材料力学——6弯曲变形

1、61 概述概述62 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分63 求梁的挠度与转角的共轭梁法求梁的挠度与转角的共轭梁法64 按叠加原理求梁的按叠加原理求梁的挠度与转角挠度与转角65 梁的刚度校核梁的刚度校核 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 66 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能67 简单超静定简单超静定梁的求解方法梁的求解方法68 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能6 6 概概 述述研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。研究目的：对梁作刚度校核； 解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。 与 f 同向为正，反之为负。2

2、.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用 表示，顺时针转动为正，反之为负。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为：其方程为： v =f (x)三、转角与挠曲线的关系：三、转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量一、度量梁变形的两个基本位移量 (1) ddtgfxf小变形小变形PxvC C1f 6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分zzEIxM)(1一、挠曲线近似微分方程一、挠曲线近似微分方程zzEIxMxf)()( 式（2）就是挠曲线近似微分方程。EIxMxf)()( （2

3、）)( )1 ()(1232xffxf 小变形小变形fxM00)( xffxM00)( xf)()(xMxfEI 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：二、求挠曲线方程（弹性曲线）二、求挠曲线方程（弹性曲线）)()(xMxfEI 1d)()(CxxMxfEI21d)d)()(CxCxxxMxEIf 1.微分方程的积分2.位移边界条件PABCPD讨论： 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。 优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。支点位移条

4、件：连续条件：光滑条件：0Af0Bf0Df0DCCffCC右左或写成CC右左或写成CCff例例1 1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程)()(LxPxM写出微分方程的积分并积分应用位移边界条件求积分常数)()(xLPxMfEI 12)(21CxLPfEI213)(61CxCxLPEIf061)0(23CPLEIf021)0()0(12CPLfEIEI322161 ; 21PLCPLC解：PLxf写出弹性曲线方程并画出曲线3233)(6)(LxLxLEIPxfEIPLLff3)(3maxEIPLL2)(2max最大挠度及最大转角xfPL解：建立坐标系并写

5、出弯矩方程)( 0)0( )()(LxaaxaxPxM写出微分方程的积分并积分112)(21DCxaPfEI21213)(61DxDCxCxaPEIf )( 0)0( )(LxaaxxaPfEIxfPLa应用位移边界条件求积分常数061)0(23CPaEIf021)0(12CPaEI32221161 ; 21PaDCPaDC)()(afaf)()(aa11DC 2121DaDCaCPLaxf写出弹性曲线方程并画出曲线)(a 36)0( 3)(6)(32323Lx axaEIPax axaxaEIPxfaLEIPaLff36)(2maxEIPaa2)(2max最大挠度及最大转角PLaxf6-3

6、求梁的挠度与转角的共轭梁法求梁的挠度与转角的共轭梁法)()(:梁的挠曲线微分方程xMxfEI 一、方法的用途：求一、方法的用途：求梁上指定点的挠度与转角。梁上指定点的挠度与转角。二、方法的理论基础：相似比拟。二、方法的理论基础：相似比拟。)()(:为梁的外载与内力的关系xqxM 上二式形式相同，用类比法，将微分方程从形式上转化为外载与内力的关系方程。从而把求挠度与转角的问题转化为求弯矩与剪力的问题。三、共轭梁（实梁与虚梁的关系）：三、共轭梁（实梁与虚梁的关系）：x轴指向及坐标原点完全相同。几何形状完全相同。实梁对应方程：)()(xMxfEI )()(xqxM )()( xMxfEI 虚梁“力”

7、微分方程的积分00d)()()(QxxqxMxQx0000d)d)()(MxQxxxqxMxx 载荷。依此建立虚梁上的分布令：)()( xMxq)()(xqxM 虚梁对应方程：)()( xMxEIf下脚标带“0”的量均为坐标原点的量。实梁“位移”微分方程的积分)()(xMxfEI 00)()(EIdxxMxfEIEIx0000d)d)()(EIfxEIxxxMxEIfxx )()( xQxEI依实梁的“位移”边界条件建立虚梁的“力”边界条件。AAAAQEIMEIf ; 中间铰中间铰支座支座A 虚虚虚虚 梁梁梁梁 实实实实 梁梁梁梁 共共 轭轭 梁梁支 承 和 端 部 情 况支 承 和 端 部

8、情 况 位移边界位移边界相应的支承和端部情况相应的支承和端部情况 力边界力边界0Af0A0Af0A右左AA右左AAff右左AAMM右左AAQQ固定端固定端AA0 AM0 AQ0 AM0 AQ0 AM0 AQ0Af0A0右左AA0Af0右左AAQQ0 AM固定端固定端AA自由端自由端AA自由端自由端AA铰支端铰支端AA铰支端铰支端AA中间铰中间铰支座支座A中间铰中间铰A中间铰中间铰A总结：等截面实梁与虚梁的关系如下：总结：等截面实梁与虚梁的关系如下： x 轴指向及坐标原点完全相同。 几何形状完全相同。依实梁的“位移”边界条件，建立虚梁的“力”边界条件。AAAAQEIMEIf ; EIQEIMfx

