频域性能指标和时域性能指标的关系

1、5.7频域性能指标和时域性能指标的关系频率响应法是通过系统的开环频率特性和闭环频率特性的一些特征量间接地表征系统 的瞬(暂)态响应的性能，因而这些特征量又被称为频域性能指标。常用的频域性能指标有幅值裕度、相位裕度、谐振峰值、谐振频率和频带宽度等。虽然这些指标没有时域性能指标 那样直观，但在二阶系统中，它们与时域性能指标有着确定的对应关系，对于高阶系统， 也有近似的关系。5.7.1频域指标和二阶系统的过渡过程指标设二阶单位反馈系统的方框图如图5-80所示。Yss(s n)图5-80二阶单位反馈系统的方框图此系统的闭环传递函数为Y(s) _X(s)s2+2m(ons+国2其中为阻尼比，-n为无阻尼

2、自然振荡频率。 令S =代入上式，可得系统的闭环频率响应为：3=十(1X(j ')“ )j2 nn式中:=-ar ct?o1 _ =根据式(5-67)可知，当0冬乞0.707时,=二 J -2 21-2在谐振频率- r处，M出现峰值二阶系统的闭环频率特性如图5-81所示。M(dB)2M P1.5M (0) 1 M (0.707) 0.5L右k一<0.707'、事_ ©=0.707带宽 尸.0.5r 11.5图5-81图5-80所示系统的闭环频率特性1对于二阶系统，在0时，频率特性的谐振峰值 Mr可以反映系统的阻尼系数(2，而其谐振频率 > 可以反映给定 对

3、应的自然频率-n ,从而也能反映响应速度。这样就 可把二阶系统闭环频率特性的Mr和当作性能指标用。系统的频带宽度(带宽)由图5-81可见，当；:；：；r时，闭环频率特性的幅值 M单调下降。当闭环频率特性的幅值下降到M =仁-0.707时，或者说，当闭环频率特性的分贝值下降到零频率时分 贝值以下3分贝时，对应的频率称为截止频率，又称带宽频率。此时有20lg M (jco) c20lg M(j0) 3 皎 >©b对于 20lg M (j0) = 0 ,有20lg M (jco) c -3b系统对频率高于' b的输入衰减很大，只允许频率低于' b的输入通过。闭环频率特

4、性的分贝值不低于-3分贝时，对应的频率范围0 _ _ - b称为系统的带宽。带宽是一个重要的频域性能指标。带宽反映了系统在一定频带范围内比较满意地复现 输入信号的能力。带宽大，表明系统能通过较高频的输入；带宽小，表明系统只能通过较低频的输入。因此，带宽大的系统，一方面重现输入信号的能力强；另一方面，抑制输入端高频噪声的能力弱。为了使系统准确地跟踪任意的输入，带宽大好；而从抑制噪声考虑，带宽又不能太大。因此，对带宽要求是有矛盾的，设计中应根据具体情况折衷考虑。103对于一阶系统和二阶，带宽和系统参数具有解析关系。 设一阶系统的闭环传递函数为因为(j0) = 1，根据带宽的定义120lg (j b

5、) =20lg2 2汀肌+1根据式(5-141)可求得带宽频率1在第三章中，我们研究一阶系统的暂态响应时，有这样的结论ts =3T，上升时间tr =2.2T。因此ts3T3tr= 2.2T 二2.2(5-141):取5%的误差带时,(5-142)(5-143)从式(5-142)和(5-143)可以看出，系统的带宽频率和上升时间tr成反比，也和调节时间ts成反比。设二阶欠阻尼系统的闭环传递函数为则系统的幅频特性为(s)二()=匸n因为(j0) =1，根据带宽的定义,20lg ©(冋=20lg)J平2/X+2宀S丿-1叫丿12220" 12所以有因而有叽=%(1-2©

6、2)"(1-2纤)2+11/2由式(5-144)可知，二阶系统的带宽频率 b和无阻尼自然振荡频率2设 A=(b/n)，则有dA-4 2、2 n成正比。(5-144)d (”八小)2加。(0 ： : 1)(5-145)由(5-145)可知，A为阻尼比的减函数，即带宽频率和阻尼比成反比。根据第三章中 二阶系统的上升时间tr和调节时间ts和无阻尼自然振荡频率 n、阻尼比的关系式(3-42)、 式(3-52)及式(3-53)可知，？系统的带宽频率 .b和上升时间tr和过渡过程时间ts成反比。这一结论也适用于高阶系统。？ ？ ？在第三章中曾指出，在 0_1时系统的阻尼振荡频率为d = n 1

