2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(山东卷)理 (2)

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)本试卷分第卷和第卷两部分,共4页,满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第卷每小题选出答案后,用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上.3.第卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修

2、正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件a,b互斥,那么p(a+b)=p(a)+p(b),如果事件a,b独立,那么p(ab)=p(a)·p(b).第卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013山东,理1)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数z为(). a.2+ib.2-ic.5+id.5-i答案:d解析:由题意得z-3=52-i=2+i,所以z=5+i.故z=5-i,应选d.2.(2013

3、山东,理2)已知集合a=0,1,2,则集合b=x-y|xa,ya中元素的个数是().a.1b.3c.5d.9答案:c解析:当x,y取相同的数时,x-y=0;当x=0,y=1时,x-y=-1;当x=0,y=2时,x-y=-2;当x=1,y=0时,x-y=1;当x=2,y=0时,x-y=2;其他则重复.故集合b中有0,-1,-2,1,2,共5个元素,应选c.3.(2013山东,理3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+1x,则f(-1)=().a.-2b.0c.1d.2答案:a解析:因为f(x)是奇函数,故f(-1)=-f(1)=-12+11=-2,应选a.4.(2013

4、山东,理4)已知三棱柱abc-a1b1c1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3的正三角形.若p为底面a1b1c1的中心,则pa与平面abc所成角的大小为().a.512b.3c.4d.6答案:b解析:如图所示,由棱柱体积为94,底面正三角形的边长为3,可求得棱柱的高为3.设p在平面abc上射影为o,则可求得ao长为1,故ap长为12+(3)2=2.故pao=3,即pa与平面abc所成的角为3.5.(2013山东,理5)将函数y=sin(2x+)的图象沿x轴向左平移8个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为().a.34b.4c.0d.-4答案:b解析:函数y=sin(2x+)

5、的图象向左平移8个单位后变为函数y=sin2x+8+=sin2x+4+的图象,又y=sin2x+4+为偶函数,故4+=2+k,kz,=4+k,kz.若k=0,则=4.故选b.6.(2013山东,理6)在平面直角坐标系xoy中,m为不等式组2x-y-20,x+2y-10,3x+y-80所表示的区域上一动点,则直线om斜率的最小值为().a.2b.1c.-13d.-12答案:c解析:不等式组表示的区域如图阴影部分所示,结合斜率变化规律,当m位于c点时om斜率最小,且为-13,故选c.7.(2013山东,理7)给定两个命题p,q,若􀱑p是q的必要而不充分条件,则p是𙫔

6、9;q的().a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件答案:a解析:由题意:q􀱑p,􀱑pq,根据命题四种形式之间的关系,互为逆否的两个命题同真同假,所以q􀱑p,􀱑pq等价于p􀱑q,􀱑qp,所以p是􀱑q的充分而不必要条件.故选a.8.(2013山东,理8)函数y=xcos x+sin x的图象大致为().答案:d解析:因f(-x)=-x·cos(-x)+sin(-x)=-(xcos x+sin x)=-f(x),故该函数为奇函

7、数,排除b,又x0,2,y>0,排除c,而x=时,y=-,排除a,故选d.9.(2013山东,理9)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为a,b,则直线ab的方程为().a.2x+y-3=0b.2x-y-3=0c.4x-y-3=0d.4x+y-3=0答案:a解析:该切线方程为y=k(x-3)+1,即kx-y-3k+1=0,由圆心到直线距离为|k×1-0-3k+1|k2+(-1)2=1,得k=0或43,切线方程分别与圆方程联立,求得切点坐标分别为(1,1),95,-35,故所求直线的方程为2x+y-3=0.故选a.10.(2013山东,理10)用0,1,9