9、xxx ; 依虚梁的“内力”，求实梁的“位移”。a ：固定端 自由端b ：铰支座 铰支座c ：中间铰支座 中间铰链载荷。依此建立虚梁上的分布令：)()( xMxq解： 建立坐标和虚梁例例2 2 求下列等截面直梁B点的位移（挠度和转角）。求虚梁B点的剪力和弯矩，以求实梁B点的转角和挠度求实梁的弯矩方程 以确定虚梁荷载2)(2q)( xLxM2)(2q)( )( xLxMxqqLABfx220qLq )(xqABL求虚梁B点的剪力和弯矩，以求实梁B点的转角和挠度30LqQEIBB8434qLLAMEIfqBBEIqLB63EIqLfB84面积)的(点左侧xqBQB220qLq )(xqABL面积对

10、)的(点左侧xqBBMB点之矩 解： 建立坐标和虚梁求虚梁B点的剪力和弯矩求实梁的弯矩方程以确定虚梁荷载) )( M(xxq2 ; 2qaRqaRDAqqa2qaABCDqa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8+aaafxD求虚梁B点的剪力和弯矩 72133qaRA3237252217213qaaqaqaBQC点左右位移怎样？点左右位移怎样？42372732217213qaaaqaaqaBMEIqaB7253EIqafB7274qa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8+ABCaaaDqa2/23qa2/8将截面的变化折算到弯矩之中去。几何形状：长度不变，惯性矩变为I0 。实梁对应方

11、程：虚梁对应方程：)()(0 xMxfEI )()(xqxM 四、变截面直梁的共轭梁法：四、变截面直梁的共轭梁法：000)()()()(EIxMIIxEIxMxf )()(0 xMxfEI )()()(0 xIIxMxM其它与等截面直梁完全相同。载荷。依此建立虚梁上的分布令：)()( xMxq例例3 3 求下列变截面直梁C点的位移，已知：IDE =2IEB =2IAD 。解： 建立坐标和虚梁) )( (xMxqADADADxMxIIxMxM)()()()(02)()()(DEDEADDEDExMIIxMxMaaP0.5aABCDExfxM2Pa4Pa4Pa4PaM)(xq4Pa4Pa4Paaa

12、P0.5aABCDExfxM2Pa4Pa4Pa4PaM)(xq4Pa4Pa4Pa求虚梁C点的剪力和弯矩 3252PaRA0CQ332362821428PaaaPaaaPa0CADCEIPaf32333224213252aaPaaPaCM6-4 6-4 按叠加原理求梁的按叠加原理求梁的挠度与转角挠度与转角一、载荷叠加：一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。)()()()(221121nnnPPPPPP )()()()(221121nnnPfPfPfPPPf 二、结构形式叠加（逐段刚化法）：二、结构形式叠加（逐段刚化法）：例例4 4 按叠

13、加原理求A点转角和C点 挠度。解、载荷分解如图由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。EIPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33qqPP=+AAABBB CaaEIPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33qqPP=+AAABBB Caa叠加qAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqafC624534例例5 按叠加原理求C点挠度。解：载荷无限分解如图由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。叠加EIbLbPfdPC48)43()d(32bLbqxxqPd2d)(d0bEIbLqbd24)43(322dPCqCffEIqL

14、bEILbLqbL240d24)43(45.00322q00.5L0.5LxdxbxfC例例6 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。=+PL1L2ABCBCPL2f1f2等价等价xfxf21ffffPL1L2ABC刚化刚化AC段段PL1L2ABC刚化刚化BC段段PL1L2ABCMxf6-5 6-5 梁的刚度校核梁的刚度校核)100012501( :对土建工程( maxLfLfLf max一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件其中称为许用转角；f/L称为许用挠跨比。通常依此条件进行如下三种刚度计算：、校核刚度：、设计截面尺寸；、设计载荷。LfLfmax max(但：对于土建工程，强度常处于主要地位，

15、刚度常处于从属地位。特殊构件例外）PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例例7 下图为一空心圆杆，内外径分别为：d=40mm、D=80mm，杆的E=210GPa，工程规定C点的f/L=0.00001,B点的=0.001弧度,试核此杆的刚度。=+=P1=1kNABDCP2BCDAP2=2kNBCDAP2BCaP2BCDAMP2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3EIaLPafBC162111EILPB16211EILaPEIMLB3323EILaPafBC32233解：结构变换，查表求简单 载荷变形。02BEIaPfC3322PL=400mmP2=2kNACa

