2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(湖南卷)理

1、1 / 16 数学数学(理工农医类理工农医类)(湖南卷湖南卷) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013 湖南,理 1)复数 z=i (1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ). a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限 答案:b 解析:z=i+i2=-1+i,对应点为(-1,1),故在第二象限,选 b. 2.(2013 湖南,理 2)某学校有男、女学生各 500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取 100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法

2、是( ). a.抽签法 b.随机数法 c.系统抽样法 d.分层抽样法 答案:d 解析:看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异,应当分层抽取,故宜采用分层抽样. 3.(2013 湖南,理 3)在锐角abc中,角 a,b所对的边长分别为 a,b.若 2asin b=3b,则角 a 等于( ).a.12 b.6 c.4 d.3 答案:d 解析:由 2asin b=3b得 2sin asin b=3sin b,故 sin a=32,故 a=3或23.又abc为锐角三角形,故a=3. 4.(2013 湖南,理 4)若变量 x,y 满足约束条件 2, + 1, -1.则 x+2y的最大值是( )

3、. a.-52 b.0 c.53 d.52 答案:c 2 / 16 解析:约束条件表示的可行域为如图阴影部分. 令 x+2y=d,即 y=-12x+2, 由线性规划知识可得最优点为(13,23),所以 dmax=13+43=53. 5.(2013 湖南,理 5)函数 f(x)=2ln x 的图象与函数 g(x)=x2-4x+5 的图象的交点个数为( ). a.3 b.2 c.1 d.0 答案:b 解析:设 f(x)与 g(x)图象的交点坐标为(x,y), 则 y=2ln x,y=x2-4x+5,联立得 2ln x=x2-4x+5,令 h(x)=x2-4x+5-2ln x(x0), 由 h(x)

4、=2x-4-2=0得 x1=1+2,x2=1-2(舍). 当 h(x)0,即 x(1+2,+)时,h(x)单调递增. 又h(1)=20,h(2)=1-2ln 20, h(x)与 x 轴必有两个交点,故答案为 b. 6.(2013 湖南,理 6)已知 a,b是单位向量,a b=0,若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c|的取值范围是( ). a.2-1,2+1 b.2-1,2+2 c.1,2+1 d.1,2+2 答案:a 解析:由题意,不妨令 a=(0,1),b=(1,0),c=(x,y),由|c-a-b|=1 得(x-1)2+(y-1)2=1,|c|=x2+ y2可看做(x,y)到原点的距

5、离,而点(x,y)在以(1,1)为圆心,以 1为半径的圆上.如图所示,当点(x,y)在位置 p 时到原点的距离最近,在位置 p时最远,而 po=2-1,po=2+1,故选 a. 3 / 16 7.(2013 湖南,理 7)已知棱长为 1的正方体的俯视图是一个面积为 1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于( ). a.1 b.2 c.2-12 d.2+12 答案:c 解析:根据三视图中正视图与俯视图等长,故正视图中的长为2cos ,如图所示. 故正视图的面积为 s=2cos (04), 1s2, 而2-128,故 a=3; a=3 不满足 a8,故 a=5; a=5 不满足 a8,故 a

6、=7; a=7 不满足 a8,故 a=9,满足 a8,终止循环.输出 a=9. 14.(2013 湖南,理 14)设 f1,f2是双曲线 c:x2a2y2b2=1(a0,b0)的两个焦点,p是 c上一点.若|pf1|+|pf2|=6a,且pf1f2的最小内角为 30 ,则 c 的离心率为 . 答案:3 解析: 不妨设|pf1|pf2|,由|pf1| + |pf2| = 6a,|pf1|-|pf2| = 2a可得 |pf1| = 4a,|pf2| = 2a. 2aa0,cb0. (1)记集合 m=(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且 a=b,则(a,b,c)m 所对应的 f

