2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(陕西卷)理 (2)

1、2014年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)数学(理科)第一部分(共50分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.(2014陕西,理1)集合m=x|x0,xr,n=x|x2<1,xr,则mn=(). a.0,1b.0,1)c.(0,1d.(0,1)答案:b解析:n=x|x2<1,xr=x|-1<x<1,mn=x|x0x|-1<x<1=x|0x<1.2.(2014陕西,理2)函数f(x)=cos2x-6的最小正周期是().a.2b.c.2d.4答案:b解析:f(x)的最小正周期t=22

2、=.3.(2014陕西,理3)定积分01 (2x+ex)dx的值为().a.e+2b.e+1c.ed.e-1答案:c解析:因为(x2+ex)'=2x+ex,所以01 (2x+ex)dx=(x2+ex)|01=(1+e1)-(0+e0)=e.4.(2014陕西,理4)根据框图,对大于2的整数n,输出的数列的通项公式是().a.an=2nb.an=2(n-1)c.an=2nd.an=2n-1答案:c解析:因为n>2,所以可取n=3,则a1=2×1=2,s=a1=2,i=1+1=2.判断2>3是否满足?否,返回运算a2=2s=4,i=3,s=a2=4,判断3>3是

3、否满足?否,返回运算a3=2s=8,因此a1=2,a2=4,a3=8,只有c选项符合.5.(2014陕西,理5)已知底面边长为1,侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为().a.323b.4c.2d.43答案:d解析:依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径,可设球半径r,则2r=12+12+(2)2=2,解得r=1,所以v=43r3=43.6.(2014陕西,理6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为().a.15b.25c.35d.45答案:c解析:从5个点取2个共有c52=10种取法,而不小于正方形边长的只有

4、4条边与2条对角线,共6种,所以p=610=35.7.(2014陕西,理7)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是().a.f(x)=x12b.f(x)=x3c.f(x)=12xd.f(x)=3x答案:d解析:由于ax·ay=ax+y,所以指数函数f(x)=ax满足f(x+y)=f(x)f(y),且当a>1时单调递增,0<a<1时单调递减,所以f(x)=3x满足题意.8.(2014陕西,理8)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是().a.真,假,真b.假,

5、假,真c.真,真,假d.假,假,假答案:b解析:易知原命题为真命题,所以逆否命题也为真,设z1=3+4i,z2=4+3i,则有|z1|=|z2|,但是z1与z2不是共轭复数,所以逆命题为假,同时否命题也为假.9.(2014陕西,理9)设样本数据x1,x2,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,10),则y1,y2,y10的均值和方差分别为().a.1+a,4b.1+a,4+ac.1,4d.1,4+a答案:a解析:y=x1+a+x2+a+x3+a+x10+a10=10x+10a10=x+a=1+a.s2=x1+a-(1+a)2+x2+a-(1+a)2+x10

6、+a-(1+a)210=(x1-1)2+(x2-1)2+(x10-1)210=4.10.(2014陕西,理10)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点a的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为().a.y=1125x3-35xb.y=2125x3-45xc.y=3125x3-xd.y=-3125x3+15x答案:a解析:由图像可知函数在x=±5处切线平行于x轴,即f'(5)=0,f'(-5)=0,只有a选项f'(x)=35x225-1符合.第二部分(共100分)二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的

7、横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分).11.(2014陕西,理11)已知4a=2,lg x=a,则x=. 答案:10解析:4a=2,a=log42=12.由lg x=12,得x=1012=10.12.(2014陕西,理12)若圆c的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆c的标准方程为. 答案:x2+(y-1)2=1解析:因为(1,0)关于y=x的对称点为(0,1),所以圆c是以(0,1)为圆心,以1为半径的圆,其方程为x2+(y-1)2=1.13.(2014陕西,理13)设0<<2,向量a=(sin 2,cos ),b=(cos ,1)

