长沙理工大学大一高数期末考试题精

1、一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)设 f ( x) = cos x( x + |sin x ),则在x = 0处有()(A) f (0) = 2( B) f (0) = 1 (C) f (0) = 0( D) f(x)不可导.设"(x)= X， P(x)=3_3jx，则当 xt 1时(2.1 x1.(A) - (x)与(X)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B) (x)与-(X)是等价无穷小;(C) -J(X)是比 (x)高阶的无穷小；(D) ' ( x)是比(X)高阶的无穷小.X3.若 F (0 (2tX) f (t )dt,其中f(x)在区间上(-&q

2、uot;)二阶可导且f (x)0，则()(A)函数F(x)必在(B)函数F(x)必在(C)函数F(x)在x(D)函数F(x)在xxx=0处取得极大值；=0处取得极小值；=0处没有极值，但点(0, F(0)为曲线y =F(x)的拐点； =0处没有极值，点(°, F(0)也不是曲线y = F(x)的拐点。1f ( x)二 x 2 0 f (t)dt ,贝y f ( x)=(4 设f (X)是连续函数，且2X 2(C) X -1(D) X 2.每小题4分，共16分)2X(A)2二、填空题(本大题有(B)24小题,25.lim (13 x)sin xx0精选资料，欢迎下载6.已知cosxx是

3、f(x)的一个原函数，则f(x)cosxdx二X7.2n - 1lim (cos2 cos2cos2 -n ： n nnn12 2x arcsin x 1 d2dx 二丄苹1 一 x28.三、解答题(本大题有 5小题， 设函数 y = y(x) 由方程 求 1 _ X 7 dx.x(1 + x ) xe：9.10.11.设f(x)二- y212.2 :每小题8分，共40分)ex y sin(xy) N 确定，求2X - X ，1g(x)= f f (xt)dt 设函数 f(x)连续，0并讨论 g(x) 在X = 0处的连续性.y (x)以及 y (0).f(x)dx且呵罗=A*,A为常数.求

4、g(x)13.求微分方程xy2y 二 xln x满足y(i)= -9的解.四、解答题(本大题io分)14. 已知上半平面内一曲线y = y(x)(x 0)，过点(o,1)，且曲线上任一点M(Xo,y°)处切线斜率数值上等于此曲线与 X轴、y轴、直线X二xo所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲 线方程.五、解答题(本大题10分)15. 过坐标原点作曲线y = |n x的切线，该切线与曲线y |n x及x轴围成平面图形d.(1) 求D的面积A； (2)求D绕直线X = e旋转一周所得旋转体的体积 V六、证明题(本大题有 2小题，每小题4分，共8分)16. 设函数f(x)在0，&quo

5、t;上连续且单调递减，证明对任意的q °，1，q1f (x) dx - q f (x) dx00.JIJI-Jf(x)dx=0 Jf(x) cos x dx = 017. 设函数f(x)在二上连续，且0,0.证明：在°二内至少存在两个不同的点1，2，使f ( iH f ( 2)= 0 (提示：设xF (x)二 f (x)dx° )、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题(本大题有 4小题，每小题4分，共Vcosx 2e6t() +c5.e. 6.2 x.7.三、解答题(本大题有 5小题，每小题8分，共 解：方程两

6、边求导ex y(1 y ) cos(xy)(xy y) = 0ex y ycos(xy)y(x) Le + xcos(xy)x = 0 y = 0， y (0) = T 解：u = x7 7x6dx = du 原式J7 ' u(1 +u)1 (In | u | -2ln |u 1|) c12ln I x71 -yln |1 x71 C1 f(x)dx 二 0 xedx1 2x -x2dx-33016 分)兀2 . 8.40分)JI39.10.皿1 (丄27 uu 1)dU11.解:二:xd(_e-x)； 1 _(x_1)2dx= -xe*-e*3 亠 | cos vdv(令x-1=si

7、nv)兀32e31412.解：由 f(°), 知1g(x)二 f (xt)dt0g(0M °。x(f(u)duxt 二u0(X")xxf(x) - f (u)du g(x)4xxf(u)dug(0) Pmrxim0xxf(x)- f(u)du A lim g (x)二 lim0二 Ax 0x )0x2(x=0)13.四、14.x2f(x) A2x _ 2dy 2 y = In x 解: dx x_fdxy 二 e x ( e x In xdx C)2dx1 I12xln x x Cx31 y(1)“：,C9解答题(本大题1 ,=0 y xlnx ，31°