8、十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为().a.243b.252c.261d.279答案:b解析:构成所有的三位数的个数为c91c101c101=900,而无重复数字的三位数的个数为c91c91c81=648,故所求个数为900-648=252,应选b.11.(2013山东,理11)抛物线c1:y=12px2(p>0)的焦点与双曲线c2:x23-y2=1的右焦点的连线交c1于第一象限的点m.若c1在点m处的切线平行于c2的一条渐近线,则p=().a.316b.38c.233d.433答案:d解析:设mx0,12px02,y'=12px2'=xp,故在m点处的切线的斜

9、率为x0p=33,故m33p,16p.由题意又可知抛物线的焦点为0,p2,双曲线右焦点为(2,0),且33p,16p,0,p2,(2,0)三点共线,可求得p=433,故选d.12.(2013山东,理12)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当xyz取得最大值时,2x+1y-2z的最大值为().a.0b.1c.94d.3答案:b解析:由x2-3xy+4y2-z=0得x2-3xy+4y2z=12x2·4y2-3xyz,即xyz1,当且仅当x2=4y2时成立,又x,y为正实数,故x=2y.此时将x=2y代入x2-3xy+4y2-z=0得z=2y2,所以2x+1y-2z=-

10、1y2+2y=-1y-12+1,当1y=1,即y=1时,2x+1y-2z取得最大值为1,故选b.第卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.(2013山东,理13)执行右面的程序框图,若输入的的值为0.25,则输出的n的值为. 答案:3解析:第1次运行将f0+f1赋值给f1,即将3赋值给f1,然后将f1-f0赋值给f0,即将3-1=2赋值给f0,n增加1变成2,此时1f1=13比大,故循环,新f1为2+3=5,新f0为5-2=3,n增加1变成3,此时1f1=15,故退出循环,输出n=3.14.(2013山东,理14)在区间-3,3上随机取一个数x,使得|x

11、+1|-|x-2|1成立的概率为. 答案:13解析:设y=|x+1|-|x-2|=3,2x-1,-3,x2,-1<x<2,x-1,利用函数图象(图略)可知|x+1|-|x-2|1的解集为1,+).而在-3,3上满足不等式的x的取值范围为1,3,故所求概率为3-13-(-3)=13.15.(2013山东,理15)已知向量ab与ac的夹角为120°,且|ab|=3,|ac|=2,若ap=ab+ac,且apbc,则实数的值为. 答案:712解析:ap=ab+ac,apbc,又bc=ac-ab,(ac-ab)·(ac+ab)=0.ac2+ab

12、3;ac-ab·ac-ab2=0,即4+(-1)×3×2×-12-9=0,即7-12=0,=712.16.(2013山东,理16)定义“正对数”:ln+x=0,0<x<1,lnx,x1,现有四个命题:若a>0,b>0,则ln+(ab)=bln+a;若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b;若a>0,b>0,则ln+abln+a-ln+b;若a>0,b>0,则ln+(a+b)ln+a+ln+b+ln 2.其中的真命题有.(写出所有真命题的编号) 答案:三、解答题:本大题共6

13、小题,共74分.17.(2013山东,理17)(本小题满分12分)设abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos b=79.(1)求a,c的值;(2)求sin(a-b)的值.解:(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos b,得b2=(a+c)2-2ac(1+cos b),又b=2,a+c=6,cos b=79,所以ac=9,解得a=3,c=3.(2)在abc中,sin b=1-cos2b=429.由正弦定理得sin a=asinbb=223.因为a=c,所以a为锐角.所以cos a=1-sin2a=13.因此sin(a-b)=sin acos b-cos

14、asin b=10227.18.(2013山东,理18)(本小题满分12分)如图所示,在三棱锥p-abq中,pb平面abq,ba=bp=bq,d,c,e,f分别是aq,bq,ap,bp的中点,aq=2bd,pd与eq交于点g,pc与fq交于点h,连接gh.(1)求证:abgh;(2)求二面角d-gh-e的余弦值.(1)证明:因为d,c,e,f分别是aq,bq,ap,bp的中点,所以efab,dcab.所以efdc.又ef平面pcd,dc平面pcd,所以ef平面pcd.又ef平面efq,平面efq平面pcd=gh,所以efgh.又efab,所以abgh.(2)解法一:在abq中,aq=2bd,a