7、(x)的零点的取值集合为 ; (2)若 a,b,c 是abc的三条边长,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号) x(-,1),f(x)0; xr,使 ax,bx,cx不能构成一个三角形的三条边长; 若abc为钝角三角形,则x(1,2),使 f(x)=0. 答案:(1)x|00. 从而 g()=1-cos =1-1-2 =1-45=15. (2)f(x)g(x)等价于3sin x1-cos x,即3sin x+cos x1. 于是 sin(x +6) 12. 从而 2k+6x+62k+56,kz, 即 2kx2k+23,kz. 故使 f(x)g(x)成立的 x 的取值集合为 x|2k

8、x 2k +23,k. 18.(2013 湖南,理 18)(本小题满分 12 分)某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量 y(单位:kg)与它的“相近”作物株数 x之间的关系如下表所示: x 1 2 3 4 y 51 48 45 42 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1米. (1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率; (2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望. 9 / 16 解:(1)所

9、种作物总株数 n=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为 3,边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有31121=36 种,选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有 3+3+2=8 种. 故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为836=29. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量 y 的分布列. 因为 p(y=51)=p(x=1),p(y=48)=p(x=2),p(y=45)=p(x=3),p(y=42)=p(x=4), 所以只需求出 p(x=k)(k=1,2,3,4)即可. 记 nk为其“相

10、近”作物恰有 k 株的作物株数(k=1,2,3,4),则 n1=2,n2=4,n3=6,n4=3. 由 p(x=k)=nkn得 p(x=1)=215,p(x=2)=415,p(x=3)=615=25,p(x=4)=315=15. 故所求的分布列为 y 51 48 45 42 p 215 415 25 15 所求的数学期望为 e(y)=51215+48415+4525+4215=34+64+90+425=46. 19.(2013 湖南,理 19)(本小题满分 12 分)如图,在直棱柱 abcd-a1b1c1d1中,adbc,bad=90 ,acbd,bc=1,ad=aa1=3. (1)证明:ac

11、b1d; (2)求直线 b1c1与平面 acd1所成角的正弦值. 10 / 16 解法 1:(1)如图,因为 bb1平面 abcd,ac平面 abcd,所以 acbb1. 又 acbd,所以 ac平面 bb1d. 而 b1d平面 bb1d,所以 acb1d. (2)因为 b1c1ad,所以直线 b1c1与平面 acd1所成的角等于直线 ad与平面 acd1所成的角(记为 ). 如图,连结 a1d,因为棱柱 abcd-a1b1c1d1是直棱柱,且b1a1d1=bad=90 ,所以 a1b1平面add1a1. 从而 a1b1ad1. 又 ad=aa1=3,所以四边形 add1a1是正方形,于是 a

12、1dad1. 故 ad1平面 a1b1d,于是 ad1b1d. 由(1)知,acb1d,所以 b1d平面 acd1.故adb1=90 -. 在直角梯形 abcd 中,因为 acbd,所以bac=adb.从而 rtabcrtdab, 故abda=bcab.即 ab=dabc = 3. 连结 ab1,易知ab1d是直角三角形, 且 b1d2=bb 12+bd2=bb 12+ab2+ad2=21, 即 b1d=21. 在 rtab1d 中,cosadb1=adb1d=321=217,即 cos(90 -)=217. 从而 sin =217. 即直线 b1c1与平面 acd1所成角的正弦值为217.

13、11 / 16 解法 2:(1)易知,ab,ad,aa1两两垂直.如图,以 a为坐标原点,ab,ad,aa1所在直线分别为 x轴,y 轴,z轴建立空间直角坐标系.设 ab=t,则相关各点的坐标为:a(0,0,0),b(t,0,0),b1(t,0,3),c(t,1,0),c1(t,1,3),d(0,3,0),d1(0,3,3). 从而b1d =(-t,3,-3),ac =(t,1,0),bd =(-t,3,0). 因为 acbd,所以ac bd =-t2+3+0=0.解得 t=3或 t=-3(舍去). 于是b1d =(-3,3,-3),ac =(3,1,0). 因为ac b1d =-3+3+0=