8、分)x解：由已知且八20ydx'y，将此方程关于X求导得y = 2y y 特征方程：r2 - r - 2=0 解出特征根:C-x2x1e C2eC代入初始条件y(°) = y (°) =1，得 1 e2x3_ 2 =y _故所求曲线方程为：3五、解答题（本大题10分）15.解：（1）根据题意，先设切点为A2，g （x）在X = 0处连续。A =T, 2=2.(x°,ln x°)23,C2，切线方程:1y -ln X。二(xX。X。）由于切线过原点，解岀X。= e，从而切线方程为:1(ey-ey)dye_1则平面图形面积0 2（2）三角形绕直线x

9、= e一周所得圆锥体体积记为V,1 2=二 e3曲线y =lnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V21V2 =(e - ey)2dy0兀2V -V2 = (5e2 - 12e + 3)D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积6六、证明题(本大题有 2小题，每小题4分，共12分)q1qq1f (x) d x - q f (x)dx f (x) d x - q( f (x) d x 亠 if (x)dx)16. 证明：0000qq1=(1 -q) f(x)dx-q f(x)dx0q1 0, q 2 q,1f ( 1)_f ( 2)=q(1-q)f(J)-q(

10、1-q)f(J)z 0故有：q1f (x) d x q f (x) dx00证毕。17.xF(x)二 f(t)dt , 0 岂 x 乞二证：构造辅助函数：0。其满足在°，二】上连续，在(0,二)上可导。F (x)二 f(x)，且 F(0) =F()=0JTtTtTT0= f(x)cosxdx 二 cosxdF (x)二 F (x)cosx|sinx F (x)dx由题设，有 0000，KF (x)sin xdx =0有0，由积分中值定理，存在(0,二)，使F( )sin = 0即F ( )=0综上可知F(0)= F( )=F(二)=0, (0,二).在区间0,，二上分别应用罗尔定理，

11、知存在洽(0上)和© 2(4)，使 F 牡=0 及 F 徉 2)= 0，即 f(©)= f(J) = 0.高等数学I解答-、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选岀一个正确答案，填在题末的括号中）（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1.当乂-* X。时，"（X ）, B（X ）都是无穷小，则当XT X。时（d）不一定是无穷小(A)(B):J x 厂2 x:2(x)(C)2.极限In 1 匕(x)： (x) 11fsin x 汇limx ia sin a 的值是(D)(A) 1(B) e(C)cot ae(D)tan ae3.f (x)才(A)4.设(A)(C)

12、2axsin x e -1(B) 0X =o在X =0处连续，则a = ( D(C) ef (x)在点3f (a)f (a)limx = a处可导，那么h刃(D)-1f (a h) - f (a - 2h)h(B) 2f (a)11 f (a)(D)3二、填空题(本大题有 4小题，每小题4分，共16 分)ln(x a) -ln alim(a 0)极限x-ox的值是5.6.xyylnx =cos2x确定函数y(x)，则导函数y7.直线8.9.1yexyxxexyIn x二6都平行，则直线2sin2xl 过点 M (1,2,3)且与两平面 x 2y - z 二 0,2x - 3y 5zx -1_

13、y _2 _ z _3- -1 .2求函数y =2x ln(4x)的单调递增区间为解答题(本大题有 4小题，每小题8分，共1(1 x)x -elim计算极限x 0-11(1 x)'-e lim解: x 10Pm01ln(1 x) 4 ex -110.已知：|叶3,小卜26解:a b 5 "ah13的方程(二，0)和(1,32分)ln(1 x) -x =elim 2x Qj2，a b =30，求 1 a b 1。sinco齐弋+：:X a,b，试求出F "(x)。F(x)= J(xt)f(t)dt 11.设f (x)在a, b上连续，且axxF(x)=x f (t)d

14、t - tf (t)dt解：aaxxF (x)二 f (t)dt xf (x)xf (x) = f (t)dtaaF (x)= f(x)cosxx3dx.12.求 sin xcosx12x3 x 二一一 xd sin x解:sin x21 . _2xsi n2x sin ' xdx21 . _2xsi n2x cot x C2四、解答题（本大题有 4小题，每小题8 分,2共 32 分)dx2 x x2 -113.求 3令丄x)dt一dt二 arcsin t1 -123212JI一 6的极值与拐点.2x14. 求函数解：函数的定义域（一:,+ ：）4x(3 x2)(1 x2)32 2(1