8、,若ab,则tan =. 答案:12解析:由ab,得sin 2=cos2,即2sin cos =cos2,因为0<<2,所以cos 0,整理得2sin =cos .所以tan =12.14.(2014陕西,理14)观察分析下表中的数据:多面体面数(f)顶点数(v)棱数(e)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中f,v,e所满足的等式是. 答案:f+v-e=2解析:因为5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,故可猜想f+v-e=2.15.(2014陕西,理15)(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)

9、a.(不等式选做题)设a,b,m,nr,且a2+b2=5,ma+nb=5,则m2+n2的最小值为. 答案:5解析:由柯西不等式,得(a2+b2)(m2+n2)(am+bn)2,即5(m2+n2)25,m2+n25,当且仅当an=bm时,等号成立.m2+n2的最小值为5.b.(几何证明选做题)如图,abc中,bc=6,以bc为直径的半圆分别交ab,ac于点e,f,若ac=2ae,则ef=. 答案:3解析:由已知得四边形bcfe为圆的内接四边形,因此aef=acb,afe=abc,所以aefacb,于是有aeac=efcb,而ac=2ae,bc=6,所以ef=3.c.(坐标系与

10、参数方程选做题)在极坐标系中,点2,6到直线sin-6=1的距离是. 答案:1解析:sin-6=sincos6-sin6cos=1,因为在极坐标系中cos =x,sin =y,所以直线可化为x-3y+2=0.同理点2,6可化为(3,1),所以点到直线距离为d=|3-3+2|3+1=1.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分).16.(本小题满分12分)(2014陕西,理16)abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin a+sin c=2sin(a+c);(2)若a,b,c成等比数列,求cos b的最

11、小值.分析:在(1)问中结合等差数列性质,得出a,b,c之间关系,再利用正弦定理转化为角的关系,进而结合三角形内角和为,利用诱导公式将角b转化为用角a和c来表示,从而达到证明目标等式.在(2)问利用等比数列基本性质,得出a,b,c之间关系,再结合余弦定理,表达出cos b的式子,依据基本不等式得出其范围,注意等号成立的条件.解:(1)a,b,c成等差数列,a+c=2b.由正弦定理得sin a+sin c=2sin b.sin b=sin-(a+c)=sin(a+c),sin a+sin c=2sin(a+c).(2)a,b,c成等比数列,b2=ac.由余弦定理得cos b=a2+c2-b22a

12、c=a2+c2-ac2ac2ac-ac2ac=12,当且仅当a=c时等号成立.cos b的最小值为12.17.(本小题满分12分)(2014陕西,理17)四面体abcd及其三视图如图所示,过棱ab的中点e作平行于ad,bc的平面分别交四面体的棱bd,dc,ca于点f,g,h.(1)证明:四边形efgh是矩形;(2)求直线ab与平面efgh夹角的正弦值.分析:在(1)问中,先证四边形efgh是平行四边形,利用线面平行得出线线平行,便可达到求证两组对边分别平行的目的,即可得证四边形efgh为平行四边形.再根据线线垂直得到线面垂直,从而得到平行四边形efgh中相邻两边垂直.最后证得efgh是矩形.(

13、2)问中,建立合理的空间直角坐标系,借助于空间向量来解决.线面角的正弦值,即为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值.关键是求平面的法向量,要先设出法向量,再根据法向量和平面内的两个不共线向量的数量积分别为零求出法向量.(1)证明:由该四面体的三视图可知,bddc,bdad,addc,bd=dc=2,ad=1,由题设,bc平面efgh,平面efgh平面bdc=fg,平面efgh平面abc=eh,bcfg,bceh,fgeh.同理efad,hgad,efhg.四边形efgh是平行四边形.又addc,adbd,ad平面bdc.adbc.effg.四边形efgh是矩形.(2)解法一:如图