16、=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfP2BCa=+图图1 1图图2 2图图3 3PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNBP1=1kNABDCP2BCDAMxfEILaPEIaPEIaLPfC3316223221EILaPEILPB316221叠加求复杂载荷下的变形48124444m10188 10)4080(6414. 3 )(64dDIm1019. 533166223221EILaPEIaPEIaLPfC)(10423. 0)320016400(18802104 . 03164221弧度EILaPEILPB 001.0104

17、23.04maxLfLfmaxm10m1019.556maxff校核刚度dxxQQ+dQMM+dM一、弯曲应变能的计算：一、弯曲应变能的计算：66 梁内的弯曲应变能梁内的弯曲应变能EIxM)(1d)(21ddxMWUxEIxMUd2)(d2LxEIxMUd2)( 2xdd 应变能等于外力功。不计剪切应变能并略去ddMdM(x)P1MxfP2dxd 例例8 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。CPfW21解：外力功等于应变能LxEIxMUd2)( 2)0( ; 2)(axxPxM在应用对称性，得：EIaPxxPEIUa12d)2(2123202EIPafUWC63思考：分布荷载时，可否用此法求

18、C点位移？Paaqxf二、二、 梁的冲击问题梁的冲击问题1.1.假设：假设：冲击物为钢体； 不计被冲击物的重力势能和动能； 冲击物不反弹； 不计声、光、热等能量损耗（能 量守恒）。0)(21冲击前2111dfhmgmvUVT mgLhABCABCxffd222222)(21)(21)(212100冲击后djdjjdddffmgffPfkfPUVT冲击前、后，能量守恒，所以：ABCxffd22)(2)(21djdffmgfhmgmvjdjjfKffhgvf)2)(11 (2djjddfhgvffK2)2(11:动荷系数jfhdK211:)1(自由落体2:)2(dK突然荷载hBACmgE=P三、动

19、响应计算：三、动响应计算：解：求C点静挠度2211;2PACjRCCAAf例例9 结构如图，AB=DE=L，A、C 分别为 AB 和 DE 的中点，求梁在重物 mg 的冲击下，C 面的动应力。ABDEAEIPLEILR964833EIPL19253C1A1 DEIEIEIDEABLC2动荷系数36411 211PLEIhfhdKCj求C面的动应力zzCdCjdCdWPLPLEIhWMKK4)6411(3maxmaxhBACmgE=PC1A1DEIEIEIDEABLC26-7 简单超静定简单超静定梁的求解方法梁的求解方法1、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。解：建立

20、静定基 确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构静定基。=EIq0LABLq0MABAq0LRBABxf几何方程变形协调方程0BBRBqBfff+q0LRBAB=RBABq0AB物理方程变形与力的关系补充方程EILRfEIqLfBBRBqB3;83403834EILREIqLB83qLRB求解其它问题（反力、应力、 变形等）几何方程 变形协调方程：解：建立静定基BCBRBqBLfffB=例例10 结构如图，求B点反力。LBCEAxfq0LRBABCq0LRBABEI=RBAB+q0AB=LBCEAxfq0LRBABCRBAB+q0AB物理方程变形与力的关系补充方程求解其它问题（反力、应力

21、、 变形等）EILRfEIqLfBBRBqB3; 834EALREILREIqLBCBB3834)3(834EILALIqLRBCBEALRLBCBBC6-8 6-8 如何提高梁的承载能力如何提高梁的承载能力强度：正应力：剪应力： maxzWM zzbIQS* zEIXMf)( 刚度：稳定性：都与内力和截面性质有关。一、选择梁的合理截面一、选择梁的合理截面矩形木梁的合理高宽比矩形木梁的合理高宽比北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为刚度最大。时强度

22、最大时, 3 ;, 2bhbhRbh一般的合理截面AQ3433. 1mmax 3231DWz13221.18 6)(6zzWRbhWmmax5 . 1)2/( ;,41221 DRaaD时当1 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面zDzaa 1.0512 132zzIbhImmax2143375. 2 )0.8-(132zzWDW1222167. 1,4)8 . 0(4 DDDDD时当1121212,24 DaaD时当1312467. 1 646zzWabhWmmax5 . 1zD0.8Da12a1z 59. 4)8 . 01 (64 1443zzIDI 2.0912812z14134Iabh Iz 55.9 15zzII)(= 3 . 2mmaxfAQ工字形截面与框形截面类似。1557. 4zzWW1222222105. 1,6 . 18 . 024 DaaaD时当0.8a2a21.6a22a2z2 2、根据材料特性选择截面形状、根据材料特性选择截面形状 Gz如铸铁类材料，常用T字形类的截面，如下图：二、采用变截