哈密顿系统的数学建模与动力学分析

1、百度文库-让每个人平等地提升自我1引言Hamilton动力系统理论有着悠久而丰富的历史，它本身是Lagrange力学的升华与推 广，从数学角度看乂是一门内容精深的相空间几何学，如辛几何、辛拓扑等都源于此.近几 十年来，随着纯数学理论的不断发展与计算机的普遍应用，Hamilton动力系统理论乂成为 当今非线性科学中极其活跃而富有魅力的研究领域.由于这类系统广泛存在于数理科学、生 命科学以及社会科学的各个领域，特别是天体力学、等离子物理、航天科学以及生物工程 中的很多模型都以Hamilton系统的形式出现，因此该领域的研究多年来长盛不衰.本文利 用Hamilton原理推导出了 Hamilton系统

2、的正则方程.最后利用Hamilton正则方程给出一个 具体物理实例的数学模型并对其进行动态模拟仿真.-1 -百度文库-让每个人平等地提升自我2 预备知识2. 1状态空间的基本概念1）状态任何一个系统在特定时刻都有一个特定的状态，系统在。时刻的状态是时刻的一种信息量，它与此后的输入一起惟一地确定系统在年外时的行为.2）状态变量状态变量是一个完全表征系统时间域行为的的最小内部变量组.3）状态向量设系统有个状态变量，用,王（。表示，而且把这些状态变量看做向量x（f）的分量，则向量x（/）称为状态向量，记为4,尸印小七,，/（/）7.4）状态空间以状态变量为,。），七为轴的维实向量空间称为状态空间.5

3、）状态方程描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差 分方程组（离散时间系统）称为系统的状态方程，它表征了输入对内部状态的变换过程， 其一般形式为：其中，是时间变量，（/）是输入变量.6）输出方程描述系统输出量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程， 它表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变换，是一个变化过程.输出方程的一般形式为:y(，) = gx(f)，(/)/_.7)状态空间表达式状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，也称动态方程，它表征一个系统完 整的动态过程，其一般形式为：通常，对于线性定常系统，状态方程为x = Ax

4、 + Bu <y = Cx + Du其中，x = (%,.q，x"表示维状态向量，A = (%) “e/T”表示系统内部状态的系数矩阵, 称为系统矩阵A，8 = (%) , e/T，表示输入对状态作用的矩阵，称为输入(或控制)矩 阵纥，C = (c,)表示输出对状态关系的矩阵，称为输出矩阵Cm”，D = (d, e*叩表示输入直接对输出作用的矩阵，称为直接转移矩阵2.，也称前馈系 J /rxr数矩阵.A由系统内部结构及其参数决定，体现了系统内部的特性，而8则主要体现了系统输 入的施加情况，通常情况下0 = 0 .2.2线性定常连续系统的能控性定义2.1设戈= +若存在一分段连续

5、控制向量(/),能在口。内内，将系统从任意的初态x«o)转移至任意终态)，则系统完全能控.定理2.1系统完全能控的充要条件：rankSc = n其中，Sc = 8,A8-、AZ8,称为能控矩阵.2. 3线性状态反馈控制律线性状态反馈控制律为 =V-心式中，V是参考输入，称为状态反馈增益矩阵,系统动态方程变为：x = Ax + B(V-Kx) = (A-BK)x + BV = Ak+BVy = Cx + D(V Kx) = (C - DK)x + DV = CK + DV式中，Ak=A-BK , Ck=C-DK,当0 = 0时，状态反馈系统闭环传递函数M(s)为式中，A-3V为闭环系统

6、的系统矩阵.以上我们简要介绍了控制系统的有关问题，现在针对单输入定常线性系统，设计其某 种形式的线性定常控制律，使得闭环系统具有指定的希望的一组极点，即极点配置.2.4极点配置考虑下述单输入线性定常系统(2.4. 1)X = Ax+buy = Cx其中A为 x 常阵，和C分别为 xl和lx”常阵.选取线性定常反馈控制律=-依，使 得（2.4.1）在该控制律下的闭环系统具有指定的极点集.问题SPA状态反馈极点配置问题给定矩阵A wR""，b d 及一组共轨封闭复数Sj, i=L 2,，n （不必互异），求取矩阵Ke 使得4（A-bK）= i = l,2," 对问题S

7、PA先考虑其解的存在性有：定义2.2如果对于任何给定的一组共辄封闭复数4，i = 12，*前述问题SPA均有解，则称线性定常系统（2.4.1）可用状态反馈任意配置极点.下述定理给出了线性定常系统（2.4.1）利用状态反馈任意配置极点的条件.定理2. 2定常线性系统（2.4.1）可用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统（2.4.1） 完全能控问题 对单输入系统，给定能控矩阵对A"和一组期望的闭环特征值4,石,4,要 确定lx”的反馈增益矩阵3使成立4（A-8K）= Z，i = 12.对于上述问题，我们有下述算法：算法2.1 单输入系统的极点配置设计 第一步：计算A的特征多项式，即det