15、 x ) 令 y"=° 得 x 1 = 1, x 2 = -1 y0 x 1 = 1是极大值点，y (T)，°x 2 = -1是极小值点极大值 y(1) =1 ，极小值 y(T) = t令 y =0 得 x 3 = 0, x 4 = 3 , x 5 = -3x(-吟*3)(-也,0)(0, ;3)(駅,+ °0)FF y+J3U3故拐点（-后，-2 ），（0，0）（虫，2 ）3Xy = 215. 求由曲线4与y=3xx所围成的平面图形的面积.3解:=3x -x2, x3 -12x+4x2 = 0,4x(x+6)(x-2) = 0,Xj =-6,x2 =

16、0,x3=2.0 x3-22 x3S= f (一3x+x )dx+f (3xx )dxJ_6 4o4X432 X3032 X3X42(_x +)6+(x_) 01623上2316011= 45+2 =47 33216. 设抛物线y=4-x上有两点A设 x>1 d(x2 arctanx1)=(,3)，B(3,-5)，在弧a b上，求一点P(x, y)使AABP 的面积最大.解:AB 连线方程：y+2x-1=0AB =45H r砧口匚*|2x+y_1 -x2 +2x + 3点P到AB的距离i_ =厂(1兰x兰3)V5< 5MBP的面积1 一 _x2 + 2X + 3S(x) = 4 7

17、5=2(_x2 +2x+3)2 <5STx)=Yx+4 当 x = 1S，(x)=0S“(x) = Y <0当x = 1时S( x)取得极大值也是最大值此时y =3所求点为(1，3)另解：由于 ABC的底AB定，故只要高最大而过C点的抛物线的切线与AB平行时,高可达到最大值，问题转为求C(x0, 4-xf),使f "(Xo)=-2xo=5-33+ =-2,解得 X。=1,所求 C点为(1,3)六、证明题(本大题 4分)2x17.设xaO，试证 e (1 x) +x.证明：设 f (X) =e2x(1 -X)-(1x), x 0f (x) = e2x (1 -2x) -1

18、f "(x) =-4xe2xx o, f (xo ，因此 f (x)在(0， +:)内递减。在( 0，+：)内， f (x) ： f (0H0, f (x)在 (0，+：)内递减, 2x在(0, +：)内，f(X)"： f(0),即 e (1 -X)-(1 X):： 02 x亦即当 x>o 时，e ( x) < 1 x 。高等数学I A一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选岀一个正确答案，填在题末的括号中) (本大题有4小题，每小题4分，共16分)18. 函数In (x+1)x 1n：f (x) = Han x,0 兰x <12x +sin x, x

19、<0(A)(-二，+：)(B) (-: ,1)(C)(-二,0)(0,+：)(D) (-: ,0)(1,+ ：)(0,1) (1,+ :)x1 设 Jf(x)dx=sinx+c,则f(n)(x)dx=( +1lim ( ax-b) =0佃.设 厂x 1，则常数a, b的值所组成的数组（a, b）为（的全体连续点的集合是（）)(A)(1, 0)( B)(0，1)(C)(1，1)(D(1, -1 )20.设在0，1 上 f（x）二阶可导且f（X） 0，则（)(A)f (0b： f ：f(1) - f(0)(B)f (0) ： f (1)-f(0)： f (1)(C)f (1) ： f (0)

20、 ： f(1) f(0)(Df(1) 一 f(0):f (1厂：f (0)兀24M -sin xcos1 x23121. 2则（）A M < N < PC P < M < N填空题（本大题有 4小题,-dx,(B) P < N < M(D) N < M < P每小题4分，共16分)n2N = (sinx _4 _ y _ z5 x cos3.直线方程2 -m n 6 p， 与 xoy 平面，yoz 平面都平行, x)dxJI2JI2P 二(x2sin3 x-cos4 x)dx_24.1.2.3.那么m,n ,p的值各为2lim E -re 吏X；

