2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(山东卷)理

1、1 / 14 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 数学(理科) 第卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014 山东,理 1)已知 a,br,i 是虚数单位,若 a-i 与 2+bi 互为共轭复数,则(a+bi)2=( ). a.5-4i b.5+4i c.3-4i d.3+4i 答案:d 解析:由 a-i 与 2+bi 互为共轭复数,可得 a=2,b=1. 所以(a+bi)2=(2+i)2=4+4i-1=3+4i. 2.(2014 山东,理 2)设集合 a=x|x-1|

2、2,b=y|y=2x,x0,2,则 ab=( ). a.0,2 b.(1,3) c.1,3) d.(1,4) 答案:c 解析:由题意,得 a=x|x-1|2=x|-1x1,且 x0, 即 log2x1 或 log2x2 或 0 x12. 所以函数 f(x)的定义域为(0,12)(2,+). 2 / 14 4.(2014 山东,理 4)用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设是( ). a.方程 x3+ax+b=0 没有实根 b.方程 x3+ax+b=0 至多有一个实根 c.方程 x3+ax+b=0 至多有两个实根 d.方程 x3+ax+b

3、=0 恰好有两个实根 答案:a 解析:因为至少有一个的反面为一个也没有,所以要做的假设是方程 x3+ax+b=0 没有实根. 5.(2014 山东,理 5)已知实数 x,y 满足 axay(0a12+1 b.ln(x2+1)ln(y2+1) c.sin xsin y d.x3y3 答案:d 解析:由 axay(0ay. 又因为函数 f(x)=x3在 r 上递增, 所以 f(x)f(y),即 x3y3. 6.(2014 山东,理 6)直线 y=4x 与曲线 y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ). a.22 b.42 c.2 d.4 答案:d 解析:由 = 4, = 3,解得 x=-2

4、 或 x=0 或 x=2, 所以直线 y=4x 与曲线 y=x3在第一象限内围成的封闭图形面积应为 s= 20(4x-x3)dx=(22-144)|02=(2 22-14 24)-0=4. 7.(2014 山东,理 7)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kpa)的分组区间为12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,第五组.下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第三组中有疗效的人数为( ). 3 / 14 a.

5、6 b.8 c.12 d.18 答案:c 解析:设样本容量为 n, 由题意,得(0.24+0.16)1n=20,解得 n=50. 所以第三组频数为 0.36150=18. 因为第三组中没有疗效的有 6 人, 所以第三组中有疗效的人数为 18-6=12. 8.(2014 山东,理 8)已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数 k 的取值范围是( ). a.(0,12) b.(12,1) c.(1,2) d.(2,+) 答案:b 解析:画出 f(x)=|x-2|+1 的图象如图所示. 由数形结合知识,可知若方程 f(x)=g(x)有两

6、个不相等的实根,则函数 g(x)与 f(x)的图象应有两个不同的交点. 所以函数 g(x)=kx 的图象应介于直线 y=12x 和 y=x 之间,所以 k 的取值范围是(12,1). 9.(2014 山东,理 9)已知 x,y 满足约束条件-1 0,2-3 0,当目标函数 z=ax+by(a0,b0)在该约束条件下取到最小值 25时,a2+b2的最小值为( ). a.5 b.4 c.5 d.2 答案:b 解析:约束条件-1 0,2-3 0满足的可行域如图中的阴影部分所示.由图可知,目标函数 z=ax+by(a0,b0)取最小值时,最优解为(2,1). 所以 2a+b=25,则 b=25-2a,

7、 4 / 14 所以 a2+b2=a2+(25-2a)2=5a2-85a+20=5(-455)2+4, 即当 a=455,b=255时,a2+b2有最小值 4. 10.(2014 山东,理 10)已知 ab0,椭圆 c1的方程为22+22=1,双曲线 c2的方程为2222=1,c1与 c2的离心率之积为32,则 c2的渐近线方程为( ). a.x 2y=0 b.2x y=0 c.x 2y=0 d.2x y=0 答案:a 解析:由题意,知椭圆 c1的离心率 e1=2-2, 双曲线 c2的离心率为 e2=2+2. 因为 e1e2=32, 所以(2-2)(2+2)2=32, 即(2-2)(2+2)4

8、=34, 整理可得 a=2b. 又双曲线 c2的渐近线方程为 bx ay=0, 所以 bx 2by=0,即 x 2y=0. 第卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.(2014 山东,理 11)执行下面的程序框图,若输入的 x 的值为 1,则输出的 n 的值为 . 答案:3 解析:输入 x=1,12-4+30, 则 x=2,n=1; 5 / 14 返回 22-8+30,则 x=3,n=2; 返回 32-12+30,则 x=4,n=3; 返回 42-16+30,则输出 n=3,结束. 12.(2014 山东,理 12)在abc 中,已知 =ta

