2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖南卷)理

1、数学(理工农医类)(湖南卷)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013湖南,理1)复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(). a.第一象限b.第二象限c.第三象限d.第四象限答案:b解析:z=i+i2=-1+i,对应点为(-1,1),故在第二象限,选b.2.(2013湖南,理2)某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是().a.抽签法b.随机数法c.系统抽样法d.分层抽样法答案:d

2、解析:看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异,应当分层抽取,故宜采用分层抽样.3.(2013湖南,理3)在锐角abc中,角a,b所对的边长分别为a,b.若2asin b=3b,则角a等于().a.12b.6c.4d.3答案:d解析:由2asin b=3b得2sin asin b=3sin b,故sin a=32,故a=3或23.又abc为锐角三角形,故a=3.4.(2013湖南,理4)若变量x,y满足约束条件y2x,x+y1,y-1.则x+2y的最大值是().a.-52b.0c.53d.52答案:c解析:约束条件表示的可行域为如图阴影部分.令x+2y=d,即y=-12x+d2,由线性

3、规划知识可得最优点为13,23,所以dmax=13+43=53.5.(2013湖南,理5)函数f(x)=2ln x的图象与函数g(x)=x2-4x+5的图象的交点个数为().a.3b.2c.1d.0答案:b解析:设f(x)与g(x)图象的交点坐标为(x,y),则y=2ln x,y=x2-4x+5,联立得2ln x=x2-4x+5,令h(x)=x2-4x+5-2ln x(x>0),由h'(x)=2x-4-2x=0得x1=1+2,x2=1-2(舍).当h'(x)<0时,即x(0,1+2)时,h(x)单调递减;当h'(x)>0,即x(1+2,+)时,h(x)

4、单调递增.又h(1)=2>0,h(2)=1-2ln 2<0,h(4)=5-2ln 4>0,h(x)与x轴必有两个交点,故答案为b.6.(2013湖南,理6)已知a,b是单位向量,a·b=0,若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是().a.2-1,2+1b.2-1,2+2c.1,2+1d.1,2+2答案:a解析:由题意,不妨令a=(0,1),b=(1,0),c=(x,y),由|c-a-b|=1得(x-1)2+(y-1)2=1,|c|=x2+y2可看做(x,y)到原点的距离,而点(x,y)在以(1,1)为圆心,以1为半径的圆上.如图所示,当点(x,y)在位

5、置p时到原点的距离最近,在位置p'时最远,而po=2-1,p'o=2+1,故选a.7.(2013湖南,理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于().a.1b.2c.2-12d.2+12答案:c解析:根据三视图中正视图与俯视图等长,故正视图中的长为2cos ,如图所示.故正视图的面积为s=2cos (04),1s2,而2-12<1,故面积不可能等于2-12.8.(2013湖南,理8)在等腰直角三角形abc中,ab=ac=4,点p为边ab上异于a,b的一点,光线从点p出发,经bc,ca反射后又回到点p.若光线qr经过abc的

6、重心,则ap等于().a.2b.1c.83d.43答案:d解析:以a为原点,ab为x轴,ac为y轴建立直角坐标系如图所示.则a(0,0),b(4,0),c(0,4).设abc的重心为d,则d点坐标为43,43.设p点坐标为(m,0),则p点关于y轴的对称点p1为(-m,0),因为直线bc方程为x+y-4=0,所以p点关于bc的对称点p2为(4,4-m),根据光线反射原理,p1,p2均在qr所在直线上,kp1d=kp2d,即4343+m=43-4+m43-4,解得,m=43或m=0.当m=0时,p点与a点重合,故舍去.m=43.二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.(

7、一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)9.(2013湖南,理9)在平面直角坐标系xoy中,若直线l:x=t,y=t-a(t为参数)过椭圆c:x=3cos,y=2sin(为参数)的右顶点,则常数a的值为. 答案:3解析:由题意知在直角坐标系下,直线l的方程为y=x-a,椭圆的方程为x29+y24=1,所以其右顶点为(3,0).由题意知0=3-a,解得a=3.10.(2013湖南,理10)已知a,b,cr,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为. 答案:12解析:由柯西不等式得(12+12+12)(a2+4b2+9c2)

8、(a+2b+3c)2,即a2+4b2+9c212,当a=2b=3c=2时等号成立,所以a2+4b2+9c2的最小值为12.11.(2013湖南,理11)如图,在半径为7的o中,弦ab,cd相交于点p,pa=pb=2,pd=1,则圆心o到弦cd的距离为. 答案:32解析:如图所示,取cd中点e,连结oe,oc.由圆内相交弦定理知pd·pc=pa·pb,所以pc=4,cd=5,则ce=52,oc=7.所以o到cd距离为oe=(7)2-522=32.(二)必做题(1216题)12.(2013湖南,理12)若0t x2dx=9,则常数t的值为. 答案:3解析:1