21、 "：y n解答题（本大题有lim计算x 501_.2 isin x（3小题，每小题8分,丄x2)共24分)1门cos, x 0xx上0试讨论y = f （x）在（：，:）连续，在x2f（x）二八设X设函数岀f（x）的可导性，并在可导处求出f（X）f （x）的图形如图所示，给x-q时二阶可导，且其导函数f（x）的极大值点、极小值点以及曲线、二f（x）的拐点解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）1.求不定积分x 2 2 dx)7eIn x dxi2.计算定积分eL:x y z -113.已知直线:123平面方程。I2z -34,求过直线11且平行于直线丨2的81jix轴一周的体

22、积为5，确定抛物线方程f （2） = 0，试证明存在、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.x( 1 dy = 2 一 x -14 arctan、x -1 )dx24.过原点的抛物线y = ax及y=0,x = 1所围成的平面图形绕中的a,并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积。五、综合题（本大题有 2小题，每小题4分，共8分）21.设F（x （x _1） f（x），其中f（x）在区间1,2上二阶可导且有 （1：2）使得 F）=0。xf(x) = (t-t2)si n2ntdt (x_0)2. 0(1) 求f(x)的最大值点； 证明：f(x(2n2)(2n3)、单项选择题 B D

23、B Cn兀6.7.f(n)(x)dx -cos(x y)dsin(x29.解:(8分)计算极限xm0(12sin x10.-4)x2 . 2x sin x2:2x sin xx -sin x x +sin x 二 limx_03x1 -cosx = 2lim 2 - x 0 3xx_ 31cos-,xx2(8分)设x a0, f "(x)解：当x°,试讨论f(x)的可导性,11=2x cos sinxx；当 x ： 0, f (x) 口x =0Ax2 cos丄-0 f+'(0)=禺 +严=0f_'(0) =f (x )= “112x cos sin x 0x

24、xx 0故f (x)在x=0处不可导。ii. (8分)设函数y =f(x)在连续，在x = 0时二阶可导, 给出f(x)的极大值点、极小值点以及曲线y并在可导处求出f(X).1x- 0“1-.x且其导函数f(X)的图形如图二f (x)的拐点.解：极大值点：X = a X = d 极小值点：x = b拐点(0, f (0),( c, f(c)四 解答题(本大题有4小题，每小题9分，共36分)12. (9分)求不定积分dx解：原式x -14ln xx_3lneL ln x dx13. (9分)计算定积分ex T +c解：原式=eIn xdx11 -|n X dx ,exInx -xlxIn x -

25、x14.解:li(9分)已知直线 平面方=_y-2口匕1y23 ，2z -34,求过直线|!且平行于直线|2的ny S2 =(1,2,3) (2,5, 4) =(-7,2,1)取直线|i上一点M(0,0,1)于是所求平面方程为-7x 2y (z -1)=015.(9分)过原点的抛物线y =ax(a 0)及y=o, x=1所围成的平面图形绕 x轴一周的体积为81兀5.求a，并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积151V =j兀(a x(X)在区间1,2上二阶可导且有f(2)=°.证明：存)2dx =兀 a2 x兀a2解：050 一 52一兀a81兀由已知得55 故aC2=9抛物线为：y

26、=9x2绕y轴一周所成的旋转体体积： 五综合题(每小题4分，共8 分)x 9x2dx 二 184xjr 4216. (4 分)设 F(x)十-1) f(x)，其中在(1：2)使得 F ( H0 o证明：由f(x)在1 , 2上二阶可导，故F( x)在1 , 2二阶可导，因 f (2)=0,故 F (1)= F (2) = 0在1，2上用罗尔定理，至少有一点Xo,(1 ： X。：:： 2)使F (怡)F (x2(x-1)f(x) (x-1)2f (x)得 F(1)=0在1，X。上对F (x)用罗尔定理，至少有点(1 :：:： X。： 2) F ( ) = °17. (4 分).解: (

27、1) X =1为f(x)的最大值点。f "(x) =(xx2)si n2nx ， 当 0<x<1 ， f "(x) =(x_x2)si n2nx0 ； 当 X1f (x) =(x -X2)sin 2nx乞0。f(1)为极大值，也为最大值。x 2 2n(2)1(2n2)(2 n 3)f (x) (t -t )sin tdt f(1)f(1) = .；(tt2)sin2ntdt 乞.0(t_t2)t2ndt高等数学上B (07)解答填空题：(共24分，每小题4 分)dy2 = 2 21 y = sinsin( x )川 dx 2xcossin(x )cos x be