7、_阶跃响应的最大超调量 Mp为M p 1-Mr、M p和的关系曲线如图5-82所示。由图可见，当愈小时，Mr、M p的值愈 大。在0：: 0.707的情况下，Mr和M p的值是逐一对应的。而当-0.707时，谐振峰值Mr不在存在。Mr,Mp 54.53.52.51.50.50.2Mr0.40.60.7070.8图5-82二阶系统Mr、M p和.的关系曲线谐振频率r和阻尼振荡频率''d之间存在一定的关系:1-2 2：1_ 2其关系如图5-83所示。？图5-83二阶系统谐振频率和阻尼振荡频率d的关系曲线下面研究二阶系统的相位裕度和阻尼比2图5-80所示的二阶系统的开环频率特性为G(

8、J 0 :J(J® +2©n)在幅值穿越频率=co c处，G(jccic) =1,即卩21'c .'C'C 4 2 )n/2、222 /、24 小(c)+4- 灼 n(灼 c)n=0所以有二阶系统的相位裕度为二 -90° - arctan() 1800 二 arcta2 n蛍 c1=arcta n 2- ()2、卅4+1-2纤 二阶欠阻尼系统的和在间的关系曲线如图 5-84所示。(°图5-84典型二阶系统的-曲线由图5-81可知，相位裕度为阻尼比的增函数。在 <0.7的范围内，它们的关系可近似地表示为(5-146)30070

9、°，此时，对应匕肚0.01丫通常，为使控制系统具有良好的动态性能，一般希望相位裕度为 阶系统的阻尼比为 0.3岂< 0.7 。系统的时域响应和频率响应之间存在一定的数学关系，用复立叶积分式表示为1 咼y(t)Y(j )eJ 匕，5.7.2高阶系统2 二对于高阶系统，进行上述的变换十分困难。实际上经常应用一些近似估计方法。高阶系统的典型闭环幅频特性如图5-85所示。实际中常用以下的频域指标表征系统性台匕 冃匕。图5-85高阶系统的典型闭环幅频特性曲线1谐振峰值Mr闭环幅频特性 M()的最大值Mr称为谐振峰值。它反映了系统的相 对稳定性。一般而言，Mr的值愈大，则系统阶跃响应的最大

10、超调量也愈大，因而系统的稳 定程度较差。通常希望系统的谐振峰值在1.1至1.4之间，相当于0.4 ： 0.7 。2谐振频率 r谐振峰值出现时的频率称为谐振频率，它在一定程度上反映了系统暂态响应的速度。 r值愈大，则暂态响应愈快。3截止频率(带宽频率) b当系统闭环幅频特性的幅值M)降到零频率幅值的0.707(或零频率分贝值以下 3dB)时，对应的频率- b称为截止频率。0至 b的频率范围称为 系统的带宽。它反映了系统对噪声的滤波特性，同时也反映了系统的响应速度。带宽愈大， 暂态响应速度愈快。4剪切率 在剪切频率-c附近开环对数幅频特性的斜率称为剪切率，它即能反映系统 的相位裕度，又能表征系统从

11、噪声中辨别信号的能力。而这两方面的要求是互相矛盾的。 当希望系统有较大相位裕度时，要求对数幅频特性的剪切率比较平缓，然而这对于抑制系 统的噪声却不利。这时，就需要根据具体情况折衷考虑。上述几个频域指标是评价系统性能时比较常用的。当高阶系统具有一对共轭复数的主导闭环极点时，可以近似地化为二阶系统来分析。 这时可以应用前面对于二阶系统所得到的基本结论。5.7.3 Bode图形状对系统性能指标的影响系统开环Bode图可以表征系统的性能。工程上，通常将系统的开环对数幅频特性曲线 划分为三个频段。下面讨论单位反馈系统开环对数幅频特性曲线在三个频段上对闭环系统 性能指标的影响。1低频段低频段一般指开环对数

