2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(大纲全国卷)文 (2)

1、1 / 8 2014 年普通高等学校招生全国统一考试(大纲全国卷) 数学(文科) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014 大纲全国,文 1)设集合 m=1,2,4,6,8,n=1,2,3,5,6,7,则 mn 中元素的个数为( ). a.2 b.3 c.5 d.7 答案:b 解析:m=1,2,4,6,8,n=1,2,3,5,6,7, mn=1,2,6, mn 中元素的个数为 3,故选 b. 2.(2014 大纲全国,文 2)已知角 的终边经过点(-4,3),则 cos =( ). a.45 b.35 c.-35 d

2、.-45 答案:d 解析:设角 的终边上点(-4,3)到原点 o 的距离为 r,则 r=(-4)2+ 32=5, 由余弦函数的定义,得 cos =-45,故选 d. 3.(2014 大纲全国,文 3)不等式组( + 2) 0,| 1的解集为( ). a.x|-2x-1 b.x|-1x0 c.x|0 x1 答案:c 解析:( + 2) 0,| 1, 由得,x0, 由得,-1x1, 因此原不等式组的解集为x|0 x-1)的反函数是( ). a.y=(1-ex)3(x-1) b.y=(ex-1)3(x-1) c.y=(1-ex)3(xr) d.y=(ex-1)3(xr) 答案:d 解析:由 y=ln

3、(3+1),得 ey=3+1,3=ey-1,x=(ey-1)3, 2 / 8 f-1(x)=(ex-1)3. x-1,yr,即反函数的定义域为 r. 反函数为 y=(ex-1)3(xr),故选 d. 6.(2014 大纲全国,文 6)已知 a,b 为单位向量,其夹角为 60 ,则(2a-b) b=( ). a.-1 b.0 c.1 d.2 答案:b 解析:由已知得|a|=|b|=1,=60 , (2a-b)b=2ab-b2=2|a|b|cos-|b|2 =211cos 60 -12=0,故选 b. 7.(2014 大纲全国,文 7)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名

4、女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( ). a.60 种 b.70 种 c.75 种 d.150 种 答案:c 解析:从 6 名男医生中选出 2 名有c62种选法,从 5 名女医生中选出 1 名有c51种选法,故共有c62c51=65215=75 种选法,选 c. 8.(2014 大纲全国,文 8)设等比数列an的前 n 项和为 sn.若 s2=3,s4=15,则 s6=( ). a.31 b.32 c.63 d.64 答案:c 解析:s2=3,s4=15,由等比数列前 n 项和的性质,得 s2,s4-s2,s6-s4成等比数列, (s4-s2)2=s2(s6-s4), 即(15-3)2

5、=3(s6-15),解得 s6=63,故选 c. 9.(2014 大纲全国,文 9)已知椭圆 c:22+22=1(ab0)的左、右焦点为 f1,f2,离心率为33,过 f2的直线 l 交 c 于a,b两点.若af1b的周长为 43,则 c 的方程为( ). a.23+22=1 b.23+y2=1 c.212+28=1 d.212+24=1 答案:a 解析:22+22=1(ab0)的离心率为33, =33,abc=36 3. 又过 f2的直线 l 交椭圆于 a,b两点, af1b的周长为 43, 4a=43,a=3. b=2,椭圆方程为23+22=1,选 a. 10.(2014 大纲全国,文 1

6、0)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为( ). a.814 b.16 c.9 d.274 答案:a 解析:由图知,r2=(4-r)2+2, 3 / 8 r2=16-8r+r2+2,r=94, s表=4r2=48116=814,选 a. 11.(2014 大纲全国,文 11)双曲线 c:2222=1(a0,b0)的离心率为 2,焦点到渐近线的距离为3,则 c 的焦距等于( ). a.2 b.22 c.4 d.42 答案:c 解析:e=2,=2. 设焦点 f2(c,0)到渐近线 y=x 的距离为3, 渐近线方程为 bx-ay=0, |-0|2+2=

7、3. c2=a2+b2,b=3. 由=2,得2-2=2,22-3=4, 解得 c=2.焦距 2c=4,故选 c. 12.(2014 大纲全国,文 12)奇函数 f(x)的定义域为 r.若 f(x+2)为偶函数,且 f(1)=1,则 f(8)+f(9)=( ). a.-2 b.-1 c.0 d.1 答案:d 解析:奇函数 f(x)的定义域为 r, f(-x)=-f(x),且 f(0)=0. f(x+2)为偶函数,f(-x+2)=f(x+2). f(x+2)+2=f(-x-2+2)=f(-x)=-f(x), 即 f(x+4)=-f(x). f(x+8)=f(x+4)+4=-f(x+4) =-(-f