28、 a2dx =二2. 已知'-°°VHx, a=_i。ek In x3. ee。x4. y = e过原点的切线方程为y =ex。f( ) xJ上如dx5. 已知 f (x) = e，则.x =x c。3 96. a -2 , b = 232时，点(1,3)是曲线y =ax bx的拐点。二、计算下列各题：(共36分，每小题6分)cosx1. 求y =(sin x)的导数。cosxInsin xcosxlnsin x z解：y =(e) e(-sinxln sinx cot x cosx)sin ln xdx2. 求。解.Js in In xdx=xsi n In x

29、- cos In xdx二 xsin ln x -x cosln x'sin ln xdx(xsinln x -xcosln x) C2x 5 J 2dx3.求 .x T 。x 5 1 d(x2 -1) 5,dxdxdx解:x2 -12、X2 -1、x2 -1F：；x2 -1 5ln |x . x2 -1 I Ce ,x 一 0f（X）二kx T,x ： 0在点x二0处可导，则k为何值?4设f_(0)likxk 4mlim x解：X- Xx 0 xe -1,e 1f(°)=1k -15.求极限解：)n2 22'n2n2n 苇12+乔产十川苇衬=1 n(x.1 x 2代

30、入上式)|； = l n(1、.2)X 2y _z 1 = 0 2x_ y z = 06求过点(2, 2,0)且与两直线x - y z -1 = 0和x - y z = 0平行的平面方程。解：两 直 线 的 方 向 向 量 分 别 为q =(1,2,1)“1,1,1) = (1,2,3), S2=(2, 1,1)"1,1,1) = (0,1,1)，平面的法向量 n =(1, -2厂 3)(0, 1,1) -( 1。1平面方程为x - y z = 0。三、解答下列各题：(共28分，每小题7分)x = Rcostd2y1设.y =Rsintdx2。精选资料，欢迎下载3cott解：dxd2

31、ydx2 珂®" -Rsint1Rsi n31x2求 F(x) = (t(t-1)dt在_1,2解：F (x) =x(x -1) =0,x =0,x =11 1F(0) =0,F(1)°t(t-1)dt 6,丿 5 2 2F(-1)° t(t -1)d-,F(2) = ,0t(t-1)d- 6325最大值为3，最小值为 6。2 23设 y =y(x)由方程 x(1 y )Tn(x2y)=0确定，求 y'(0)。2 2解：方程x(1 y ) Tn(x 2y) =0两边同时对x求导2(1 y ) 2xyy2x 2yx2 2y2 24求由y二x与y x

32、围成的图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积解:14v = 0 二(y _y )dy3=JI10四、证明题：(共12分，每小题6分)1 证明过双曲线xy =1任何一点之切线与 OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。证明：双曲线xy二1上任何一点(x, y)的切线方程为1Yy_2(X -x)x1y(0, y+),(2x,0)切线与x轴、y轴的交点为x1 ox oysuxCyW2故切线与OX，OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为x使得2.设函数f(X)与g(x)在闭区间a,b上连续，证明：至少存在一点b匕f( ). g(x)dx =g( ) a f(x)dxbx证明：令F(a) =F(b) =

33、0 , 由 RoHe 定理，存在一点a，b , 使 F ( ) =0 , 即f()為(x)dx = g( ) a f(x)dx一、 单项选择题(每小题 4分,1 f (x) =xcosxe4sinx| (_00(A)奇函数；高等数学上解答(07)共16分)=x cos xe(B)周期函数；(C)有界函数;2.当Xr 0时,3(A) x ；(D)单调函数2f (x) = (1 - cos x)ln(1 2x )与_B_是同阶无穷小量。452(B) x ；(C) x ;(D) xx -2y z = 03. 直线 x y-2z=°(A)直线在平面内；(行；科彳4. 设有三非零向量a，b，c

34、。若a b = °,(A) 0 ；( B) -1 ；( C二、 填空题(每小题4分，共16分)与平面x y 1(C的位置关系是 C 。 垂直；(D相交但不垂直。a c = 0，则 b c=_A1;(D 31曲线y =ln x上一点P的切线经过原点(0,0)，点P的坐标为(e，1)。tan xx 1lim 2=2. 八0 x (e -1)3。3. 方程ey6xy - x2-1 =0确定隐函数y二y(x)，则y (0)=。_ 24. 曲线y X 、 x =1与x轴所围图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为5。三、解下列各题(每小题 6分，共30分)精选资料，欢迎下载1.已知f(x)二何_(