9、3x3'=x2,0t x2dx=13x3|0t=13t3-0=9,t=3.13.(2013湖南,理13)执行如图所示的程序框图,如果输入a=1,b=2,则输出的a的值为. 答案:9解析:输入a=1,b=2,不满足a>8,故a=3;a=3不满足a>8,故a=5;a=5不满足a>8,故a=7;a=7不满足a>8,故a=9,满足a>8,终止循环.输出a=9.14.(2013湖南,理14)设f1,f2是双曲线c:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点,p是c上一点.若|pf1|+|pf2|=6a,且pf1f2的最小内角为30

10、76;,则c的离心率为. 答案:3解析:不妨设|pf1|>|pf2|,由|pf1|+|pf2|=6a,|pf1|-|pf2|=2a可得|pf1|=4a,|pf2|=2a.2a<2c,pf1f2=30°,cos 30°=(2c)2+(4a)2-(2a)22×2c×4a,整理得,c2+3a2-23ac=0,即e2-23e+3=0,e=3.15.(2013湖南,理15)设sn为数列an的前n项和,sn=(-1)nan-12n,nn*,则(1)a3=; (2)s1+s2+s100=. 答案:(1)-116(2)13121

11、00-116.(2013湖南,理16)设函数f(x)=ax+bx-cx,其中c>a>0,c>b>0.(1)记集合m=(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b,则(a,b,c)m所对应的f(x)的零点的取值集合为; (2)若a,b,c是abc的三条边长,则下列结论正确的是.(写出所有正确结论的序号) x(-,1),f(x)>0;xr,使ax,bx,cx不能构成一个三角形的三条边长;若abc为钝角三角形,则x(1,2),使f(x)=0.答案:(1)x|0<x1(2)三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说

12、明、证明过程或演算步骤.17.(2013湖南,理17)(本小题满分12分)已知函数f(x)=sinx-6+cosx-3,g(x)=2sin2x2.(1)若是第一象限角,且f()=335,求g()的值;(2)求使f(x)g(x)成立的x的取值集合.解:f(x)=sinx-6+cosx-3=32sin x-12cos x+12cos x+32sin x=3sin x,g(x)=2sin2x2=1-cos x.(1)由f()=335得sin =35.又是第一象限角,所以cos >0.从而g()=1-cos =1-1-sin2=1-45=15.(2)f(x)g(x)等价于3sin x1-cos

13、x,即3sin x+cos x1.于是sinx+612.从而2k+6x+62k+56,kz,即2kx2k+23,kz.故使f(x)g(x)成立的x的取值集合为x2kx2k+23,kz.18.(2013湖南,理18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量y(单位:kg)与它的“相近”作物株数x之间的关系如下表所示:x1234y51484542这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它

14、们恰好“相近”的概率;(2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.解:(1)所种作物总株数n=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有c31c121=36种,选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种.故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为836=29.(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量y的分布列.因为p(y=51)=p(x=1),p(y=48)=p(x=2),p(y=45)=p(x=3),p(y=42)=p(x

15、=4),所以只需求出p(x=k)(k=1,2,3,4)即可.记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k=1,2,3,4),则n1=2,n2=4,n3=6,n4=3.由p(x=k)=nkn得p(x=1)=215,p(x=2)=415,p(x=3)=615=25,p(x=4)=315=15.故所求的分布列为y51484542p2154152515所求的数学期望为e(y)=51×215+48×415+45×25+42×15=34+64+90+425=46.19.(2013湖南,理19)(本小题满分12分)如图,在直棱柱abcd-a1b1c1d1中,adbc,

16、bad=90°,acbd,bc=1,ad=aa1=3.(1)证明:acb1d;(2)求直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值.解法1:(1)如图,因为bb1平面abcd,ac平面abcd,所以acbb1.又acbd,所以ac平面bb1d.而b1d平面bb1d,所以acb1d.(2)因为b1c1ad,所以直线b1c1与平面acd1所成的角等于直线ad与平面acd1所成的角(记为).如图,连结a1d,因为棱柱abcd-a1b1c1d1是直棱柱,且b1a1d1=bad=90°,所以a1b1平面add1a1.从而a1b1ad1.又ad=aa1=3,所以四边形add1a1是正方形,

17、于是a1dad1.故ad1平面a1b1d,于是ad1b1d.由(1)知,acb1d,所以b1d平面acd1.故adb1=90°-.在直角梯形abcd中,因为acbd,所以bac=adb.从而rtabcrtdab,故abda=bcab.即ab=da·bc=3.连结ab1,易知ab1d是直角三角形,且b1d2=bb 12+bd2=bb 12+ab2+ad2=21,即b1d=21.在rtab1d中,cosadb1=adb1d=321=217,即cos(90°-)=217.从而sin =217.即直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值为217.解法2

