初中数学几何证明题模型实用教案

1、 分析：因为(yn wi)角是轴对称图形，角平分线是对称轴，故根据对称性作出辅助线，不难发现CF2CE，再证BDCF即可。2.补成等腰三角形例2 如图2.已知A90，ABAC，12，CEBD，求证(qizhng)：BD2CE第1页/共34页第一页，共35页。3.补成直角三角形 例3.如图3，在梯形ABCD中，ADBC，BC90，F、G分别(fnbi)是AD、BC的中点，若BC18，AD8，求FG的长。分析：从B、C互余，考虑(kol)将它们变为直角三角形的角，故延长BA、CD，要求FG，需求PF、PG。图3第2页/共34页第二页，共35页。4.补成等边三角形例4.图4，ABC是等边三角形，延长

2、(ynchng)BC至D，延长(ynchng)BA至E，使AEBD，连结CE、ED。证明：ECED分析：要证明(zhngmng)ECED，通常要证ECDEDC，但难以实现。这样可采用补形法即延长BD到F，使BFBE，连结EF。第3页/共34页第三页，共35页。5.补成平行四边形 例5.如图5，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点(zhn din)，并且E、F、G、H不在同一条直上，求证：EF和GH互相平分。分析：因为(yn wi)平行四边形的对角线互相平分，故要证结论，需考虑四边形GEHF是平行四边形。第4页/共34页第四页，共35页。6.补成矩形(jxng)例6

3、.如图6，四边形ABCD中，A60，BD90，AB200m，CD100m，求AD、BC的长。分析：矩形具有许多特殊的性质，巧妙地构造(guzo)矩形，可使问题转化为解直角三角形，于是一些四边形中较难的计算题不难获解。图6第5页/共34页第五页，共35页。7.补成菱形(ln xn)例7.如图7，凸五边形ABCDE中，A=B120，EAABBC2，CDDE4，求其面积分析：延长EA，CB交于P，根据题意(t y)易证四边形PCDE为菱形。图7第6页/共34页第六页，共35页。8.补成正方形 例8.如图8，在ABC中，ADBC于D，BAC45，BD3，DC2。求ABC的面积(min j)。图8分析：

4、本题要想从已知条件直接求出此三角形的面积确实(qush)有些困难，如果从题设BAC45，ADBC出发，可以捕捉到利用轴对称性质构造一个正方形的信息，那么问题立即可以获解。第7页/共34页第七页，共35页。9.补成梯形例9如图9，已知：G是ABC中BC边上的中线的中点，L是ABC外的一条(y tio)直线，自A、B、C、G向L作垂线，垂足分别为A1、B1、C1、G1。求证：GG1 1/4(2AA1BB1CC1)。图9分析：本题从已知条件可知，中点多、垂线多特点，联想到构造直角梯形来加以解决比较恰当，故过D作DD1L于D1，则DD1既是梯形BB1C1C的中位线，又是梯形DD1A1A的一条底边(d

5、bin)，因而，可想到运用梯形中位线定理突破，使要证的结论明显地显示出来，从而使问题快速获证。第8页/共34页第八页，共35页。1 1、在ABCABC中，AC=BCAC=BC，D D是ACAC上一点，且AEAE垂直(chuzh)BD(chuzh)BD的延长线于E E，又AE=BDAE=BD，求证：BEBE平分ABCABC。课后作业(zuy)：2 2、如图，已知：在ABCABC内，BAC=60BAC=60，ACB=40ACB=40，P P、Q Q分别在BCBC、CACA上，并且(bngqi)AP(bngqi)AP、BQBQ分别是BACBAC、ABCABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BPB

6、Q+AQ=AB+BP第9页/共34页第九页，共35页。3 3、已知：BAC=90BAC=90，AB=ACAB=AC，AD=DCAD=DC，AEBDAEBD，求证(qizhng)(qizhng)：ADB=CDEADB=CDE4 4、设正三角形ABCABC的边长为2 2，M M是ABAB边上的中点(zhn din)(zhn din)，P P是BCBC边上的任意一点，PA+PMPA+PM的最大值和最小值分别记为S S和，求：S St t的值。第10页/共34页第十页，共35页。5.5.ABCABC中，分别以AB,AC,BCAB,AC,BC为边在同侧作等边三角形ABD,BCF,ACE ABD,BCF,