8、（5/ - A）= sn+ +。$ +。0第二步：计算由K，石,4所决定的多项式，即as） = （5-2；） （5 -2* ）= 5n +；_/"" + + a； +"；第三步：计算= k> -a；第四步：计算变换阵1 -P = A"-lb Ab 回明7.一小 % L第五步：求。=/尸第六步：所求的增益阵K = M2 .2.5分析力学中相关的知识1）广义坐标能够完全确定质点系位形的独立参变量，用符号名,表示.广义坐标是彼此独立的.其选择有一定的随意性，只需根据质点系的特点，选择那些能 够惟一地确定该系统位形的参变量即可.2）广义速率在质点系中引入广

9、义坐标之后，质点系的运动可以用广义坐标随时间的变化规律来描 述，即广义速率：qa=（。= 12,k）at3）广义坐标变分假设在给定的运动初始条件下，某质点系的运动微分方程组的解已经求得，它的广义 坐标运动方程为/ =%（/）,广义速率久=华于是广义坐标的全微分为(a = 1,2,次)-5-百度文库-让每个人平等地提升自我.V-1于是有6-X，双下面给出对部分变量进行变换的情况8FdFys = 丁，巧=双双对保留变量有dF _ OF定理2.3哈密顿原理从动力学普遍方程出发可推导出哈密顿原理的一般形式，即(3 + 3V) = 0« 0其中叼是系统动能的变分，3V是作用于系统的所有主动力的

10、虚功.当作用在系统上主动力为有势时，3y =-5/.引入哈密顿作用量I = tlLdt其中L为拉格朗日函数，是系统动能与势能之差，即L = 7-V.于是，对完整系统哈密顿原理可以写成常见的变分形式况叫：L山=0.-24 -3哈密顿系统的动力学表述哈密顿正则方程3.1保守系统的情形拉格朗日方程是用一组关于A个广义坐标心的二阶常微分方程组来描述系统的运动. 方程的建立完全依赖于以(%,%")为变量的拉格朗日函数L,即L = ,°2,如哈密顿以广义动量乙取代广义速度。/,以(g“")为变 量，称为哈密顿变量或正则变量.以哈密顿函数代替拉格朗日函数L,用2k个关于广义 坐

11、标和广义动量凡为变量对称整齐的一阶常微分方程组，即称为哈密顿正则方程或正 则方程，以此来描述系统的运动.因本文是针对线性系统而言，故这里只给出单自由度系 统的哈密顿正则方程，下面用哈密顿原理导出单自由度系统的哈密顿正则方程.首先，利用勒让德变换把以(内夕)为变量的拉格朗日函数L变换成以,)为新变量 的哈密顿函数.显然，新变量代替旧变量q参与变换，而同时保留变量q及，.根据对原变量进行部分替换的勒让德变换，可得哈密顿函数H = pq-L因此，拉格朗日函数L = pq-”代入哈密顿原理，即见A ) = 0*010对上式进行变分运算，得的 + qdp -6) 的卜 =。(3.1.1)%dp dq将上

12、式第一项改写成如下形式，即ei = (的)=?(的)一力的；-1di dt代入式(3.L1)，有+广(。-当前-(/>+也)的=。 % opcq(3.1.2)因为系统在始末位置是确定的，则有M，o)= O,的 4) = 0(3.1.3)于是有ctr/ - 6H 、 u - 0H 、 u 1 , r 而涉"+而)的w = °(3.1.4)根据广义动量的定义=包，由部分勒让德变换可得的.QHQ = °P(3.1.5)因此式(3.L2)成为任5+詈网业=°对于完整系统，由于的可以任意取值，因此欲使上式成立，必有dHP = " - 雨(3.1.6

13、)联立式(3.1.5)和式(3.1.6),即关于变量9,PJ)的哈密顿正则方程dH 而 dH雨32非保守系统的情形系统除有势力以外还存在非有势力作用的情形.在哈密顿原理的一般形式("+四 = 0Vi>中，系统的主动力的虚功"V可写成如下形式：(3.2.1)其中，-私和。'的分别表示有势力和非有势力的虚功,将上式代入式(321),得Q）dt =（应 + 0'的）力将心=/均-代入上式，并进行变分运算，得（的 + qSp -6）-的 + Q'两 =0九dp dq利用式(3.L2)和式(3.1.3)有dH一。')训 =0f/irz. 6H一廊