18、:(1)易知,ab,ad,aa1两两垂直.如图,以a为坐标原点,ab,ad,aa1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设ab=t,则相关各点的坐标为:a(0,0,0),b(t,0,0),b1(t,0,3),c(t,1,0),c1(t,1,3),d(0,3,0),d1(0,3,3).从而b1d=(-t,3,-3),ac=(t,1,0),bd=(-t,3,0).因为acbd,所以ac·bd=-t2+3+0=0.解得t=3或t=-3(舍去).于是b1d=(-3,3,-3),ac=(3,1,0).因为ac·b1d=-3+3+0=0,所以acb1d,即acb1d.(2)

19、由(1)知,ad1=(0,3,3),ac=(3,1,0),b1c1=(0,1,0).设n=(x,y,z)是平面acd1的一个法向量,则n·ac=0,n·ad1=0,即3x+y=0,3y+3z=0.令x=1,则n=(1,-3,3).设直线b1c1与平面acd1所成角为,则sin =|cos <n,b1c1>|=n·b1c1|n|·|b1c1|=37=217.即直线b1c1与平面acd1所成角的正弦值为217.20.(2013湖南,理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xoy中,将从点m出发沿纵、横方向到达点n的任一路径称为m到n的一条“l

20、路径”.如图所示的路径mm1m2m3n与路径mn1n都是m到n的“l路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xoy内三点a(3,20),b(-10,0),c(14,0)处.现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点p处修建一个文化中心.(1)写出点p到居民区a的“l路径”长度最小值的表达式(不要求证明):(2)若以原点o为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“l路径”不能进入保护区,请确定点p的位置,使其到三个居民区的“l路径”长度之和最小.解:设点p的坐标为(x,y).(1)点p到居民区a的“l路径”长度最小值为|x-3|+|y-20|,xr,y0,+).(2)由题意知,点p到三个居民区的

21、“l路径”长度之和的最小值为点p分别到三个居民区的“l路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.当y1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|,因为d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|x+10|+|x-14|,(*)当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立,又因为|x+10|+|x-14|24,(*)当且仅当x-10,14时,不等式(*)中的等号成立.所以d1(x)24,当且仅当x=3时,等号成立.d2(y)=2y+|y-20|21,当且仅当y=1时,等号成立.故点p的坐标为(3,1)时,p到三个居民区的“l路径”长度之和最小,且最小值为45.当0y

22、1时,由于“l路径”不能进入保护区,所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|,此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|,d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y21.由知,d1(x)24,故d1(x)+d2(y)45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.综上所述,在点p(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“l路径”长度之和最小.21.(2013湖南,理21)(本小题满分13分)过抛物线e:x2=2py(p>0)的焦点f作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与e相交

23、于点a,b,l2与e相交于点c,d,以ab,cd为直径的圆m,圆n(m,n为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k1>0,k2>0,证明:fm·fn<2p2;(2)若点m到直线l的距离的最小值为755,求抛物线e的方程.解:(1)由题意,抛物线e的焦点为f0,p2,直线l1的方程为y=k1x+p2,由y=k1x+p2,x2=2py得x2-2pk1x-p2=0.设a,b两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实数根.从而x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk12+p.所以点m的坐标为pk1,pk12+p2

24、,fm=(pk1,pk12).同理可得点n的坐标为pk2,pk22+p2,fn=(pk2,pk22).于是fm·fn=p2(k1k2+k12k22).由题设,k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1k2,所以0<k1k2<k1+k222=1.故fm·fn<p2(1+12)=2p2.(2)由抛物线的定义得|fa|=y1+p2,|fb|=y2+p2,所以|ab|=y1+y2+p=2pk12+2p.从而圆m的半径r1=pk12+p,故圆m的方程为(x-pk1)2+y-pk12-p22=(pk12+p)2.化简得x2+y2-2pk1x-p(2k12+1

25、)y-34p2=0.同理可得圆n的方程为x2+y2-2pk2x-p(2k22+1)y-34p2=0.于是圆m,圆n的公共弦所在直线l的方程为(k2-k1)x+(k22-k12)y=0.又k2-k10,k1+k2=2,则l的方程为x+2y=0.因为p>0,所以点m到直线l的距离d=|2pk12+pk1+p|5=p|2k12+k1+1|5=p2k1+142+785.故当k1=-14时,d取最小值7p85.由题设,7p85=755,解得p=8.故所求的抛物线e的方程为x2=16y.22.(2013湖南,理22)(本小题满分13分)已知a>0,函数f(x)=x-ax+2a.(1)记f(x)在区间0,4上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;(2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求a的取值范