8、(x)=f(x). f(x)是以 8 为周期的周期函数, f(8)=f(0)=0, f(9)=f(8+1)=f(1)=1. f(8)+f(9)=0+1=1.故选 d. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.(2014 大纲全国,文 13)(x-2)6的展开式中 x3的系数为 .(用数字作答) 答案:-160 解析:由通项公式得 t4=c63x6-3(-2)3=-8c63x3, 故展开式中 x3的系数为-8c63=-8654321=-160. 14.(2014 大纲全国,文 14)函数 y=cos 2x+2sin x 的最大值为 . 答案:32 解析:y=cos 2x+2sin

9、 x=1-2sin2x+2sin x=-2(sin-12)2+32, 当 sin x=12时,ymax=32. 4 / 8 15.(2014 大纲全国,文 15)设 x,y 满足约束条件- 0, + 2 3,-2 1,则 z=x+4y 的最大值为 . 答案:5 解析:画出 x,y 的可行域如图阴影区域. 由 z=x+4y,得 y=-14x+4. 先画出直线 y=-14x,再平移直线 y=-14x, 当经过点 b(1,1)时, z=x+4y 取得最大值为 5. 16.(2014 大纲全国,文 16)直线 l1和 l2是圆 x2+y2=2 的两条切线.若 l1与 l2的交点为(1,3),则 l1与

10、 l2的夹角的正切值等于 . 答案:43 解析:如图所示,设 l1与圆 o:x2+y2=2 相切于点 b,l2与圆 o:x2+y2=2 相切于点 c,则 ob=2,oa=10,ab=22. tan =222=12. tanbac=tan 2=2tan1-tan2=2121-14=43. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)(2014 大纲全国,文 17)数列an满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设 bn=an+1-an,证明bn是等差数列; (2)求an的通项公式. 分析:本题主要考查等差数列的概念、通项公式以及累

11、加法求数列通项公式. (1)可用定义证明 bn+1-bn=2(常数)即可. (2)利用(1)的结果,求出bn的通项公式及 an+1-an的表达式,再用累加法可求数列an的通项公式. (1)证明:由 an+2=2an+1-an+2 得 an+2-an+1=an+1-an+2, 即 bn+1=bn+2. 又 b1=a2-a1=1, 所以bn是首项为 1,公差为 2 的等差数列. (2)解:由(1)得 bn=1+2(n-1), 即 an+1-an=2n-1. 于是=1(ak+1-ak)=1(2k-1), 所以 an+1-a1=n2,即 an+1=n2+a1. 又 a1=1,所以an的通项公式为 an

12、=n2-2n+2. 5 / 8 18.(本小题满分 12 分)(2014 大纲全国,文 18)abc 的内角 a,b,c 的对边分别为 a,b,c,已知 3acos c=2ccos a,tan a=13,求 b. 分析:先由已知及正弦定理,将边的关系转化为角的关系, 再由同角三角函数基本关系化弦为切,求出 tan c. 根据三角形内角和定理及两角和的正切公式求出 tan b,即可求角 b. 解:由题设和正弦定理得 3sin acos c=2sin ccos a. 故 3tan acos c=2sin c, 因为 tan a=13,所以 cos c=2sin c,tan c=12. 所以 tan

13、 b=tan180 -(a+c) =-tan(a+c) =tan+tantantan-1 =-1, 即 b=135 . 19.(本小题满分 12 分)(2014 大纲全国,文 19)如图,三棱柱 abc-a1b1c1中,点 a1在平面 abc 内的射影 d 在 ac上,acb=90 ,bc=1,ac=cc1=2. (1)证明:ac1a1b; (2)设直线 aa1与平面 bcc1b1的距离为3,求二面角 a1-ab-c 的大小. 分析:解法一:(1)由已知可证平面 aa1c1c平面 abc,再由面面垂直证线面垂直,利用三垂线定理即得线线垂直. (2)为利用已知,先寻找并证明 aa1与平面 bcc

14、1b1的距离为 a1e.再由三垂线定理,确定二面角 a1-ab-c 的平面角为a1fd.最后通过解直角三角形求出a1fd 的正切值, 即可得出二面角的大小. 解法二:建立空间直角坐标系,利用向量知识求解. (1)设出 a1点坐标,确定点及向量坐标,利用数量积为 0,证明线线垂直. (2)设法向量,由已知垂直关系,确定坐标.利用向量夹角公式求二面角大小. 解法一:(1)证明:因为 a1d平面 abc,a1d平面 aa1c1c, 故平面 aa1c1c平面 abc. 又 bcac,所以 bc平面 aa1c1c. 连结 a1c.因为侧面 aa1c1c 为菱形,故 ac1a1c. 由三垂线定理得 ac1

15、a1b. (2)bc平面 aa1c1c,bc平面 bcc1b1, 故平面 aa1c1c平面 bcc1b1. 作 a1ecc1,e为垂足,则 a1e平面 bcc1b1. 6 / 8 又直线 aa1平面 bcc1b1, 因而 a1e为直线 aa1与平面 bcc1b1的距离,a1e=3. 因为 a1c 为acc1的平分线,故 a1d=a1e=3. 作 dfab,f为垂足,连结 a1f. 由三垂线定理得 a1fab, 故a1fd 为二面角 a1-ab-c 的平面角. 由 ad=12-12=1 得 d 为 ac 中点, df=12=55,tana1fd=1d= 15. 所以二面角 a1-ab-c 的大小

