函数的导数与微分的应用实用教案

1、当很小时(xiosh),得近似(jn s)等式:(1)(2)(3)一、近似计算与误差(wch)估计（一）近似计算第1页/共39页第一页，共40页。的近似值 .解解: 设例例. 求求第2页/共39页第二页，共40页。很小)x(证明证明(zhngmng):令代入(4)式得常用近似常用近似(jn s)(jn s)公式公式: :特别(tbi)当很小时,在(3)式(4)（类似可得）第3页/共39页第三页，共40页。的近似值 .解解:31001例例. 计计算算(j sun)第4页/共39页第四页，共40页。（二）（二） 误差误差(wch)(wch)估计估计某量的精确(jngqu)值为 x ,其近似值为 x

2、o ,称为(chn wi)xo的绝对误差称为xo 的相对误差相对误差若称为测量 x 的绝对误差限绝对误差限称为测量 x 的相对误差限相对误差限第5页/共39页第五页，共40页。误差传递公式误差传递公式(gngsh) :已知测量误差限为按公式(gngsh)计算(j sun) y 值时的误差故 y 的绝对误差限约为相对误差限约为若直接测量某量得 x0 ,第6页/共39页第六页，共40页。二、洛必达法则二、洛必达法则(fz)(fz)函数(hnsh)之商的极限导数(do sh)之商的极限 转化00( 或 型)研究思路研究思路:洛必达法则未定式(未定型或不定型):第7页/共39页第七页，共40页。(1)

3、 型型存在 (或为 )定理定理(dngl) 2.(洛必达法则洛必达法则(fz) 则设f (x), g (x)满足(mnz)：第8页/共39页第八页，共40页。注注1. 定理(dngl) 1 中换为下列(xili)过程之一:注注 3. 若)()(limxgxf条件(tiojin), 则洛必达法则注注 2. 使用洛必达法则时，验证3个条件；第9页/共39页第九页，共40页。例例. 求求解解:原式型00洛洛第10页/共39页第十页，共40页。例例. 求求解解:原式型00注意: 不是(b shi)未定式不能用洛必达法则 ! lim1x洛洛266lim1xxx洛洛第11页/共39页第十一页，共40页。例

4、例. 求求解解: 原式 型00洛洛第12页/共39页第十二页，共40页。(2)型型)()(lim)3xgxfax存在(cnzi) (或为)定理定理(dngl) 2.(洛必达法则(fz)0)( xg且则设f (x), g (x)满足：第13页/共39页第十三页，共40页。例例. .求求解解:原式=洛洛洛洛例例. .求解：解：型洛洛第14页/共39页第十四页，共40页。(3)(3)其他其他(qt)(qt)未定未定式式: :解决解决(jiju)方法方法:通分转化000取倒数(do sh)转化0010取对数转化例例. 求解解: 原式0第15页/共39页第十五页，共40页。解解: 原式例例. 求求通分转

5、化000取倒数(do sh)转化0010取对数(du sh)转化洛洛00第16页/共39页第十六页，共40页。例例10. 求求解解: 1通分转化000取倒数(do sh)转化0010取对数(du sh)转化洛洛第17页/共39页第十七页，共40页。三、三、 函数单调函数单调(dndio)性、凹凸性、性、凹凸性、极值与最值极值与最值若在(a, b)内定理定理(dngl)2.9 设函数设函数 a, b 内单调(dndio)递增(递减) .在a, b 内连续,(1) 单调性单调性xyo)(xfy abABxyo)(xfy abBA在(a, b) 可导,则函数f ( x )在第18页/共39页第十八页

6、，共40页。例例11.确定确定(qudng)函函数数的单调(dndio)区间.解解:令得021故)(xf的单调(dndio)增区间为)(xf的单调减单调减区间为12xOy12第19页/共39页第十九页，共40页。例例12.12.当x0时，试证证证: :设( )fx221ln(1)1xxxx2ln(1)xx21xx故0, +)上f (x)是单调(dndio)增加，第20页/共39页第二十页，共40页。则称 为 的驻点(zh din)。在其中(qzhng)当时,(1) 则称 为 的极大值点极大值点 ,0 x)(xf称 为函数的极大值极大值 ;)(0 xf(2) 则称 为 的极小值点极小值点 ,0

7、x)(xf称 为函数的极小值极小值 。)(0 xf极大值点与极小值点统称(tngchng)为极值点 。（2 2）极值）极值若定义：定义：定义2.82.8第21页/共39页第二十一页，共40页。注意注意(zh y):为极大值点为极小值点不是(b shi)极值点2) 1) 函数的极值(j zh)是函数的局部性质.例如例如 ,为极大值点, 2) 1 (f是极大值 1)2(f是极小值 为极小值点, 函数12xOy12oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6x( (必要条件必要条件) )第22页/共39页第二十二页，共40页。定理定理2.10 (极值极值(j zh)第一判别法第一判别法)且在x0 的