15、d=dq,所以abq=90°,即abbq.因为pb平面abq,所以abpb.又bpbq=b,所以ab平面pbq.由(1)知abgh,所以gh平面pbq.又fh平面pbq,所以ghfh.同理可得ghhc,所以fhc为二面角d-gh-e的平面角.设ba=bq=bp=2,连接fc,在rtfbc中,由勾股定理得fc=2,在rtpbc中,由勾股定理得pc=5.又h为pbq的重心,所以hc=13pc=53.同理fh=53.在fhc中,由余弦定理得cosfhc=59+59-22×59=-45.故二面角d-gh-e的余弦值为-45.解法二:在abq中,aq=2bd,ad=dq,所以abq=

16、90°.又pb平面abq,所以ba,bq,bp两两垂直.以b为坐标原点,分别以ba,bq,bp所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设ba=bq=bp=2,则e(1,0,1),f(0,0,1),q(0,2,0),d(1,1,0),c(0,1,0),p(0,0,2).所以eq=(-1,2,-1),fq=(0,2,-1),dp=(-1,-1,2),cp=(0,-1,2).设平面efq的一个法向量为m=(x1,y1,z1),由m·eq=0,m·fq=0,得-x1+2y1-z1=0,2y1-z1=0,取y1=1,得m=(0,1,2).设平面pdc的一个

17、法向量为n=(x2,y2,z2),由n·dp=0,n·cp=0,得-x2-y2+2z2=0,-y2+2z2=0,取z2=1,得n=(0,2,1).所以cos<m,n>=m·n|m|n|=45.因为二面角d-gh-e为钝角,所以二面角d-gh-e的余弦值为-45.19.(2013山东,理19)(本小题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率;(2)若比赛结果为30或31,则胜利

18、方得3分、对方得0分;若比赛结果为32,则胜利方得2分、对方得1分,求乙队得分x的分布列及数学期望.解:(1)记“甲队以30胜利”为事件a1,“甲队以31胜利”为事件a2,“甲队以32胜利”为事件a3,由题意,各局比赛结果相互独立,故p(a1)=233=827,p(a2)=c322321-23×23=827,p(a3)=c422321-232×12=427.所以,甲队以30胜利、以31胜利的概率都为827,以32胜利的概率为427.(2)设“乙队以32胜利”为事件a4,由题意,各局比赛结果相互独立,所以p(a4)=c421-232232×1-12=427.由题意,

19、随机变量x的所有可能的取值为0,1,2,3,根据事件的互斥性得p(x=0)=p(a1+a2)=p(a1)+p(a2)=1627,又p(x=1)=p(a3)=427,p(x=2)=p(a4)=427,p(x=3)=1-p(x=0)-p(x=1)-p(x=2)=327.故x的分布列为x0123p1627427427327所以ex=0×1627+1×427+2×427+3×327=79.20.(2013山东,理20)(本小题满分12分)设等差数列an的前n项和为sn,且s4=4s2,a2n=2an+1.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn的前n项和为t

20、n,且tn+an+12n=(为常数).令cn=b2n(nn*).求数列cn的前n项和rn.解:(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d,由s4=4s2,a2n=2an+1得4a1+6d=8a1+4d,a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1.解得a1=1,d=2.因此an=2n-1,nn*.(2)由题意知,tn=-n2n-1,所以n2时,bn=tn-tn-1=-n2n-1+n-12n-2=n-22n-1.故cn=b2n=2n-222n-1=(n-1)14n-1,nn*.所以rn=0×140+1×141+2×142+3×143+(n-1)