9、n a,当 a=6时,abc 的面积为 . 答案:16 解析:由 =tan a,可得| | |cos a=tan a. 因为 a=6,所以| | |32=33, 即| | |=23. 所以 sabc=12| | |sin a =122312=16. 13.(2014 山东,理 13)三棱锥 p-abc 中,d,e分别为 pb,pc 的中点,记三棱锥 d-abe的体积为 v1,p-abc 的体积为v2,则12= . 答案:14 解析:由题意,知 vd-abe=va-bde=v1, vp-abc=va-pbc=v2. 因为 d,e分别为 pb,pc 中点, 所以=14. 设点 a到平面 pbc 的

10、距离为 d, 则12=13d13d=14. 14.(2014 山东,理 14)若(2+)6的展开式中 x3项的系数为 20,则 a2+b2的最小值为 . 答案:2 解析:(2+)6的展开式的通项为 tr+1=c6(ax2)6-r()= c6a6-rbrx12-3r, 令 12-3r=3,得 r=3. 由c6a6-rbr=c63a3b3=20,得 ab=1. 所以 a2+b22ab=21=2. 15.(2014 山东,理 15)已知函数 y=f(x)(xr).对函数 y=g(x)(xi),定义 g(x)关于 f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(xi).y=h(x)满足:对任意 xi,两个点

11、(x,h(x),(x,g(x)关于点(x,f(x)对称.若 h(x)是 g(x)=4-2关于f(x)=3x+b 的“对称函数”,且 h(x)g(x)恒成立,则实数 b 的取值范围是 . 6 / 14 答案:(210,+) 解析:由已知得()+4-22=3x+b, 所以,h(x)=6x+2b-4-2. h(x)g(x)恒成立, 即 6x+2b-4-2 4-2恒成立, 整理得 3x+b4-2恒成立. 在同一坐标系内,画出直线 y=3x+b 及半圆 y=4-2(如图所示),当直线与半圆相切时,|30-0+|1+32=2,所以|b|=210.故 b 的取值范围是(210,+). 三、解答题:本大题共

12、6 小题,共 75 分. 16.(本小题满分 12 分)(2014 山东,理 16)已知向量 a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函数 f(x)=a b,且 y=f(x)的图象过点(12,3)和点(23,-2). (1)求 m,n 的值; (2)将 y=f(x)的图象向左平移 (0)个单位后得到函数 y=g(x)的图象,若 y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为 1,求 y=g(x)的单调递增区间. 分析:在第(1)问中,可先根据向量数量积坐标运算整理出 f(x)的解析式,再由图象过两点,代入整理可得关于 m,n的方程组,利用此方程组即得 m,n 的值.在第(

13、2)问中,通过图象平移知识,可得含参数 的 g(x)的解析式,从中设出最高点,然后根据两点距离为 1,可确定最高点的坐标,代入可求出 g(x)确定的解析式,从而求出单调区间. 解:(1)由题意知 f(x)=ab=msin 2x+ncos 2x. 因为 y=f(x)的图象过点(12,3)和(23,-2), 所以3 = msin6+ ncos6,-2 = sin43+ ncos43, 即3 =12m +32n,-2 = -32m-12n, 解得 m=3,n=1. (2)由(1)知 f(x)=3sin 2x+cos 2x =2sin(2 +6). 7 / 14 由题意知 g(x)=f(x+)=2si

14、n(2 + 2 +6). 设 y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2), 由题意知02+1=1,所以 x0=0, 即到点(0,3)的距离为 1 的最高点为(0,2). 将其代入 y=g(x)得 sin(2 +6)=1, 因为 0,所以 =6. 因此 g(x)=2sin(2 +2)=2cos 2x, 由 2k-2x2k,kz,得 k-2xk,kz, 所以函数 y=g(x)的单调递增区间为-2,k,kz. 17.(本小题满分 12 分)(2014 山东,理 17)如图,在四棱柱 abcd-a1b1c1d1中,底面 abcd 是等腰梯形,dab=60 ,ab=2cd=2,m 是线段 ab的

15、中点. (1)求证:c1m平面 a1add1; (2)若 cd1垂直于平面 abcd 且 cd1=3,求平面 c1d1m 和平面 abcd 所成的角(锐角)的余弦值. 分析:在第(1)问中,可考虑线面平行的判定定理,即从平面 a1add1中找一条线与 c1m 平行,显然可找线 ad1,再通过证明四边形 amc1d1为平行四边形来达到求证目的.在第(2)问中,方法一:可以点 c 为原点建立空间直角坐标系,求出平面 c1d1m 和平面 abcd 的法向量,则两法向量夹角的余弦的绝对值即为两面夹角(锐角)的余弦值.方法二:平面 c1d1m 即为平面 abc1d1,则平面 c1d1m 与平面 abcd