35、t -sin2 x)t，求 f (x)。解：f(x)tt -sin2 Xf_sin2 x二 elim (t：”： tesin2x1In(In x) +2.求不定积分'1 jIn(In x) +dx= In(In x)dx + f解：.In x1二 x In (I n x)dx'In x二 x In (In x) C1 2/si nx2(- 7X )dx1 +xf (x)二dx In xdx In x5.3. 计算定积分1 2/ sin xJ X (厂口+J1 - X )dx 解：1 x二(x2 1x2)dx 0x zgint二 2 2sin21cos2tdt0JI_ 81 si

36、n x , dx4. 求不定积分1 cosx 。1 sin x解： 1 cos x二 1 sec xdx -1 cosxx=tanIn |1 - cosx | C2已知 f (In x)二x,且 f(1) = e 1 , 解：令 In x =t, f (t) =e f(x) =ex Cf (1)=e+1 f (x) =ex +1dx In x=：(x2 .1 x2)dx ：x< 1dxdx'1 +cosxd cosx sin x dx1 cosx求 f(x)。(8 分)设 f (x)对任意 x 有 f (x 12f(x)，且 f (0) 解：由 f(x 1)=2f(x)f(1)

37、= 2f(0)四、12。求 f (1)。X= lim2f(t)-2f(0)t Q t=2f (0) = -12 2五、(8分)证明：当 X 1 时，(X -1)|n X (X -1) o证明：只需证明(X 1)ln Xx-1 o令 f (x) = (x 1)ln x -x 1” 1f (x) = ln x 0x ，f (1) =0，当 x 1 时，(8分)x 2 2已知 F(x) = .0 (x2 -t2)f dt为等价无穷小量。求 f (0) olim 兽=1解：x )0 xx 22F(x)二 0(x2 -t2)f (t)dtX-六、七、f(x)在1,:2f(x) 0。即(x)单调递增。2-

38、1)ln x (x -1)。,f ”（x）连续，且当Xr 0 时，F (x)与 x22 xx 2=x2 f (t)dt- t2f (t)dt 0-0F (x) =2x 0 f "(t)dt + x2 f Ir(x) -x2f "(x) = 2x)0 f "(t)dtx2xof(t)dt=2f(O).F (x).Iim2limX0 X2x_0” 1f (0)2(8分) 设有曲线y =4x2 (0 积为A,它们与直线x 并求出A的最小值。A f 民 - 解：0 2A (c)C -1令 A (c)二、.c T = 0 ,得 c =1 o “1A (1)021x2- x

39、-1）和直线y = c （0 : c ： 4）。记它们与y轴所围图形的面 =1所围图形的面积为A2 o问c为何值时，可使A = & A2最小?4 jy dy c(1-亍)dy,c =1为最小值点。4、. y)dy =12min Ady (1 -0 2 J1八、设f(x)在(a, b)内的点x0处取得最大值，且| f (x) K (a乞X乞b)。 证明：f(a)|+f(b)戶 K(ba) 证明：f(x0)=0在a,Xo对f (x)应用拉格朗日定理f(X。)- f (a) f ( 1)(x。- a) (a ： 1 ： x。)f (a)二 f ( i)(a-x。)，|f (a)怛 K(x&#

40、176;_a)在xo,b对f (x)应用拉格朗日定理f (b) f (X。) = f ( 2)(b X。) (X。 ： 2 ： b)f (b)二 f ( 2)(bx。)，|f (b)匡 K(bx。)一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选岀一个正确答案，填在题末的括号中) (本大题分5小题，每小题2分，共10分)1、x 彳设I 二e1dx,则I 二' ex +1xx(A) ln(e -1) +c (B) ln(e +1)+c;(C) 2ln(ex 1) -x c;(D) x -21 n(ex 1) g答()2、12n dlim ien ene e 二n_j :(A)1(B) . e