14、一（ +% dp采用与前面同样的作法，即可得到存在非有势力作用时的哈密顿正则方程dH（3.2.2）dH = _=+ Q°q式中Q'为系统的非有势力对应于q的广义力.4利用哈密顿正则方程建立具体物理系统的数学模型一水平弹簧质量振动系统图4.1弹簧质量振动系统4.1水平弹簧质量系统的问题描述假设系统满足条件：1）振动无阻尼.2）系统只能在水平方向即x方向运动.3）外力（/）,以x的同方向为正.要求：1）建立弹簧质量系统的运动微分方程.2）求出反馈增益阵.3）弹簧质量系统仿真模拟.4）作任何有意义的讨论.4. 2水平弹簧质量问题的分析解：令为输入量，），为输出量，取弹簧等于原长，0

15、时.，质量位置。为X坐标轴的原 点，取项=y为广义坐标.如势能零点取在弹簧原长位置，则系统的势能V =因此系统的拉格朗日函数L = T-V = /ha/ - kx2 +“K22求得广义动量因此dLPfl讲算哈密顿函数”，并把它写成广义动量和广义坐标的函数H = pTxx - L = i)xx -( mx - -kx12 + ux.) = -!- + kx.2 -ux.x 1 x 1212 11 2m 2 11求得H后，按式(322)写出系统的正则方程dH由上二式消去凡，得到系统运动微分方程4.3建立弹簧质量系统的数学模型令"2=Px则有*1须=°+ °= x. 一

16、 k 0 x. 1_ 一 L. L. 输出方程为)'=X则弹簧质量系统的状态空间表达式x = Ax+bit«y = Cx其中 4= ° 示 b=。 C = 1 O.k oLU5系统闭环状态反馈控制器设计5.1系统状态反馈控制根据线性系统状态反馈控制律，设状态反馈下受控系统的输入为 = -Kt ( K e心为 反馈增益矩阵，K = h攵2)，将上式代入弹簧质量振动系统的状态空间表达式，得到弹 簧质量状态反馈闭环系统的状态空间表达式x = (A-hK)x,y = Cx其中4一味=°5 .k k k6求解状态反馈增益阵由定理2.1Sc=b Ah= 0 -显然系统

17、完全能控，故满足闭环极点可任意配置条1 0件.取m = 1 ； k = 1给定一组期望的闭环特征值4=-i + j'4=_一/1）现计算系统的特征多项式再由指定闭环极点可得希望的闭环特征多项式为/（s）= fl（s-%）=（s + l-小+ 1 + j） = s2 +25 + 2于是可求得- g "一。=1 2再来计算变换阵并求出其逆从而所要确定的反馈增益阵女即为-1 0k=kQ = 2 0 =1 2.2）调用Matlab函数算出的反馈增益阵见附录17动态系统的simul ink仿真7. 1创建Simu I i nk系统模型首先根据弹簧质量状态反馈闭环系统的状态空间表达式，选

18、择合适的Simulink系统 模块，然后建立此系统的Simulink模型.系统的Simulink模型图见附录3.7. 2动态系统的Simul ink仿真在MATLAB中，系统状态空间用(A,8,CQ)矩阵组表示，当输入(A,aC,。)矩阵组后, 用函数直接可以得到状态空间模型。在MATLAB中，绘制二维图形最常用的函 数是Plot函数，对于不同形式的输入，该函数可以实现不同的功能。其调用格式如下：plot(X, Y)当X和Y为向量时，以第一个变量为横坐标，第二个变量为纵坐标绘制图 形。plot(X, Y, s)想绘制不同的线型、颜色、标识等的图形时，可调用此形式，第3个输 入变量为图形显示属性

19、的设置选项：线型、颜色、标识。如图7.1,它反映了弹簧质量控制系统在极点配置(P=-j)后阶跃响应情况， 其“atlab程序见:附录2.图7.1极点配置后系统的阶跃响应曲线在完成弹簧质量振动系统的Simulink模型基础上，对系统模型中各模块进行正确而 合适的参数设置，便需要对系统仿真参数进行必要的设置以开始Simulink仿真，即可了 解系统中有关位置的信号的情况，经过多次调试，在状态反馈控制器 =-Kx的作用下， 系统不断地对位置误差进行控制修正，最终使系统达到稳定的状态.例1根据线性系统状态反馈控制律，状态反馈下受控系统的输入为IK*为 反馈增益矩阵,长=代k2).令占0=3;x20 = -1;m = 1;4=1;匕=1; h=2I，此情况下，弹簧质量控制系统Simulink模型的动态模拟仿真图如下图7. 2 Simulink仿真图山图知，弹簧质量控制系统是稳定的.8结束语弹簧质量系统控制问题，使用Simulink对其进行建模与仿真.结论表明：弹簧质量系 统作为动力学系统，往往表现出强非线性、模型不精确或模型未知等复杂特征，其控制也 因此而变得非常困难，当给定输入函数（控制函数）时