖北,理20)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产a,b两种奶制品,生产1吨a产

27、品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1 000元;生产1吨b产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1 200元,要求每天b产品的产量不超过a产品产量的2倍,设备每天生产a,b两种产品时间之和不超过12小时,假定每天可获取的鲜牛奶数量w(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为w121518p0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利z(单位:元)是一个随机变量.(1)求z的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率.解:(1)设每天a,b两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为

28、z,则有2x+1.5yw,x+1.5y12,2x-y0,x0,y0.(1)目标函数为z=1 000x+1 200y.图1当w=12时,(1)表示的平面区域如图1,三个顶点分别为a(0,0),b(2.4,4.8),c(6,0).将z=1 000x+1 200y变形为y=-56x+z1 200,当x=2.4,y=4.8时,直线l:y=-56x+z1 200在y轴上的截距最大,最大获利z=zmax=2.4×1 000+4.8×1 200=8 160.图2当w=15时,(1)表示的平面区域如图2,三个顶点分别为a(0,0),b(3,6),c(7.5,0).将z=1 000x+1 2

29、00y变形为y=-56x+z1 200,当x=3,y=6时,直线l:y=-56x+z1 200在y轴上的截距最大,最大获利z=zmax=3×1 000+6×1 200=10 200.图3当w=18时,(1)表示的平面区域如图3.四个顶点分别为a(0,0),b(3,6),c(6,4),d(9,0).将z=1 000x+1 200y变形为y=-56x+z1 200,当x=6,y=4时,直线l:y=-56x+z1 200在y轴上的截距最大,最大获利z=zmax=6×1 000+4×1 200=10 800.故最大获利z的分布列为z8 16010 20010 8

30、00p0.30.50.2因此,e(z)=8 160×0.3+10 200×0.5+10 800×0.2=9 708.(2)由(1)知,一天最大获利超过10 000元的概率p1=p(z>10 000)=0.5+0.2=0.7,由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973.21.(本小题满分14分)(2015湖北,理21)一种作图工具如图1所示.o是滑槽ab的中点,短杆on可绕o转动.长杆mn通过n处铰链与on连接,mn上的栓子d可沿滑槽ab滑动,且dn=on=1,mn=3.当栓子d在滑槽ab内作

31、往复运动时,带动n绕o转动一周(d不动时,n也不动),m处的笔尖画出的曲线记为c,以o为原点,ab所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.图1图2(1)求曲线c的方程;(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于p,q两点,若直线l总与曲线c有且只有一个公共点,试探究:opq的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.解:(1)设点d(t,0)(|t|2),n(x0,y0),m(x,y),依题意,md=2dn,且|dn|=|on|=1,所以(t-x,-y)=2(x0-t,y0),且(x0-t)2+y02=1,x02+y02=1.即t-x=

32、2x0-2t,y=-2y0,且t(t-2x0)=0.由于当点d不动时,点n也不动,所以t不恒等于0,于是t=2x0,故x0=x4,y0=-y2,代入x02+y02=1,可得x216+y24=1,即所求的曲线c的方程为x216+y24=1.(2)()当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有sopq=12×4×4=8.()当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+mk±12,由y=kx+m,x2+4y2=16,消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆c有且只有一个公共点,所以=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-

33、16)=0,即m2=16k2+4.又由y=kx+m,x-2y=0,可得p2m1-2k,m1-2k;同理可得q-2m1+2k,m1+2k.由原点o到直线pq的距离为d=|m|1+k2和|pq|=1+k2|xp-xq|,可得sopq=12|pq|·d=12|m|xp-xq|=12·|m|2m1-2k+2m1+2k=2m21-4k2.将代入得,sopq=2m21-4k2=8|4k2+1|4k2-1|.当k2>14时,sopq=84k2+14k2-1=81+24k2-1>8;当0k2<14时,sopq=84k2+11-4k2=8-1+21-4k2.因0k2<14,则0<1-4k21,21-4k22,所以sopq=8-1+21-4k28,当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,sopq的最小值为8.综合()()可知,当直线l与椭圆c在四个顶点处相切时,opq的面积取得最小值8.22.(本小题满分14分)(2015湖北,理22)已知数列an的各项均