41、(C)e (D)e2答()3、f(x)的n阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项Rn(x)1 -x(A)(n 1)(1 _ 亦)n 1(B)(n 1)(1 - vx)n 11 xn 1(1-2(D)(1-帜)2xn14、设f (x)在x二0勺某邻域内连续，且f (0) = 0, lim 1 f COSx = 2 ,则点x二0(A) 是f (x)的极大值点(B)是f(x)的极小值点(C)不是f(x)的驻点(D)是f (x)的驻点但不是极值点答()5、曲线y =x2 -2x 4上点M0(0,4)处的切线M 0T与曲线y2 =2(x-1)所围成的平面图形的面积A =(A)21449(B)G (C)7(D)

42、1312二、填空题(将正确答案填在横线上)(本大题分5小题，每小题3分，共15分)设 y=ln+tan(x+)，贝V y" =1、x用切线法求方程x _2x2 _5x=0在(-1,)内的近似根时,选X。并相应求得下 一个近似值 X1 ©贝y xo, X1分别为 0x -i _ y i _ z -13、 设空间两直线12与x 1=：y-1=：z相交于一点，则，二 _。.丄 2axsin x+e 1 当 。f(x)=x' 厂，在x = 0处连续，贝V a =.4、la，当 x = 0b xdx =，其中b是实数.5、Jo I 三、解答下列各题(本大题4分)设平面二与两个

43、向量a = 31 j和b = 1 j - 4k平行，证明：向量c = 2i - 6j - k与平面二垂直。四、解答下列各题(本大题8分)讨论积分f竺的敛散性.0 xp五、解答下列各题(本大题11分)导出计算积分In - dx的递推公式，其中n为自然数。'xnJx2+1六、解答下列各题(本大题4分)x+2y_z_5=0h，求过F0(4,23)与平面兀x+y+z10 = 0平行且与直线二10 = 0垂直的直线方程。七、解答下列各题(本大题6分)计算极限 lim 1 xsinxcos2xxtxta nx八、解答下列各题(本大题7分)ee门试求I n = ； (ln x)ndx的递推公式(n为

44、自然数)，并计算积分彳(ln x) dx.九、解答下列各题(本大题8分)设f (x)在(a,b)内可微,但无界，试证明f r(x)在(a,b)内无界。十、解答下列各题(本大题5分)设 lim 申(x) = u0, lim f (u) = f (u0),证明：lim f (x)】=f (u0)Xrx°u :U0x 旳。十一、解答下列各题(本大题4分)在半径为R的球内,求体积最大的内接圆柱体的高十二、解答下列各题(本大题5分)12 R 4cos,cos -重量为p的重物用绳索挂在 A,B两个钉子上，如图。设135，求A, B所受的拉力f1，f25、精选资料，欢迎下载5分10分3、4、4-

45、1b2,b -0P十三、解答下列各题（本大题6分）一质点,沿抛物线y =x（10 - X）运动,其横坐标随着时间t的变化规律为x =r.t （t的单位是秒,X的单位是米）, 求该质点的纵坐标在点M（8, 6）处的变化速率.十四、解答下列各题 （本大题7分）设曲线x二.y ,x二2二y2及y二0,围成一平面图形.（1）求这个平面图形的面积 （2）求此平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积.、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选岀一个正确答案，填在题末的括号中）（本大题分5小题，每小题2分，共10分）1、C2、答：B3、C10 分4、（E）5、C二、填空题（将正确答案填在横线上） （本大题分5小题，

46、每小题3分，共15分）1 2 1 （12）sec（x ）XX12（1 tan （x）1、x10 分2、x0 =0X10 , bi10分i2三、解答下列各题（本大题4分）4分8分10分平面法向量n 2cn与c平行从而平面与c垂直四、解答下列各题（本大题8分）ijk310=4,12,2114精选资料，欢迎下载1 dx0卩1F当p =1时,7分10分1 dxp当p :1时收敛，当p亠1时发散. 0 xp五、解答下列各题（本大题11分）解:法一Inj n 1Xx21n 41X1 d x x21(n 1).亠dx(n 1).21 X dxn 22X . X 1 X21(n 1).-xn2、x21dx (n 1).dxXn . X21xn4(n 1)1n2(n 1)In故In2(n 1)xn 1nrnInI1二 In1 x2I n_2 1 In( n_2)n1(n -1)xnJ 法二令x = tant2dx = sec tdtsec tdttann t sect畀dttan td sect1 x23sectsec tE (n 7