14、,以d为坐标原点建立空间直角坐标系,则d(0,0,0),a(0,0,1),b(2,0,0),c(0,2,0),da=(0,0,1),bc=(-2,2,0),ba=(-2,0,1).设平面efgh的法向量n=(x,y,z),efad,fgbc,n·da=0,n·bc=0,得z=0,-2x+2y=0,取n=(1,1,0).sin =|cos<ba,n>|=ba·n|ba|n|=25×2=105.解法二:如图,以d为坐标原点建立空间直角坐标系,则d(0,0,0),a(0,0,1),b(2,0,0),c(0,2,0),e是ab的中点,f,g分别是bd

15、,dc的中点,得e1,0,12,f(1,0,0),g(0,1,0).fe=0,0,12,fg=(-1,1,0),ba=(-2,0,1).设平面efgh的法向量n=(x,y,z),则n·fe=0,n·fg=0.得12z=0,-x+y=0,取n=(1,1,0).sin =|cos<ba,n>|=ba·n|ba|n|=25×2=105.18.(本小题满分12分)(2014陕西,理18)在直角坐标系xoy中,已知点a(1,1),b(2,3),c(3,2),点p(x,y)在abc三边围成的区域(含边界)上.(1)若pa+pb+pc=0,求|op|;(2

16、)设op=mab+nac(m,nr),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.分析:在(1)问中,解法一利用坐标运算,可求得p点坐标,进而结合向量模的运算,求得|op|.解法二结合向量的几何运算,把已知向量用oa,ob,oc和op来表示,进而利用oa,ob,oc把op表示出来,即可达到求|op|的目的.在(2)问中,结合题目要求,借助于向量运算,利用y-x将m-n表示出来,从而转化为线性规划问题,画出可行域可得出m-n的最大值.解:(1)解法一:pa+pb+pc=0,又pa+pb+pc=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),6-3x=0,6-3y=

17、0,解得x=2,y=2.即op=(2,2),故|op|=22.解法二:pa+pb+pc=0,则(oa-op)+(ob-op)+(oc-op)=0,op=13(oa+ob+oc)=(2,2),|op|=22.(2)op=mab+nac,(x,y)=(m+2n,2m+n),x=m+2n,y=2m+n.两式相减得m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点b(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.19.(本小题满分12分)(2014陕西,理19)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:

18、作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设x表示在这块地上种植1季此作物的利润,求x的分布列;(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率.分析:在(1)问中,结合问题,先设出基本事件,可知有四种可能,利用所给数据,结合独立事件的概率计算公式,可分别计算出结果,进而列出分布列.对于第(2)问,利用(1)问的结果,可求得每季利润不少于2 000元的概率,则3季利润至少有2季不少于2 000元可分为两类,一是3季利润均不少于2 000元,二是3季中有2季利润不少于2 000元,分别利用独立重复试验的

19、概率计算公式计算出概率,相加便可得出结论.解:(1)设a表示事件“作物产量为300 kg”,b表示事件“作物市场价格为6元/kg”,由题设知p(a)=0.5,p(b)=0.4,利润=产量×市场价格-成本,x所有可能的取值为500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000,300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800.p(x=4 000)=p(a)p(b)=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,p(x=2 000)=p(a)p(b)+p(a)p(b)=(1-0.5)×0.4+0

20、.5×(1-0.4)=0.5,p(x=800)=p(a)p(b)=0.5×0.4=0.2,所以x的分布列为x4 0002 000800p0.30.50.2(2)设ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i=1,2,3),由题意知c1,c2,c3相互独立,由(1)知,p(ci)=p(x=4 000)+p(x=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),3季的利润均不少于2 000元的概率为p(c1c2c3)=p(c1)p(c2)p(c3)=0.83=0.512;3季中有2季利润不少于2 000元的概率为p(c1c2c3)+p(c1c2c3)+p(c1c2c3

