2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(四川卷)理

1、1 / 15 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数学(理科) 第卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.(2014 四川,理 1)已知集合 a=x|x2-x-20,集合 b为整数集,则 ab=( ). a.-1,0,1,2 b.-2,-1,0,1 c.0,1 d.-1,0 答案:a 解析:a=x|x2-x-20=x|-1x2, ab=az=x|-1x2z=-1,0,1,2. 2.(2014 四川,理 2)在 x(1+x)6的展开式中,含 x3项的系数为( ). a.3

2、0 b.20 c.15 d.10 答案:c 解析:含 x3的项是由(1+x)6展开式中含 x2的项与 x 相乘得到,又(1+x)6展开式中含 x2的项的系数为c62=15, 故含 x3项的系数是 15. 3.(2014 四川,理 3)为了得到函数 y=sin(2x+1)的图象,只需把函数 y=sin 2x 的图象上所有的点( ). a.向左平行移动12个单位长度 b.向右平行移动12个单位长度 c.向左平行移动 1 个单位长度 d.向右平行移动 1 个单位长度 答案:a 解析:y=sin(2x+1)=sin 2( +12), 需要把 y=sin 2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到

3、 y=sin(2x+1)的图象. 4.(2014 四川,理 4)若 ab0,cd b. d. 2 / 15 答案:d 解析:cd-d0,01-1-0. 又ab0, -,. 5.(2014 四川,理 5)执行如图的程序框图,如果输入的 x,yr,那么输出的 s 的最大值为( ). a.0 b.1 c.2 d.3 答案:c 解析:先画出 x,y 满足的约束条件 0, 0, + 1,对应的可行域如图中阴影部分: 移动直线 l0:y=-2x. 当直线经过点 a(1,0)时,y=-2x+s 中截距 s 最大,此时 smax=21+0=2. 再与 x0,y0,x+y1 不成立时 s=1 进行比较,可得 s

4、max=2. 6.(2014 四川,理 6)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( ). a.192 种 b.216 种 c.240 种 d.288 种 答案:b 解析:(1)当最左端排甲的时候,排法的种数为a55; (2)当最左端排乙的时候,排法种数为c41a44. 因此不同的排法的种数为a55+ c41a44=120+96=216. 3 / 15 7.(2014 四川,理 7)平面向量 a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mr),且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,则 m=( ). a.-2 b.-1 c.1 d.2 答案:d

5、解析:a=(1,2),b=(4,2), c=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2). 又c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角, cos=cos. |=|. 即5+85|=8+2025|, 解得 m=2. 8.(2014 四川,理 8)如图,在正方体 abcd-a1b1c1d1中,点 o 为线段 bd 的中点.设点 p在线段 cc1上,直线 op与平面 a1bd 所成的角为 ,则 sin 的取值范围是( ). a.33,1 b.63,1 c.63,223 d.223,1 答案:b 解析:以 d 为坐标原点,da,dc,dd1所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系

6、,如图所示. 不妨设 dc=da=dd1=1,则 d(0,0,0),b(1,1,0),a1(1,0,1),o(12,12,0),并设点 p(0,1,t)且 0t1. 则 = (-12,12,t),1d =(-1,0,-1),1b =(0,1,-1). 设平面 a1bd 的法向量为 n=(x0,y0,z0), 则有a1d = 0,a1b = 0,即-x0-z0= 0,y0-z0= 0,取 x0=1,y0=-1,z0=-1, n=(1,-1,-1). sin =|cos|=|-1-|32+12(0t1), 4 / 15 sin2=2+2t+13(2+12),0t1. 令 f(t)=2+2t+13(

7、2+12),0t1. 则 f(t)=22+t-1-3(2+12)2=-(2-1)(+1)3(2+12)2, 可知当 t0,12)时,f(t)0; 当 t12,1时,f(t)0. 又f(0)=23,f(12)=1,f(1)=89, fmax(t)=f(12)=1,fmin(t)=f(0)=23. sin 的最大值为 1,最小值为63. sin 的取值范围为63,1. 9.(2014 四川,理 9)已知 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x(-1,1).现有下列命题:f(-x)=-f(x);f(21+2)=2f(x);|f(x)|2|x|. 其中的所有正确命题的序号是( ). a. b.