16、 所成角的棱为 ab,又已知 cd1平面 abcd,故可过 c 向棱 ab作垂线,垂足为 n,连接 d1n,则可证d1nc 为二面角的平面角,进而在 rtd1cn 中求d1nc的余弦值即可. (1)证明:因为四边形 abcd 是等腰梯形, 且 ab=2cd, 所以 abdc. 又由 m 是 ab的中点, 因此 cdma且 cd=ma. 8 / 14 连接 ad1, 在四棱柱 abcd-a1b1c1d1中, 因为 cdc1d1,cd=c1d1, 可得 c1d1ma,c1d1=ma, 所以四边形 amc1d1为平行四边形. 因此 c1md1a, 又 c1m平面 a1add1,d1a平面 a1add

17、1, 所以 c1m平面 a1add1. (2)解法一:连接 ac,mc, 由(1)知,cdam 且 cd=am, 所以四边形 amcd 为平行四边形. 可得 bc=ad=mc, 由题意abc=dab=60 , 所以mbc 为正三角形, 因此 ab=2bc=2,ca=3, 因此 cacb. 以 c 为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系 c-xyz. 所以 a(3,0,0),b(0,1,0),d1(0,0,3). 因此 m(32,12,0), 所以1 = (-32,-12,3),11 = = (-32,12,0). 设平面 c1d1m 的一个法向量 n=(x,y,z), 由d1c1 = 0,md

18、1 = 0,得3x-y = 0,3x + y-23z = 0, 可得平面 c1d1m 的一个法向量 n=(1,3,1). 又1 =(0,0,3)为平面 abcd 的一个法向量. 9 / 14 因此 cos=cd1 |cd1 |=55. 所以平面 c1d1m 和平面 abcd 所成的角(锐角)的余弦值为55. 解法二:由(1)知平面 d1c1m平面 abcd=ab, 过 c 向 ab引垂线交 ab 于 n,连接 d1n. 由 cd1平面 abcd,可得 d1nab, 因此d1nc 为二面角 c1-ab-c 的平面角. 在 rtbnc 中,bc=1,nbc=60 , 可得 cn=32. 所以 nd

19、1=12+ c2=152. 在 rtd1cn 中,cosd1nc=1n=32152=55. 所以平面 c1d1m 和平面 abcd 所成的角(锐角)的余弦值为55. 18.(本小题满分 12 分)(2014 山东,理 18)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域a,b,乙被划分为两个不相交的区域 c,d.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在 c 上记 3 分,在 d 上记 1 分,其他情况记 0 分.对落点在 a上的来球,队员小明回球的落点在 c 上的概率为12,在 d 上的概率为13;对落点在 b上的来球,小明回球的落点在 c 上的

20、概率为15,在 d 上的概率为35.假设共有两次来球且落在 a,b上各一次,小明的两次回球互不影响.求: (1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (2)两次回球结束后,小明得分之和 的分布列与数学期望. 分析:第(1)问中,恰有一次落在乙上可分为两种情况,第种,从 a击球落在乙上,从 b击球没落在乙上;第种,从b击球落在乙上,从 a 击球没落在乙上,将两种情况的概率相加即为恰有一次落在乙上的概率.第(2)问中,根据事件的独立性与互斥性,可得出,得 0 分情形为 a,b处都不得分;得 1 分情形为 a 处得 1 分 b处不得分或a处不得分 b处得 1 分;得 2 分情形为 a,b

21、两处各得 1 分;得 3 分情形为 a处得 3 分 b处得 0 分或 a处得 0分 b处得 3 分;得 4 分情形为 a处得 3 分 b处得 1 分或 a 处得 1 分 b处得 3 分;得 6 分情形为 a,b两处都得3 分,共 6 种情形.列出小明得分之和 的分布列便可求出期望. 解:(1)记 ai为事件“小明对落点在 a上的来球回球的得分为 i 分”(i=0,1,3), 则 p(a3)=12,p(a1)=13,p(a0)=1-1213=16; 10 / 14 记 bi为事件“小明对落点在 b 上的来球回球的得分为 i 分”(i=0,1,3), 则 p(b3)=15,p(b1)=35,p(b

22、0)=1-1535=15. 记 d 为事件“小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上”. 由题意,d=a3b0+a1b0+a0b1+a0b3, 由事件的独立性和互斥性, p(d)=p(a3b0+a1b0+a0b1+a0b3) =p(a3b0)+p(a1b0)+p(a0b1)+p(a0b3) =p(a3)p(b0)+p(a1)p(b0)+p(a0)p(b1)+p(a0)p(b3) =1215+1315+1635+1615=310, 所以小明两次回球的落点中恰有 1 次的落点在乙上的概率为310. (2)由题意,随机变量 可能的取值为 0,1,2,3,4,6, 由事件的独立性和互斥性,得 p(