21、)=3×0.82×0.2=0.384,所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512+0.384=0.896.20.(本小题满分13分)(2014陕西,理20)如图,曲线c由上半椭圆c1:y2a2+x2b2=1(a>b>0,y0)和部分抛物线c2:y=-x2+1(y0)连接而成,c1与c2的公共点为a,b,其中c1的离心率为32.(1)求a,b的值;(2)过点b的直线l与c1,c2分别交于点p,q(均异于点a,b),若apaq,求直线l的方程.分析:在第(1)问中,利用公共点a,b是椭圆的两个顶点,可求出b的值,再结合离心率e=ca的值,以及

22、a2-c2=b2关系式可求得a的值.对于第(2)问,结合第(1)问结论,可先设出直线l的方程,l与c1联立得出p的坐标,l与c2联立得出q的坐标,进而利用apaq,借助于ap·aq=0或kap·kaq=-1,可列出关于k的方程,从而求解得出k值,故可求得直线方程.解:(1)在c1,c2的方程中,令y=0,可得b=1,且a(-1,0),b(1,0)是上半椭圆c1的左右顶点.设c1的半焦距为c,由ca=32及a2-c2=b2=1得a=2.a=2,b=1.(2)由(1)知,上半椭圆c1的方程为y24+x2=1(y0).易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(

23、k0),代入c1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设点p的坐标为(xp,yp),直线l过点b,x=1是方程(*)的一个根.由求根公式,得xp=k2-4k2+4,从而yp=-8kk2+4,点p的坐标为k2-4k2+4,-8kk2+4.同理,由y=k(x-1)(k0),y=-x2+1(y0),得点q的坐标为(-k-1,-k2-2k).ap=2kk2+4(k,-4),aq=-k(1,k+2).apaq,ap·aq=0,即-2k2k2+4k-4(k+2)=0,k0,k-4(k+2)=0,解得k=-83.经检验,k=-83符合题意,故直线l的方程为y=-83(x-1

24、).21.(本小题满分14分)(2014陕西,理21)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf'(x),x0,其中f'(x)是f(x)的导函数.(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x),nn+,求gn(x)的表达式;(2)若f(x)ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;(3)设nn+,比较g(1)+g(2)+g(n)与n-f(n)的大小,并加以证明.分析:对于(1)问,可利用其性质,先求g1(x),再由g1(x)求g2(x),再由g2(x)求g3(x),由归纳推理得出gn(x),再使用数学归纳法证明即可.对于(2)问恒成立问题,分析题目特点,选择适当的

25、证明方法:构造新函数大于等于0恒成立,即新函数的最小值大于0,借助于导函数,研究其单调性,此时要注意参数范围的讨论,最后取其并集即可.第(3)问,可先对n进行赋值,总结出两者的大小关系,然后化简得到所证不等式.证明可用以下三种方法:一是所证不等式为关于n的命题,故可利用数学归纳法证明,证明过程注意(2)中结论的应用;二是根据所证不等式的结构特征,利用(2)中的结论通过赋值构造系列不等式,然后利用累加法证明;三是可根据不等式中各数代表的几何意义,并利用定积分的几何意义进行证明.解:由题设得,g(x)=x1+x(x0).(1)由已知,g1(x)=x1+x,g2(x)=g(g1(x)=x1+x1+x1+x=x1+2x,g3(x)=x1+3x,可得gn(x)=x1+nx.下面用数学归纳法证明.当n=1时,g1(x)=x1+x,结论成立.假设n=k时结论成立,即gk(x)=x1+kx.那么,当k=k+1时,gk+1(x)=g(gk(x)=gk(x)1+gk(x)=x1+kx1+x1+kx=x1+(k+1)x,即结论成立.由可知,结论对nn+成立.(2)已知f(x)ag(x)恒成立,即ln(1+x)ax1+x恒成立,设(x)=ln(1+x)-ax1+x(x0),则'(x)=11+x-a(1+x)2=x+1-a(1+x)2,当a1时,'(x