8、某去心邻域(ln y)内可导,(1)“左左正正右负右负”(2) “左负右左负右正正” 时,当而当时, 0)( xf00(,)xxx时,当00(,)xxx而当时, 0)( xf(3) 若在点x0的某去心邻域(ln y)内, xyo0 xxyo0 x 第23页/共39页第二十三页，共40页。求极值求极值(j zh)(j zh)的的步骤步骤: :与不可导点（可疑(ky)极值点）；第24页/共39页第二十四页，共40页。求函数 的极值(j zh).例例13.13.解解:驻点附近 的符号变化的情况: )(xf ( )f x1因此(ync)无极值(j zh)极大值极小值第25页/共39页第二十五页，共40

9、页。定理定理(dngl)2.11 (极值极值第二判别法第二判别法)二阶导数(do sh) , 且则 在点 取极大值 ;)(xf0 x则 在点 取极小值 。)(xf0 x第26页/共39页第二十六页，共40页。例例14. 求函求函数数的极值(j zh) . 解解: 1) 求导数求导数(do sh)2) 求驻点(zh din)令得驻点3) 判别因,06)0( f故 为极小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判别法判别.1xy1O第27页/共39页第二十七页，共40页。(3) 最大值与最小值最大值与最小值则f (x)在最值出现在：驻点、不可导点、区间(q jin)端点。求函数最值

10、的方法求函数最值的方法(fngf):(fngf):1) 求 在 内的驻点和不可导点)(xf),(ba2) 最大值最小值, )(1xf, )(2xf, )(,mxf闭区间(q jin)a, b上必有最大值和最小值。定理：第28页/共39页第二十八页，共40页。例例15.15.解：解： （1）求导（2） 求驻点(zh din)、不可导点：驻点(zh din)为不可(bk)导点为第29页/共39页第二十九页，共40页。（3）计算这些(zhxi)点的函数值，求最大值和最小值：1,第30页/共39页第三十页，共40页。肌肉或皮下注射后, 血中药物(yow)的浓度与时间例例16.16.问 t 为何(wih

11、)值时，血中药物浓度达最大值 。的关系(gun x)是解：解： 令（唯一驻点）0因此当t =t0时，血中药物浓度达最大值 。第31页/共39页第三十一页，共40页。定义定义(dngy)2.9 设设函数函数在区间(q jin) I 上连续 ,若对若对 有则称函数图形在此区间(q jin)上是凹的，如下左图;四、曲线的凹凸性四、曲线的凹凸性12,xxI若对 有则称函数图形在此区间上是凸凸的，如下右图;xyOxyO1x2x第32页/共39页第三十二页，共40页。定理定理(dngl)2.12(凹凸凹凸判定法判定法)(1) 在 I 内则 f (x) 在 I 内图形(txng)是凹的 ;(2) 在 I 内

12、则 f (x) 在 I 内图形(txng)是凸的 。设函数在区间I 上有二阶导数yOx2x1x221xx yOx2x1x221xx 定义定义2.10 函数的凹凸分界点 称为拐点拐点 。yOx拐点证明略（可从斜率的大小变化来理解）第33页/共39页第三十三页，共40页。对应(duyng)例例17. 求曲线求曲线(qxin)的凹凸区间(q jin)及拐点。解解: 1) 求2) 求拐点可疑点坐标令得3) 列表判别)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在及上向上凹,向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及均为拐点。凹凹凸第34页/共39页第三十四页，共40页。本节内容(nir

13、ng)总结一、近似计算与误差(wch)估计二、洛必塔法则(fz)通分转化000取倒数转化0010取对数转化)()()(000 xxxfxfxf第35页/共39页第三十五页，共40页。本节内容(nirng)总结三、函数(hnsh)的单调性、凹凸性、极值、最值极值第一(dy)判别法极值第二判别法求极值的步骤由极值求最值用二阶导的符号来判断凹凸性用一阶导的符号来判断单调性第36页/共39页第三十六页，共40页。本节作业(zuy) 练习题2.4：1，2，3（1），4（1），6 复习题二：8，9第37页/共39页第三十七页，共40页。分析分析(fnx):原式xsinxxcos1221x洛洛备用(biyng)练习第38页/共39页第三十八页，共40页。感谢您的观看(gunkn)！第39页/共39页第三十九页，共40页。NoImage内容(nirng)总结当。第1页/共39页。称为测量(cling) x