初中九年级数学二次函数的性质实用教案

1、XYO1122334455-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5根据右边已画好的函数图象根据右边已画好的函数图象(t xin)(t xin)回答问回答问题：题：(1)(1)抛物线抛物线 ，当自变，当自变量量X X增大时，函数值增大时，函数值y y将怎样变化？将怎样变化？12212xxy(2)(2)抛物线抛物线 ，当自变，当自变量量X X增大时，函数增大时，函数(hnsh)(hnsh)值值y y将怎样变化？将怎样变化？先减小，后增大先减小，后增大(zn d).先增大，后减小先增大，后减小. .当当x x 时时,y,y随着随着x x的增大而的增大而减小减小当当x x 时时,y,y随着随着x x的

2、增大而的增大而增大增大. .当当x x 时时,y,y随着随着x x的增大而的增大而增大增大当当x x 时时,y,y随着随着x x的增大而的增大而减小减小. .-2-2-2-22222思考：二次函数的增减性由什么确定的？新知探索新知探索直线直线x=-2直线直线x=2第1页/共44页第一页，共45页。XYO1122334455-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5根据右边已画好的函数图象根据右边已画好的函数图象(t (t xin)xin)填空：填空：12212xxy2412xxy(1)(1)抛物线抛物线 的的 顶点顶点是图象的最是图象的最 点。点。12212xxy(2)(2)抛物线抛物线 的的

3、顶点顶点(dngdin)(dngdin)是图象的最是图象的最 点。点。该函数该函数(hnsh)有没有最大值和最有没有最大值和最小值？小值？该函数有没有最大值和最小值？该函数有没有最大值和最小值？当当x=_时时,y有最有最_值值=_当当x=_时时,y有最有最_值值=_低低高高-2小小-12大大-1思考：函数最大值或最小值由什么确定的？新知探索新知探索第2页/共44页第二页，共45页。二次函数二次函数(hnsh)y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质的图象和性质.顶点顶点(dngdin)坐标与对称轴坐标与对称轴.位置位置(wi zhi)与开口方向与开口方向.增减性与最值增减性与最值抛物线抛物线顶

4、点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(ax20,试比较试比较y1与与y2的大小的大小.第5页/共44页第五页，共45页。练习二：一运动员推铅球，铅球经过的路练习二：一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线。线为如图所示的抛物线。（1）求铅球所经过的路线的函数解析）求铅球所经过的路线的函数解析(ji x)式和自变量取值范围。式和自变量取值范围。（2）铅球的落地点离运动员有多远？）铅球的落地点离运动员有多远？y(m)x(m)o(0,1.5)(4,3)第6页/共44页

5、第六页，共45页。w(1).每个图象与每个图象与x轴有几个交点？轴有几个交点？w(2).一元二次方程一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根有几个根?验证一下一元二次方程验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗有根吗?w(3).二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象和的图象和x轴交点的坐标轴交点的坐标与一元二次方程与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么的根有什么(shn me)关系关系?二次函数二次函数(hnsh)(hnsh)与一元与一元二次方程二次方程 w二次函数二次函数(hnsh)y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2(hnsh)y=x2+2x,

6、y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象的图象如图所示如图所示. .y=xy=x2 2+2x+2xy=xy=x2 2-2x+1-2x+1y=xy=x2 2-2x+2-2x+2第7页/共44页第七页，共45页。w(3).(3).二次函数二次函数y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c的图象和的图象和x x轴交点有三种情况轴交点有三种情况(qngkung):(qngkung):w 有两个交点有两个交点, ,w 有一个交点有一个交点, ,w 没有交点没有交点. .w 当二次函数当二次函数y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c的图象和的图象和x x轴有交点时轴有交点时, ,w 交点的横坐标就是当

7、交点的横坐标就是当y=0y=0时自变量时自变量x x的值的值, ,即一即一w 元二次方程元二次方程ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0的根的根. .w(3).(3).二次函数二次函数y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c的图象和的图象和x x轴交点的坐标与一元二次轴交点的坐标与一元二次方程方程ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0的根有什么的根有什么(shn me)(shn me)关系关系? ?第8页/共44页第八页，共45页。抛物线与抛物线与X 轴的交点轴的交点(jiodin)个数能不能用一元个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？二次方程的知识来说明呢？0=00OXY第9页/共44

8、页第九页，共45页。w(3).(3).二次函数二次函数y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c的图象和的图象和x x轴交点的坐标与一元二次方程轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0的根有什么的根有什么(shn me)(shn me)关系关系? ?二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象和的图象和x x轴交点轴交点一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的根的根一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0根的判别式根的判别式=b=b2 2-4ac-4ac有两个有两个(lin (lin )交点交点有