12、幅频渐近线在第一个交接频率以前的频率区段。低频段的开环频率特性可表示为K G( )V(5-147)j)式(5-146)表明，低频段的开环对数幅频特性曲线的形状完全由开环增益K和系统的型号：决定。因此，开环对数幅频特性曲线低频段的形状表征了闭环系统的稳态性能。如果低频段曲线较陡且位置较高，说明系统的型号：和开环增益K都较大，则系统的稳态误差ess较小;如果低频段曲线较平直且位置较低，说明系统的型号：和开环增益 K都较小，则系统的稳态误差 ess较大。2中频段中频段是指开环对数幅频渐近线在0dB线附近的频率区段，即剪切频率-c附近的频率区段。中频段集中地反映了控制系统的动态性能。为了使系统具有良好

13、的相对稳定性，使相 位裕度 在300到700之间，一般要求最小相位系统的开环对数频率特性在-c附近的斜率为-20dB/dec,且该段的区域较宽。如果在 ，c附近的斜率为- 40dB/dec，则对应的系统 可能不稳定，或者系统即使能稳定，但因为相位裕度较小，系统的稳定性也较差。如果在 附近的斜率为-60dB/dec，则对应的系统总是不稳定的。下面通过例子给予说明。设最小相位系统的开环对数幅频特性如图5-86所示。图5-86最小相位系统的开环对数幅频特性设；I部分的斜率为-20d B/ d ec门 "3部分的斜率为-40dB/dec ,且设c / ；：； 2 - ' 3 / &#

14、39; C - 3，贝U(1)当 匕 ”： ： 3,斜率为-20dB/dec； m. 2，斜率为-40dB/dec,则对应的系统开环频率特性为系统在-.c处的相角为 co1 c1 c c =arctan90 -arctanarctan(5-148)o2®1®3式(5-148)中1虽然未确定，但角度 arctan(c/)的变化范围是72°到90°之间，则:c = 720 -900 -(720 900) -180 = -1080 -1260所以相位裕度 在720540之间。当 匕3，斜率为-20dB/dec；-wq,斜率为-60dB/dec,应的系统开环频率

15、特性为G(j )=r特"/XG)j灼1 +j<叫丿<叫丿(5-149)系统在-'c处的相角为(5-150)' i'- c = 2arctanc -900 -2arctan-arctanc'2'1'3同样可确定(-c)的的变化范围为 -1080-1440。所以相位裕度 在720360之间。(3)当-,斜率为-40dB/dec; -< ,斜率为-60dB/dec。对应系统的开环频率特性为K 1+ j I ©2 JG(j )二2(5-151)j« 1 + j l切1丿 系统在-.c处的相角为'c0

16、,_| cc' i-. c = 2 arctan-90 - 2 arctanarctan(5-152)o2«1o3同样可确定.c)的的变化范围为 1620-1980。 所以相位裕度 在18°-180之间。上述的计算结果表明系统的开环对数幅频特性如果在c处中频段的斜率为 -20dB/dec,系统就有可能稳定并具有足够大的相位裕度。这个条件只是必要而不是充分的。在设计控制系统时，开环对数幅频特性在-c处中频段的斜率和系统的相对稳定性的这一关系通常是很有用的。3高频段高频段是指中频段之后 (10c)的频率区段。开环对数幅频渐近线在高频段的形状表示了系统的复杂性和滤波性。高

17、频段曲线应尽 量低些、陡些，这样可以使系统的输出幅值在高频段尽快衰减，以消除高频噪声的影响。值得指出的是，这三个频段的划分并没有严格的确定准则。但是，利用三个频段的概 念，为直接利用开环对数频率特性来分析闭环系统的性能提供了方便。小 结1频率特性是线性系统在正弦输入信号作用下的稳态输出与输入之比。与传递函数一 样，频率特性只取决于系统本身的结构与参数，而与输入无关。它表达了系统本身的固有 特性。所以，频率特性是频率域里描述系统运动规律的又一种数学模型。2通常可用分析法或实验法获得系统的频率特性。分析法就是根据描述系统的微分方程求出系统的传递函数 G(s)，用j 取代s即得到系统的频率特性。实验