8、c. d. 答案:a 解析:对于,f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)=ln1+1-,f(-x)=ln1-1+=-ln1+1-=-f(x),又 x(-1,1), f(-x)=-f(x),故命题正确; 对于,f(21+2)=ln(1 +21+2)-ln(1-21+2)=ln(1+)21+2-ln(1-)21+2=ln(1+1-)2=2ln1+1-=2f(x),故命题正确; 对于,由于 f(x)和 2x 均为奇函数,不妨仅研究 x0,1)时的情形,此时|f(x)|=|ln1+1-|=ln1+1-,2|x|=2x=ln e2x.令(x)=1+1-e2x,则 (x)=21(1-)2-e2,令 (x

9、)=0,得 x=0,且当 x0,1)时,(x)0,因此 (x)在0,1)上为增函数,(x)(0)=0,即1+1-e2x在 x0,1)上恒成立,故 ln1+1-2x 也成立; 同理根据对称性可知对 x(-1,1)均有|ln1+1-|2x|,即|f(x)|2|x|成立,为真命题. 综上可知,正确命题的序号为. 10.(2014 四川,理 10)已知 f为抛物线 y2=x 的焦点,点 a,b在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, =2(其中 o 为坐标原点),则abo 与afo 面积之和的最小值是( ). a.2 b.3 c.1728 d.10 答案:b 解析:设 ab所在直线方程为 x=my+t. 5

10、 / 15 由 = + ,2= x,消去 x,得 y2-my-t=0. 设 a(12,y1),b(22,y2)(不妨令 y10,y20), 故12+ 22=m,y1y2=-t. 而 = 1222+y1y2=2. 解得 y1y2=-2 或 y1y2=1(舍去). 所以-t=-2,即 t=2. 所以直线 ab过定点 m(2,0). 而 sabo=samo+sbmo =12|om|y1-y2|=y1-y2, safo=12|of|y1=1214y1=18y1, 故 sabo+safo=y1-y2+18y1=98y1-y2. 由98y1-y2=98y1+(-y2)2981 (-2)=298 2=3,

11、得 sabo+safo的最小值为 3,故选 b. 第卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.(2014 四川,理 11)复数2-2i1+i= . 答案:-2i 解析:2-2i1+i=(2-2i)(1-i)(1+i)(1-i)=2-2-4i2=-2i. 12.(2014 四川,理 12)设 f(x)是定义在 r 上的周期为 2 的函数,当 x-1,1)时,f(x)=-42+ 2,-1 x 0,0 -2,ar)有最大值,则 f(x)b. 其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号) 答案: 解析:对于,“f(x)a”说明 f(x)的值域为

12、 r,显然能推出“br,ad,f(a)=b”,反之对满足“br,ad,f(a)=b”的函数其值域也必为 r.所以为真命题; 对于,“函数 f(x)b”“f(x)有最大值和最小值”.如函数 f(x)=11+2的值域为(0,1-1,1,但 f(x)=11+2无最小值.但“f(x)有最大值和最小值”“f(x)b”. 综上知为假命题; 对于,因为 f(x)a,所以 f(x)的值域为 r. 因为 g(x)b,所以存在正数 m 使得-mg(x)m, 所以 f(x)+g(x)的值域为 r-m,m=r. 所以 f(x)+g(x)b.因此为真命题; 对于,易证当 x-2 时,2+1 -12,12,要使 f(x)

13、=aln(x+2)+2+1(x-2,ar)有最大值,则 a 必为 0.此时f(x)=2+1b,故命题为真. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)(2014 四川,理 16)已知函数 f(x)=sin(3 +4). (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)若 是第二象限角,f(3) =45cos( +4)cos 2,求 cos -sin 的值. 分析:在第(1)问,通过整体思想,将 3x+4看作一个整体,借助 y=sin x 的单调递增区间,解不等式求出 x 的范围得到f(x)的单调递增区间,要注意 kz 不要漏

14、掉;在第(2)问,利用已知条件求出 f(3),然后利用和角公式展开整理,得到关于 sin +cos 与 cos -sin 的方程,再对 sin +cos 与 0 的关系进行讨论,得到 cos -sin 的值. 解:(1)因为函数 y=sin x 的单调递增区间为-2+ 2k,2+ 2k,kz, 由-2+2k3x+42+2k,kz,得-4+23x12+23,kz. 所以,函数 f(x)的单调递增区间为-4+23,12+23,kz. (2)由已知,有 sin( +4) =45cos( +4)(cos2-sin2), 所以 sin cos4+cos sin4 =45(coscos4-sinsin4)