16、为 arctan 15. 解法二:以 c 为坐标原点,射线 ca为 x 轴的正半轴,以 cb的长为单位长, 建立如图所示的空间直角坐标系 c-xyz. 由题设知 a1d 与 z 轴平行,z 轴在平面 aa1c1c 内. (1)证明:设 a1(a,0,c),由题设有 a2,a(2,0,0),b(0,1,0), 则 =(-2,1,0), =(-2,0,0),1 =(a-2,0,c), 1 = + 1 =(a-4,0,c),1 =(a,-1,c). 由|1 |=2 得(-2)2+ 2=2, 即 a2-4a+c2=0. 于是1 1 =a2-4a+c2=0,所以 ac1a1b. (2)设平面 bcc1b

17、1的法向量 m=(x,y,z),则 m ,m1 , 即 m =0,m1 =0. 因 =(0,1,0),1 = 1 =(a-2,0,c), 故 y=0,且(a-2)x+cz=0. 令 x=c,则 z=2-a,m=(c,0,2-a),点 a到平面 bcc1b1的距离为 | |cos|=|ca |=22+(2-a)2=c. 又依题设,a到平面 bcc1b1的距离为3,所以 c=3. 代入解得 a=3(舍去)或 a=1. 于是1 =(-1,0,3). 设平面 aba1的法向量 n=(p,q,r), 则 n1 ,n , 即 n1 =0, n =0, -p+3r=0,且-2p+q=0. 令 p=3,则 q

18、=23,r=1,n=(3,23,1). 又 p=(0,0,1)为平面 abc 的法向量, 故 cos=|=14. 所以二面角 a1-ab-c 的大小为 arccos14. 7 / 8 20.(本小题满分 12 分)(2014 大纲全国,文 20)设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立. (1)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率; (2)实验室计划购买 k 台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于 k”的概率小于0.1,求 k 的最小值. 分析:(1)先用字母表示各事件,再由互斥与独立

19、事件的概率可求. (2)由(1)分析 k 的可能取值情况,比较即得结果. 解:记 ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有 i 人需使用设备,i=0,1,2, b表示事件:甲需使用设备, c 表示事件:丁需使用设备, d 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用设备, e表示事件:同一工作日 4 人需使用设备, f表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于 k. (1)d=a1bc+a2b+a2c, p(b)=0.6,p(c)=0.4,p(ai)=c20.52,i=0,1,2, 所以 p(d)=p(a1bc+a2b+a2c) =p(a1bc)+p(a2b)+p(a2c) =p(a1)p(b)p(c)+

20、p(a2)p(b)+p(a2)p()p(c) =0.31. (2)由(1)知,若 k=2,则 p(f)=0.310.1. 又 e=bca2, p(e)=p(bca2) =p(b)p(c)p(a2) =0.06. 若 k=3,则 p(f)=0.060 或 a0 进行讨论. 解:(1)f(x)=3ax2+6x+3,f(x)=0 的判别式 =36(1-a). 若 a1,则 f(x)0,且 f(x)=0 当且仅当 a=1,x=-1. 故此时 f(x)在 r 上是增函数. 由于 a0,故当 a1 时,f(x)=0 有两个根: x1=-1+1-,x2=-1-1-. 若 0a0, 故 f(x)分别在(-,x

21、2),(x1,+)是增函数; 当 x(x2,x1)时 f(x)0,故 f(x)在(x2,x1)是减函数; 若 a0,则当 x(-,x1)或(x2,+)时 f(x)0,故 f(x)在(x1,x2)是增函数. (2)当 a0,x0 时,f(x)=3ax2+6x+30,故当 a0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数. 当 a0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当 f(1)0 且 f(2)0,解得-54a0)的焦点为 f,直线 y=4 与 y 轴的交点为 p,与 c 的交点为 q,且|qf|=54|pq|. (1)求 c 的方程; (2)过 f的直线 l 与 c 相交于 a,b两点,若 ab的垂直平分线 l与 c 相交于 m,n 两点,且 a,m,b,n 四点在同一圆上,求 l 的方程. 分析:(1)设出 q 点坐标,利用|qf|=54|pq|列出关于 p 的方程,借助于 p 的几何意义及抛物线的性质确定 p. (2)通过题设分析判断直线 l 与 x 轴不垂直.因直线 l 过 f(1,0),可设 l 的方程为 x=my+1(m0). 直线 l 方程与抛物线方程联立,利用韦达定理得到 y1+y2,y1y2关于 m 的表达式,借助弦长公式得|ab|=2+ 1|y1