7、ACE 探究下列(xili)(xili)问题（1 1）当ABCABC满足_条件时，四边形DAEFDAEF是矩形. .（2 2）当ABCABC满足_条件时，四边形DAEFDAEF是菱形. .（3 3）当ABCABC满足_条件时，以D D、A A、E E、F F为顶点的四边形不存在. .如图:三角形ABD,三角形ACE,三角形BCF都是等边三角形，首先我们来证明DAEF为平行四边形角DBF=60度-角FBA=角ABC而DB=AB, BF=BC三角形DBF全等于三角形ABC所以:DF=AC=AE同理可证:DA=FE所以:DAEF为平行四边形(1)如图,如果角DAE=90度,则DAEF为矩形则必须(b

8、x):角BAC=360度-2*60度-90度=150度(而如果,另一种情况,BC为短边,F将落在DAECB的包围之中,角DAE=2*60度+角BAC90度,DAEF不可能为矩形,而BC为短边,角BAC90度)(2)如果:DA=AE,则:DAEF为菱形，则必须(bx):AB=AC(3)如果:角BAC=60度则:角DAE=3*60度=180度D,A,E共线,所以:以D、A、E、F为顶点的四边形不存在据此,(2)的结论应稍加改变为:当AB=AC,且角BAC不等于60度时,四边形DAEF是菱形第11页/共34页第十一页，共35页。6.已知:如图,三角形ABC中,BAC=90度,ADBC于点D,BE平分

9、(pngfn)角ABC交AD于点M,EFBC于F.求证:四边形AEFM是菱形.解答(jid)：CE是角平分线，EACA，EFCF，CE=CE，CAE CFE，EA=EF，AEC=FEC，又ADCB，EFCB，ADEF，AGE=GEF，AEG=AGE，AG=AE，AG=EF，四边形AGFE是平行(pngxng)四边形有一组对边平行(pngxng)且相等的四边形是平行(pngxng)四边形又AG=AE，平行(pngxng)四边形AGFE是菱形一组邻边相等的平行(pngxng)四边形是菱形。即：四边形AEFG是菱形。第12页/共34页第十二页，共35页。7.如图，在正方形ABCD中，O为对角线AC和

10、BD的交点，E为CO上一点(y din)，连接BE，F为OBE角平分线上一点(y din)，连接OF、AF，G为BE上一点(y din)且BO=BG。（1）若FGOF，OF=1,求线段OG的长度；（2）若AFB90，求证：AFBF+OG（1）、BF平分(pngfn)OBEOBF=GBFBO=BG，BF=BFOBF GBFOF=FGFGOFOFG是等腰直角三角形OG=(OF+FG)=2（2）、作OH垂直于OF交AF于HABCD是正方形，BD、AC是对角线OA=OB，AOB=90HOF=90(做的OHOF)AOH=BOF(同为HOB的余角）AFB=AOB=90设AF与OB交于M，OMA=FMB(对

11、顶角）OAH(OAM)=OBF(MBF)在AHO和BOF中OA=OB，AOH=BOF，OAH=OBFAHO BOFAH=BF，OH=OFOF=FG(第一步已经证明）OH=FGOFG=HOF=90(这一步有点问题(wnt)，OFG在第一步是假设的，）OG=FHAF=AH+HF=BF+OG第13页/共34页第十三页，共35页。8.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,点E，F分别是边AB，BC的中点,点P在上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个(zh ge)最小值为多少？拓展：若点在AC上运动，存在(cnzi)PE+PF的最小值，则这个最小值为多少？解：依题意得，当P

12、为EF与BD的交点时，PE+PF最小，为EF的长.点E、F分别(fnbi)为AB、BC的中点，EF是ABC的中位线，EF=0.5AC=3. 即PE+PF的最小值为3.第14页/共34页第十四页，共35页。拓展：用两张等宽的长方形纸条(zh tio)交叉重叠地放在一起,重合的部分为四边形abcd，若长为8，宽为2，求四边形abcd的最大9.将俩张等宽的长方形纸条交叉(jioch)叠放,重叠部分是一个四边形ABCD,若AD6，ABC60，则四边形ABCD的面积是?第15页/共34页第十五页，共35页。10.如图，已知菱形(ln xn)ABCD中，E,F分别是BC,CD上的点，且B=EAF=60，B