14、0,所以ac b1d ,即 acb1d. (2)由(1)知,ad1 =(0,3,3),ac =(3,1,0),b1c1 =(0,1,0). 设 n=(x,y,z)是平面 acd1的一个法向量,则 n = 0,n1 = 0,即3x + y = 0,3y + 3z = 0. 令 x=1,则 n=(1,-3,3). 设直线 b1c1与平面 acd1所成角为 ,则 sin =|cos |=|n11 |n|11 | =37=217. 即直线 b1c1与平面 acd1所成角的正弦值为217. 20.(2013 湖南,理 20)(本小题满分 13 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,将从点 m出发沿纵、横方

15、向到达点 n的任一路径称为 m到 n的一条“l路径”.如图所示的路径 mm1m2m3n与路径 mn1n都是 m 到 n的“l路径”.某地有三个新建的居民12 / 16 区,分别位于平面 xoy内三点 a(3,20),b(-10,0),c(14,0)处.现计划在 x轴上方区域(包含 x 轴)内的某一点 p处修建一个文化中心. (1)写出点 p到居民区 a的“l路径”长度最小值的表达式(不要求证明): (2)若以原点 o为圆心,半径为 1的圆的内部是保护区,“l路径”不能进入保护区,请确定点 p的位置,使其到三个居民区的“l 路径”长度之和最小. 解:设点 p的坐标为(x,y). (1)点 p到居

16、民区 a的“l路径”长度最小值为 |x-3|+|y-20|,xr,y0,+). (2)由题意知,点 p到三个居民区的“l 路径”长度之和的最小值为点 p 分别到三个居民区的“l 路径”长度最小值之和(记为 d)的最小值. 当 y1 时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|, 因为 d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|x+10|+|x-14|,(*) 当且仅当 x=3 时,不等式(*)中的等号成立, 又因为|x+10|+|x-14|24,(*) 当且仅当 x-10,14时,不等式(*)中的等号成立. 所以 d1(x)24,当且仅当 x=3时,等号成立.

17、 d2(y)=2y+|y-20|21,当且仅当 y=1时,等号成立. 故点 p 的坐标为(3,1)时,p到三个居民区的“l 路径”长度之和最小,且最小值为 45. 当 0y1时,由于“l路径”不能进入保护区, 所以 d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|, 此时,d1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|, d2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y21. 由知,d1(x)24,故 d1(x)+d2(y)45,当且仅当 x=3,y=1 时等号成立. 综上所述,在点 p(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“l路径

18、”长度之和最小. 21.(2013 湖南,理 21)(本小题满分 13 分)过抛物线 e:x2=2py(p0)的焦点 f作斜率分别为 k1,k2的两条不同直线 l1,l2,且 k1+k2=2,l1与 e 相交于点 a,b,l2与 e相交于点 c,d,以 ab,cd 为直径的圆 m,圆n(m,n为圆心)的公共弦所在直线记为 l. 13 / 16 (1)若 k10,k20,证明:fm fn 0,k20,k1k2, 所以 0k1k2(k1+k22)2=1. 故fm fn 0, 所以点 m到直线 l的距离 d=|2pk12+pk1+p|5 =p|2k12+k1+1|5 =p2(k1+14)2+785.

19、 故当 k1=-14时,d取最小值7p85. 由题设,7p85=755,解得 p=8. 故所求的抛物线 e 的方程为 x2=16y. 22.(2013 湖南,理 22)(本小题满分 13 分)已知 a0,函数 f(x)=|x-ax+2a|. (1)记 f(x)在区间0,4上的最大值为 g(a),求 g(a)的表达式; (2)是否存在 a,使函数 y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解:(1)当 0 xa 时,f(x)=a-xx+2a; 当 xa时,f(x)=x-ax+2a. 因此,当 x(0,a)时,f(x)=-3a(x+2a)20,f(x)在(