21、5;14n-1,则14rn=0×141+1×142+2×143+(n-2)×14n-1+(n-1)×14n,两式相减得34rn=141+142+143+14n-1-(n-1)×14n=14-14n1-14-(n-1)×14n=13-1+3n314n,整理得rn=194-3n+14n-1,所以数列cn的前n项和rn=194-3n+14n-1.21.(2013山东,理21)(本小题满分13分)设函数f(x)=xe2x+c(e=2.718 28是自然对数的底数,cr).(1)求f(x)的单调区间、最大值;(2)讨论关于x的方程|l

22、n x|=f(x)根的个数.解:(1)f'(x)=(1-2x)e-2x,由f'(x)=0,解得x=12.当x<12时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>12时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以,函数f(x)的单调递增区间是-,12,单调递减区间是12,+,最大值为f12=12e-1+c.(2)令g(x)=|ln x|-f(x)=|ln x|-xe-2x-c,x(0,+).当x(1,+)时,ln x>0,则g(x)=ln x-xe-2x-c,所以g'(x)=e-2xe2xx+2x-1.因为2x-1>0,e2x

23、x>0,所以g'(x)>0.因此g(x)在(1,+)上单调递增.当x(0,1)时,ln x<0,则g(x)=-ln x-xe-2x-c.所以g'(x)=e-2x-e2xx+2x-1.因为e2x(1,e2),e2x>1>x>0,所以-e2xx<-1.又2x-1<1,所以-e2xx+2x-1<0,即g'(x)<0.因此g(x)在(0,1)上单调递减.综合可知,当x(0,+)时,g(x)g(1)=-e-2-c.当g(1)=-e-2-c>0,即c<-e-2时,g(x)没有零点,故关于x的方程|ln x|=f

24、(x)根的个数为0;当g(1)=-e-2-c=0,即c=-e-2时,g(x)只有一个零点,故关于x的方程|ln x|=f(x)根的个数为1;当g(1)=-e-2-c<0,即c>-e-2时,当x(1,+)时,由(1)知g(x)=ln x-xe-2x-cln x-12e-1+c>ln x-1-c,要使g(x)>0,只需使ln x-1-c>0,即x(e1+c,+);当x(0,1)时,由(1)知g(x)=-ln x-xe-2x-c-ln x-12e-1+c>-ln x-1-c,要使g(x)>0,只需-ln x-1-c>0,即x(0,e-1-c);所以c&

25、gt;-e-2时,g(x)有两个零点,故关于x的方程|ln x|=f(x)根的个数为2.综上所述,当c<-e-2时,关于x的方程|ln x|=f(x)根的个数为0;当c=-e-2时,关于x的方程|ln x|=f(x)根的个数为1;当c>-e-2时,关于x的方程|ln x|=f(x)根的个数为2.22.(2013山东,理22)(本小题满分13分)椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是f1,f2,离心率为32,过f1且垂直于x轴的直线被椭圆c截得的线段长为1.(1)求椭圆c的方程;(2)点p是椭圆c上除长轴端点外的任一点,连接pf1,pf2.设f1p

26、f2的角平分线pm交c的长轴于点m(m,0),求m的取值范围;(3)在(2)的条件下,过点p作斜率为k的直线l,使得l与椭圆c有且只有一个公共点.设直线pf1,pf2的斜率分别为k1,k2.若k0,试证明1kk1+1kk2为定值,并求出这个定值.(1)解:由于c2=a2-b2,将x=-c代入椭圆方程x2a2+y2b2=1,得y=±b2a,由题意知2b2a=1,即a=2b2.又e=ca=32,所以a=2,b=1.所以椭圆c的方程为x24+y2=1.(2)解法一:设p(x0,y0)(y00).又f1(-3,0),f2(3,0),所以直线pf1,pf2的方程分别为lpf1:y0x-(x0+3)y+3y0=0,lpf2:y0x-(x0-3)y-3y0=0.由题意知|my0+3y0|y02+(x0+3)2=|my0-3y0|y02+(x0-3)2.由于点p在椭圆上,所以x024+y02=1,所以|m+3|32x0+22=|m-3|32x0-22.因为-3<m<3,-