18、法则是根据系统在 频率由0：变化的正弦信号作用下，稳态输出与正弦输入的幅值比和相位差绘出系统的 Bode曲线，即可求出系统的频率特性。3在工程分析和设计中，通常把频率特性画成一些曲线，根据频率特性曲线可以对系 统进行直观、简便的分析研究。常用的几何表示法有三种：幅相频率特性曲线，对数频率 特性曲线和对数幅相特性曲线。和其它两种方法相比，采用对数频率特性曲线，环节串联 组成的系统可分别由各环节对数幅、相频特性的叠加而得。因而，掌握典型环节的对数频率特性曲线具有重要意义。4用奈奎斯特稳定判据可以根据系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性。奈奎 斯特稳定判据是根据开环频率特性曲线包围(-1,j0)

19、点的周数和开环传递函数在右半s平面的极点数来判别对应闭环系统的稳定性。该判据能从图形上直观地研究参数的变化对系统性 能的影响，并提示改善系统性能的信息。5考虑到系统内部参数和外界环境的变化对系统稳定性的影响，要求系统不仅能稳定 地工作，而且还需有足够的稳定裕量。稳定裕量通常用幅值裕度和相位裕度来表示。6等M圆图和等N圆图将开环幅相频率特性曲线和闭环频率特性有机地联系在一起。 当闭环频率特性曲线难于直接画出时，可利用等M圆图和等N圆图根据开环幅相频率特性曲线分别画出闭环幅频特性曲线和闭环相频特性曲线。7对于同一系统，无论在时域或频率研究，都应有相同的动态性能。因此，二阶欠阻 尼系统在时域中的动态

20、性能指标，可以在频域中找出与之相对应的一些特征量，这就是系 统的频域性能指标。思考题5-1什么是控制系统的频率特性？5-2控制系统的频率特性都有哪些表示方法？5-3对数频率特性有哪些优点？5-4试画出各典型环节的波德图。5-5如何根据给定的系统的开环传递函数，画出其波德图？5-6什么叫最小相位系统？最小相位系统有什么显著的特点？5-7如何根据给定最小相位系统的波德图，求出系统的开环传递函数？5-8简述系统的开环频率特性与闭环频率特性之间的关系。5-9简述奈氏稳定性判据。5-10当系统在原点有开环节点时，如何应用奈氏判据？5-11简述波德图上的奈氏判据？5-12什么是系统的稳定裕度？如何用稳定裕

21、度来描述系统的稳定性？5-13系统的稳定裕度除了用于描述系统的稳定性之外，是如何用于描述系统的动态性能的？5-14频率特性的两个基本性质是什么？5-15从开环对数频率特性上如何获得系统的稳态性能？5-16从开环对数频率特性上如何获得系统的动态性能？5-17试用频率特性来解释比例环节对于系统性能的影响。5-18试用频率特性来解释积分环节对于系统性能的影响。5-19试用频率特性来解释纯微分环节对于系统性能的影响。5-20试用频率特性来解释一阶惯性环节对系统的作用。5-21试用频率特性来解释比例微分环节对系统的作用5-22试用频率特性来说明比例积分环节对系统的作用。5-23在开环系统的波德图上，高频

22、衰减率的不同对于时域的阶跃响应有什么影响？5-1单位反馈系统开环传递函数为试求下列输入信号作用于系统时，闭环系统的稳态输出。(1) r(t)二 sin(t(2) r(t)二 2cos(2t -) r(t) = sin(t)JI2cos(2tv5-2已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试绘制其开环对数频率特性。(1)G(s)1s(s 1)G(s)1(s 1)(2s 1)G(s)1s(s 1)(2s 1)G(s)1s1 2 3(s 1)(2s 1)5-3设控制系统的开环传递函数为G(s)s(0.6s+1)(0.1s+1)试绘制系统的伯德图，并确定系统的幅值裕量和相位裕量。5-4已知单位反馈系统的开环传递函数为G(s)二K(0.2s 1)(0.02s 1)2s (0.001s 1)(0.005s 1)试绘制系统的伯德图，并确定闭环系统稳定时的K值范围。5-5设单位反馈控制系统的开环传递函数为G(S)=Ke_0.1ss(0.1s 1)(s - 1)(1) 系统的幅值裕量为(2) 系统的相位裕量为(3) 系统的谐振峰值为(4) 系统的带宽频率为试根据伯德图确定:20分贝时的K值；40°时的K值；1分贝时的K值以及相应的谐振频率和带宽频率;1弧度/秒时的K值。5-6设单位反馈系统的开环传递函数G(s)二Ks(s