9、两个相异有两个相异(xin (xin y)y)的实数根的实数根b2-4ac 0b2-4ac 0有一个交点有一个交点有两个相等的实数根有两个相等的实数根b2-4ac = 0b2-4ac = 0没有交点没有交点没有实数根没有实数根b2-4ac 0b2-4ac 0第10页/共44页第十页，共45页。求二次函数图象求二次函数图象y=x2-3x+2与与x轴的交点轴的交点(jiodin)A、B的坐标。的坐标。解：解：A、B在在x轴上，轴上， 它们它们(t men)的纵坐标为的纵坐标为0， 令令y=0，则，则x2-3x+2=0 解得：解得：x1=1，x2=2； A（1，0） ， B（2，0）你发现方程你发现

10、方程 的解的解x1、x2与与A、B的坐标的坐标(zubio)有什么联系？有什么联系？x2-3x+2=0举例举例:第11页/共44页第十一页，共45页。结论结论1：方程：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线的解就是抛物线y=x2-3x+2与与x轴的两个轴的两个(lin )交点的交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。有密切联系的。即：若一元二次方程即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是的两个根是x1、x2， 则抛物线则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐与轴的两个交点坐标标(zubio)分别是分别是A（ ），）， B（ ）x1，

11、0 x2，0 xOABx1x2y第12页/共44页第十二页，共45页。二次函数二次函数(hnsh)图象图象y=ax2+bx+c如果如果(rgu)图象的顶点在图象的顶点在x轴上，则轴上，则如果如果(rgu)图像的顶点在图像的顶点在y轴上，则轴上，则二次函数图象二次函数图象y=-x2+2（m-1）x+2m-m2（1）图像关于）图像关于(guny)y轴对称，则轴对称，则m =（2）图像经过原点，则）图像经过原点，则m=（3）图像与坐标轴只有）图像与坐标轴只有2个交点，则个交点，则m=第13页/共44页第十三页，共45页。( 1 )图象图象(t xin)过过A(0，1) 、B（1，2）、）、C（2，-

12、1）三点）三点 (1) 已知抛物线已知抛物线y=ax2+bx+c满足满足(mnz)下列下列条件条件,求函数的解析式求函数的解析式.（1）解：设抛物线的解析）解：设抛物线的解析(ji x)式为式为y=ax2+bx+c图象过图象过A(0，1) 、B（1，2）、）、C（2，-1）三点）三点122211100222cbacbacba132cbay= -2x2+3x+1求求函数的解析式的几种方法函数的解析式的几种方法第14页/共44页第十四页，共45页。（2）图象）图象(t xin)顶点是（顶点是（-2，3），且经过点（），且经过点（-1，5）解：解：图象图象(t xin)顶点是（顶点是（-2，3）设其

13、解析设其解析(ji x)式为式为y=a（x+2）2+3图象图象经过点（经过点（-1，5）5=a（-1+2）2+3a=2y=2（x+2）2+3第15页/共44页第十五页，共45页。xyo解：解：A(1，0)，对称轴为，对称轴为x=2抛物线与抛物线与x轴另一个轴另一个(y )交交点点C应为（应为（3，0）设其解析设其解析(ji x)式为式为y=a(x-1)(x-3)B（0，-3）-3=a（0-1）（）（0-3）a= -1y= -(x-1)(x-3)（3）图象经过）图象经过(jnggu)A（1，0）、）、B（0，-3），且），且对称轴是直线对称轴是直线x=21AB-3C32第16页/共44页第十六页

14、，共45页。4、求满足下列条件、求满足下列条件(tiojin)的抛的抛物线的解析式：物线的解析式：经过经过(jnggu)点点A（2，4），），B（-1，0）且在）且在x轴轴上截得的线段长为上截得的线段长为2解：解： B（-1，0）且在）且在x轴上截得的线段轴上截得的线段(xindun)长为长为2抛物线与抛物线与x轴的另一个交点坐标为轴的另一个交点坐标为C（-3，0）或）或C（1，0）设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=a（x- x1）（）（x- x2）当抛物线经过当抛物线经过B、C两点时，两点时，解析式为解析式为y=a（x+1）（）（x+3）又又抛物线经过抛物线经过A（2，4）4=a（2+

15、1）（）（2+3）当抛物线经过当抛物线经过B、C 两点时，解析式为两点时，解析式为y=a（x+1）（）（x-1）解法同）解法同(1)xyoB-1- 31CCa=154y= （x+1）（）（x+3）154第17页/共44页第十七页，共45页。例2：已知抛物线y=（x+1）2-2，将此抛物线分别(fnbi)作轴对称变换，请分别(fnbi)求出变换后的抛物线。（1）关于(guny)x轴作轴对称变换（2）关于(guny)y轴作轴对称变换（-1，-2）（-1，2）(-1,-2)(1,-2)第18页/共44页第十八页，共45页。已知抛物线y=x2-2x-3，将其图像作以下(yxi)对称，请写出对称后的抛物

16、线。（1）关于(guny)x轴作轴对称变换（2）关于y轴作轴对称变换第19页/共44页第十九页，共45页。已知抛物线y=x2-2x-3，将其图像(t xin)作以下对称，请写出对称后的抛物线。 （1）关于顶点(dngdin)中心对称（2）关于(guny)原点中心对称函数y=a(x+m)2+k若关于顶点对称，则变为y=-a(x+m)2+k若关于原点对称，则变为y=-a(x-m)2-k例3：(1,-4)(1,-4)(-1,4)(1,-4)第20页/共44页第二十页，共45页。第21页/共44页第二十一页，共45页。xyo1-3-2练习练习(linx)1、 二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象