15、(cos2-sin2), 即 sin +cos =45(cos -sin )2(sin +cos ). 当 sin +cos =0 时,由 是第二象限角,知 =34+2k,kz. 8 / 15 此时,cos -sin =-2. 当 sin +cos 0 时,有(cos -sin )2=54. 由 是第二象限角,知 cos -sin b0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. (1)求椭圆 c 的标准方程. (2)设 f为椭圆 c 的左焦点,t 为直线 x=-3 上任意一点,过 f 作 tf的垂线交椭圆 c 于点 p,q. 证明:ot 平分线段 pq(其中 o 为坐标原点

16、); 当|最小时,求点 t 的坐标. 分析:在第(1)问中,利用已知条件,借助 a,b,c 的几何意义,列出关于 a,b,c 的方程组,求出 a2,b2,然后写出椭圆的标准方程;在第(2)问中,设出 t 点坐标,充分利用所给条件,表示出 pq 的方程,然后设出 p,q 两点坐标,联立曲线方程得到关于 y 的一元二次方程,再利用根与系数的关系表示出 pq 的中点坐标,最后利用斜率得出要证结论;在中,利用的结论,分别表示出|tf|,|pq|,然后借助基本不等式得到|的最小值并求出 t 点坐标. 13 / 15 (1)解:由已知可得2+ 2= 2b,2 = 22-2= 4, 解得 a2=6,b2=2

17、, 所以椭圆 c 的标准方程是26+22=1. (2)证明:由(1)可得,f的坐标是(-2,0),设 t 点的坐标为(-3,m). 则直线 tf的斜率 ktf=-0-3-(-2)=-m. 当 m0 时,直线 pq 的斜率 kpq=1.直线 pq 的方程是 x=my-2. 当 m=0 时,直线 pq 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式. 设 p(x1,y1),q(x2,y2),将直线 pq 的方程与椭圆 c 的方程联立,得 = -2,26+22= 1. 消去 x,得(m2+3)y2-4my-2=0, 其判别式 =16m2+8(m2+3)0. 所以 y1+y2=42+3,y1y2=-

18、22+3, x1+x2=m(y1+y2)-4=-122+3. 所以 pq 的中点 m 的坐标为(-62+3,22+3). 所以直线 om 的斜率 kom=-3, 又直线 ot 的斜率 kot=-3,所以点 m 在直线 ot 上, 因此 ot 平分线段 pq. 解:由可得, |tf|=2+ 1, |pq|=(1-2)2+ (1-2)2 =(2+ 1)(1+ 2)2-412 =(2+ 1)(42+3)2-4-22+3 =24(2+1)2+3. 所以|=124(2+3)22+1 =124(2+ 1 +42+1+ 4) 124(4 + 4) =33. 14 / 15 当且仅当 m2+1=42+1,即

19、m= 1 时,等号成立,此时|取得最小值. 所以当|最小时,t 点的坐标是(-3,1)或(-3,-1). 21.(本小题满分 14 分)(2014 四川,理 21)已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,br,e=2.718 28为自然对数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间0,1上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,求 a 的取值范围. 分析:在第(1)问中,利用已知条件求出 g(x),然后借助导数 g(x)求最值,在求解过程中需根据参数 a 的取值范围进行讨论,再利用 g(x)在区间上的单调性求出

20、 g(x)的最值;在第(2)问中,充分利用 f(x)在(0,1)内有零点这一条件,借助第(1)问的结论根据参数 a 的范围,结合区间端点处函数值的符号来判断在区间内是否存在零点,从而得到 a 的取值范围. 解:(1)由 f(x)=ex-ax2-bx-1,有 g(x)=f(x)=ex-2ax-b. 所以 g(x)=ex-2a. 因此,当 x0,1时,g(x)1-2a,e-2a. 当 a12时,g(x)0,所以 g(x)在0,1上单调递增, 因此 g(x)在0,1上的最小值是 g(0)=1-b; 当 ae2时,g(x)0,所以 g(x)在0,1上单调递减, 因此 g(x)在0,1上的最小值是 g(1)=e-2a-b; 当12ae2时,令 g(x)=0,得 x=ln(2a)(0,1). 所以函数 g(x)在区间0,ln(2a)上单调递减,在区间(ln(2a),1上单调递增. 于是,g(x)在0,1上的最小值是 g(ln(2a)=2a-2aln(2a)-b. 综上所述,当 a12时,g(x)在0,1上的最小值是 g(0)=1-b; 当12ae2时,g(x)在0,1上的最小值是 g