13、AE=18，求CEF的度数证明：连接AC菱形(ln xn)ABCD中， B=60AB=BC=CD=DA， AB=AC，FCA=B=60，又EAF=60，CAF=BAE=18BAE全等于CFA，AE=AFFEA=60，AEB=180-18-60=102CEF=180-FEA-AEB=180-60-102=18第16页/共34页第十六页，共35页。11.如图，ABC中，BAC=90，BG平分ABC，GFBC于点F，ADBC于点D，交BG于点E，连结EF。（1）、求证(qizhng)：、AE=AG；四边形AEFG为菱形。（2）、若AD=8，BD=6，求AE的长。证明:(1)AE=AG的关键是证明AG

14、E=AEG；AEG=BED，又ADB=90；AEG+GBD=90；又因为AGE+ABG=90且BG为角ABD的角平分线，因此(ync)可以推断AEG=AGE，所以得出AEG为等腰三角形，所以AE=AG。 (2)线段GF平行于线段AD，所以AEGFGE；AGB=FGB，有前面的条件可知ABG=角FBG，又BG=BG，所以三角形ABG全等于(dngy)三角形GFB，所以AG=AF，从而推出AE=GF，根据菱形的定义：四边形AEFG为平行四边形，又邻边相等，所以四边形为菱形。(3) AD=8,BD=6,AB=BF=8,DE/GF,BD/BF=DE/FG.设AE=x，则ED=8-x,GF=X,即：6/

15、10=(8-x)/x.解得x=8/3.第17页/共34页第十七页，共35页。ABCDEFG（1）解：连接(linji)BD, 点E为CD边的中点,BECD BD=BCDBE=CBE FBE=2EBC DBE=CBE=DBF BF=BG FBD GBC第18页/共34页第十八页，共35页。13.如图，在矩形(jxng)ABCD中。已知AD=12,AB=5，P是AD上任意一点，PEBD，PFAC，E和F分别是垂足，求PE+PF的值.A B D CPF E 提示(tsh)：用三角形的等面积法. SABO=SAPO +SDPOO第19页/共34页第十九页，共35页。2114.已知：如图，在直角三角形A

16、BC中,C=90, AD/BC,CBE= ABE.求证(qizhng)：ED=2AB取ED的中点F 并与A连接因为，C=90，AD/BC，所以EAB=90，AF为直角(zhjio)EAB斜边ED上的中线，AF=DF=1/2ED三角形AED为等腰三角形，D=FADD+FAD=2D=AFB又因为CBE=D（内错角），所以CBE=1/2AFB而已知CBE=1/2ABE，所以AFB=ABE，三角形子BAF为等腰三角形，AB=AF=1/21/2ED所以，ED=2ABADBCEF第20页/共34页第二十页，共35页。15.如图，E是矩形ABCD边CB延长线上一点, CECA，F是AE的中点(zhn din

17、). 求证：BFFD过F点做AD 的平行线 交AB 于 G 点,则 有 FG 垂直于 AB,三角形 AFG 全等于 三角形 BFG （全等条件： F中点 所以(suy) G 也是重点 AG=FG 都有一直角 和 公共边FG 边角边） 所以(suy) 有 AF= BF 角FAB = 角 FBA 又得 角FAD=角FBC（都加一直角）,又 AD=BC 所以(suy) 三角形 FAD 全等于三角形 FBC (边角边) 所以(suy) 有 角 BFC= 角AFD 角AFD + 角DFC = 90 换量 角BFC+ 角DFC = 90 ,所以(suy) BF FD第21页/共34页第二十一页，共35页。

18、第22页/共34页第二十二页，共35页。第23页/共34页第二十三页，共35页。圆的经典(jngdin)例题模型解：连接(linji)OA，设正方形ABCD的边长为X正方形ABCD的边长为XABBCCDXPOM45OCCDXOBBC+CD2XMN10OAMN/25AB+OBOAX+4X25X5X5AB51、如图，已知在圆O中，直径MN=10，正方形ABCD的4个顶点分别(fnbi)在半径OM,OP,及圆O上，且POM=45，问：AB？M第24页/共34页第二十四页，共35页。2、如图，已知A,B,C，为圆O上三点，D,E分别(fnbi)为弧AB,弧AC的中点，连DE,分别(fnbi)交AB,AC于点F,G求证：AF=AG证明：连接(linji)OD、OE，分别与AB、AC交于点M、N，由垂径定理，ODAB，OEAC因为OD=OE，所以ODE=OED在RtMDF与R