17、如图所示的图象如图所示对称轴对称轴x=_顶点顶点(dngdin)坐坐标标:_当当x=_时时,y有最有最_值是值是_函数值函数值y0时时,对应对应x的取值范围是的取值范围是_函数值函数值y=0时时,对应对应x的取值范围是的取值范围是_当当x_时时,y随随x的增大而增大的增大而增大.-1(-1,-2)-1 小小-2-3x1x1-3或或1-1第22页/共44页第二十二页，共45页。练一练：练一练：抛物线抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定(qudng)a、b、c、 b2-4ac的符号：的符号：xyo第23页/共44页第二十三页，共45页。练一练：练一练：已知：二次函数已知：二次

18、函数(hnsh)y=ax2+bx+c的的图象如图所示，则点图象如图所示，则点M（ ，a）在（）在（ ）A、第一象限、第一象限 B、第二、第二(d r)象限象限 C、第三象限、第三象限 D、第四象限、第四象限 xoyD第24页/共44页第二十四页，共45页。练习2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论(jiln)a+ b + c0 abc0 b=2a。其中正确的结论(jiln)的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个xyO-11mnD第25页/共44页第二十五页，共45页。已知：一次函数已知：一次函数(hnsh)y=ax+c与二次与二次函数函数(hnsh)y=ax

19、2+bx+c，它们在同一，它们在同一坐标系中的大致图象是图中的（坐标系中的大致图象是图中的（ ）练一练：练一练：xyoxyoxyoxyo（A）（B）（C）（D）C第26页/共44页第二十六页，共45页。xyo 已知二次函数已知二次函数 图象，尽可能多的图象，尽可能多的说出一些结论说出一些结论.(-1,0)(3,0)(0,-3)数形结合数形结合(jih)（1）a 0，b 2x+3第33页/共44页第三十三页，共45页。你知道你知道(zh do) 的解的个的解的个数吗？数吗？第34页/共44页第三十四页，共45页。4,将抛物线将抛物线y=x2向下平移后向下平移后,使它使它的顶点的顶点C与它在与它在

20、x轴上的两个交点轴上的两个交点A,B组成组成(z chn)等边三角形等边三角形ABC,求此抛物线的解析式求此抛物线的解析式.第35页/共44页第三十五页，共45页。5,已知二次函数已知二次函数y=2x2+8mx+2m+3,如果如果它的图像的顶点它的图像的顶点(dngdin)在在x轴上轴上,求求m的值和顶点的值和顶点(dngdin)坐标坐标.6,已知抛物线已知抛物线2,把它的顶点移到把它的顶点移到x轴上的轴上的点点A, 所得的抛物线与所得的抛物线与y轴交于点轴交于点B,且线段且线段OA,OB满足关系满足关系(gun x)OA-1 =OB,试说试说明平移方法明平移方法.第36页/共44页第三十六页

21、，共45页。第37页/共44页第三十七页，共45页。练习一：一座拱桥的示意图如图，当水面宽练习一：一座拱桥的示意图如图，当水面宽12m时，时，桥洞顶部离水面桥洞顶部离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数该抛物线的函数(hnsh)解析式，你认为首先要做的解析式，你认为首先要做的工作是什么？如果以水平方向为工作是什么？如果以水平方向为x轴，取以下三个不同轴，取以下三个不同的点为坐标原点：的点为坐标原点：（1）点）点A，（，（2）点）点B，（，（3）抛物线的顶点）抛物线的顶点C得的函数得的函数(hnsh)解析式相同吗？请试一试。哪种取解析式相同吗？请试一

22、试。哪种取法求得的函数法求得的函数(hnsh)解析式最简单？解析式最简单？ABC4m12m第38页/共44页第三十八页，共45页。第39页/共44页第三十九页，共45页。第40页/共44页第四十页，共45页。EDBCOAxy练习练习2、已知、已知m,n是方程是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且的两个实数根，且mn,抛抛物线物线y=-x2+bx+c的图像经过的图像经过(jnggu)点点A(m,0),B(0,n)(1)求这个抛物线的解析式求这个抛物线的解析式(2)设（设（1）中抛物线与）中抛物线与x轴的另一交点为轴的另一交点为C，抛物线的顶点为，抛物线的顶点为D,试求出点试求出点C,D的坐标和三角形的坐标和三角形BCD的面积的面积第41页/共44页第四十一页，共45页。已知抛物线已知抛物线yax2bxc与与Y轴交于点轴交于点A(0,3),与与X轴分别交于轴分别交于B(1,0),C(5,0)两点两点（1）求此抛物线的解析）求此抛物线的解析(ji x)式式（2）若点）若点D为线段为线段OA的一个三