23、=0)=p(a0b0)=1615=130, p(=1)=p(a1b0+a0b1)=p(a1b0)+p(a0b1)=1315+1635=16, p(=2)=p(a1b1)=1335=15, p(=3)=p(a3b0+a0b3)=p(a3b0)+p(a0b3)=1215+1516=215, p(=4)=p(a3b1+a1b3)=p(a3b1)+p(a1b3)=1235+1315=1130, p(=6)=p(a3b3)=1215=110. 可得随机变量 的分布列为: 0 1 2 3 4 6 p 130 16 15 215 1130 110 所以数学期望 e()=0130+116+215+3215+4

24、1130+6110=9130. 19.(本小题满分 12 分)(2014 山东,理 19)已知等差数列an的公差为 2,前 n 项和为 sn,且 s1,s2,s4成等比数列. (1)求数列an的通项公式; (2)令 bn=(-1)n-14+1,求数列bn的前 n 项和 tn. 11 / 14 分析:第(1)问中可利用等差数列知识,用首项与公差表示出前 n 项和,再根据 s1,s2,s4成等比数列求出首项,从而求得 an.求第(2)问时,可结合第(1)问中 an的结果得出 bn的通项公式,最后对项数 n 按奇数和偶数两种情况讨论并求出 bn的前 n 项和 tn. 解:(1)因为 s1=a1,s2

25、=2a1+2122=2a1+2, s4=4a1+4322=4a1+12, 由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12), 解得 a1=1,所以 an=2n-1. (2)bn=(-1)n-14+1=(-1)n-14(2-1)(2+1) =(-1)n-1(12-1+12+1). 当 n 为偶数时,tn=(1 +13) (13+15)+(12-3+12-1) (12-1+12+1)=1-12+1=22+1. 当 n 为奇数时,tn=(1 +13) (13+15)+-(12-3+12-1) + (12-1+12+1)=1+12+1=2+22+1. 所以 tn=2+22+1,n 为奇数,22+1,n

26、为偶数. (或=2+1+(-1)-12+1). 20.(本小题满分 13 分)(2014 山东,理 20)设函数 f(x)=e2-k(2+ ln)(k 为常数,e=2.718 28是自然对数的底数). (1)当 k0 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求 k 的取值范围. 分析:第(1)问中可先求出 f(x)的导函数 f(x),再解不等式 f(x)0 和 f(x)0,再具体讨论 k 值,要使 f(x)在(0,2)内有两个极值点,则 f(x)在(0,2)内必须出现增减增或减增减,即导函数 f(x)出现正负正或者负正负.据此可列出不等式,最后求得

27、 k 的取值范围. 解:(1)函数 y=f(x)的定义域为(0,+). f(x)=2e-2xe4-k(-22+1) =e-2e3(-2)2=(-2)(e-kx)3. 由 k0 可得 ex-kx0, 所以当 x(0,2)时,f(x)0,函数 y=f(x)单调递增. 所以 f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+). (2)由(1)知,当 k0 时,函数 f(x)在(0,2)内单调递减, 故 f(x)在(0,2)内不存在极值点; 12 / 14 当 k0 时,设函数 g(x)=ex-kx,x0,+). 因为 g(x)=ex-k=ex-eln k, 当 00,y=g(x)单调递增,

28、 故 f(x)在(0,2)内不存在两个极值点; 当 k1 时,得 x(0,ln k)时,g(x)0,函数 y=g(x)单调递增. 所以函数 y=g(x)的最小值为 g(ln k)=k(1-ln k). 函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点, 当且仅当(0) 0,(ln) 0,0 ln 2, 解得 ek0)的焦点为 f,a为 c 上异于原点的任意一点,过点 a的直线 l 交 c 于另一点 b,交 x 轴的正半轴于点 d,且有|fa|=|fd|.当点 a的横坐标为 3 时,adf为正三角形. (1)求 c 的方程; (2)若直线 l1l,且 l1和 c 有且只有一个公共点 e, 证明直线 ae过定点,并求出定点坐标; abe 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. 分析:在第(1)问中,可设 d(t,0),然后根据抛物线定义以及|fa|=|fd|建立 t 与 p 的关系,再由adf为正三角形求出 p 的值,即得 c 的方程.在第(2)问中,利用抛物线方程可确定抛物线焦点坐标,再设出 a 点,利用与 f点关系求出点 d,从而确定 l 的斜率.根据 l1与抛物线只有一个交点知,联立 l1与抛物线方程便只有一解.求出点 e坐标,从而求得 ae直线方程,结合方程特点,确定 l1过