初高中数学知识衔接资料

1、初高中数学衔接读本数学是一门重要的课程， 其地位不容置疑， 同学们在初中已经学过很多数学知识， 这是远远不够的， 而且现有初高中数学知识存在以下“脱节”：1立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。2因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“ 1”的涉及不多， 而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到，如解方程、不等式等。3二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。4初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。 配方、作简图、求值域、解二次

2、不等式、 判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。5二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求， 此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、 二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。6图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。7含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中这部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

3、8几何部分很多概念（如重心、垂心、外心、内心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理、角平分线定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。有鉴于此，特编写该读本，供教学之用，希望认真学习。目 录1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1. 分式1.2 分解因式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）22 二次函数2.2.1 二次函数yax2bxc的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表示方式2.2.3 二次函数的简单应用2.

4、3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法2.3.2 一元二次不等式解法31 相似形3.1.1 平行线分线段成比例定理3.1.2 相似形3.2 三角形3.2.1 三角形的“四心”3.2.2 几种特殊的三角形33 圆3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系3.3.2 圆幂定理及其应用1.1 数与式的运算1.1绝对值绝对值的代数意义 ： 正数的绝对值是它的本身， 负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即,0,|0,0,0.aaaaa a绝对值的几何意义 ：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离两个数的差的绝对值的几何意义：ba表示在数轴上，数a和数b之间的距离例 1 解不等式：13x

5、x4解法一 ：由01x，得1x；由30 x，得3x；若1x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x4，解得 x0，又 x1，x0；若12x，不等式可变为(1)(3)4xx，即 14，不存在满足条件的x；若3x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x4， 解得 x4又 x3 ，x4综上所述，原不等式的解为x0，或 x4解法二： 如图 1.11，1x表示 x 轴上坐标为 x 的点 p 到坐标为 1 的点 a之间的距离 |pa|，即|pa|x1|；|x3|表示x 轴上点 p 到坐标为 3 的点 b 之间的距离|pb|，即|pb|x3|所以，不等式13xx4 的几何意义即为|pa|pb|4由|ab

6、|2，可知1 3 a b x 0 4 c d x p |x1| |x 3| 图 1.11 点 p 在点 c(坐标为 0)的左侧、或点 p 在点 d(坐标为 4)的右侧x0，或 x4练习1填空：（1）若5x，则 x=_；若4x，则 x=_（2） 如果5ba， 且1a， 则 b_； 若21c， 则 c_2选择题：下列叙述正确的是（）（a）若 ab ，则ab（b）若 ab ，则ab（c）若ab，则 ab（d）若 ab ，则ab3化简： |x5|2x13|（x5） 1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()ab abab ；（2）完全平方公式222()2

7、abaa bb我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式2233() ()abaa bbab；（2）立方差公式2233() ()abaa bbab；（3）三数和平方公式2222()2 ()abcabca bb ca c；（4）两数和立方公式33223()33abaa ba bb；（5）两数差立方公式3322()33abaa ba bb对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例 1 计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx解法一： 原式=2222(1) (1)xxx=242(1)(1)xxx=61x解法二： 原式=22(1)(1)(1)(1)xxxxxx=33(1)(

8、1)xx=61x例 2 已知4abc，4abbcac，求222abc的值解：2222()2()8abcabcabbcac练习1填空：（1）221111()9423abba（） ；（2）(4m22)164(mm)；(3 )2222(2)4(abcabc)2选择题：（1）若kmxx212是一个完全平方式， 则k等于（）（a）2m（b）214m（c）213m（d）2116m（2）不论 a，b为何实数，22248abab的值（）（a）总是正数（b）总是负数（c）可以是零（d）可以是正数也可以是负数1.1.3二次根式一般地，形如(0)a a的代数式叫做 二次根式 根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称

9、为无理式 . 例如232aabb ，22ab 等是无理式，而22212xx，222xxyy ，2a 等是有理式1分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化 为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式 ，例如2 与2 ， 3 a 与a ，36 与36， 2 33 2与 2 33 2，等等一般地， ax 与x ，axby 与 axb y ，a xb与 axb互为有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分

10、子的有理化因式， 化去分子中的根号的 过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)a bab ab；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式， 然后通过分母有理化进行运算； 二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式2二次根式2a 的意义2aa,0,0.aaa a例1将下列式子化为最简二次根式：（1）12b；（2）2(0)a b a；（3）64(0)x y x解： （1）122 3bb ；（2）2(0)a baba b a；（3）633422(0)x yxyxy x例 2计算：3(33) 解法一：3( 3

11、3 ) 3333 (33)(33)(33)3 33933( 31)6312解法二 ：3( 33 ) 33333( 31)13131( 31)( 31)312例 3试比较下列各组数的大小：（1）1211和1110 ；（2）264和 2 26. 解： （1）1211( 1211)( 1211)11211112111211，1 11 0(1 11 0 ) (1 11 0 )11 11 011 11 01 11 0，又12111110 ，12111110 （2）2 26(2 26)(226)22 26,12 262 26+又 42 2，64 62 2，264 2 26. 例 4化简：20042005(

12、 32)( 32)解：20042005( 32)( 32)20042004( 32)( 32)( 32)2004( 32) (32)( 32)20041( 32)32 例 5 化简： （1）94 5；（2）2212(01)xxx解： （1）原式54 5422( 5)22522(25)2552（2）原式 =21()xx1xx，01x，11xx，所以，原式1xx例 6 已知3232,3232xy，求22353xxyy 的值 解：223232( 32)( 32)103232xy，323213232xy，22223533()113 1011289xxyyxyxy练习1填空：（1）1313_ _；（2）

13、若2(5)(3)(3) 5xxxx，则 x 的取值范围是 _ _ _；（3） 4 246 543 962 150_ _；（4）若52x，则11111111xxxxxxxx_ _2选择题：等式22xxxx成立的条件是（）（a）2x（b）0 x（c）2x（d）02x3若22111aaba，求ab的值4比较大小： 23 54（填“ ” ，或“ ” ） 1.1.分式1分式的意义形如ab的式子，若 b 中含有字母，且0b，则称ab为分式当 m0 时，分式ab具有下列性质：aambbm；aambbm上述性质被称为 分式的基本性质 2繁分式像abcd，2mnpmnp这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分

14、式 例 1若54(2)2xabx xxx，求常数,a b的值解： (2)()2542(2)(2)(2)aba xbxab xaxxxx xx xx x，5,24,aba解得2 ,3ab例 2（1）试证：111(1)1n nnn（其中 n 是正整数）；（2）计算：11112239 10；（3） 证明： 对任意大于 1 的正整数 n， 有11112334(1)2n n（1）证明： 11(1)11(1)(1)nnnnn nn n，111(1)1n nnn（其中 n 是正整数）成立（2）解： 由（1）可知111122391 011111( 1)()()22391 01110910（3）证明： 1112

15、334(1)n n111111()()()23341nn1121n，又 n2 ，且 n 是正整数，1n1一定为正数，1112334(1)n n12例 3设cea，且 e1，2c25ac2a20，求 e的值解：在 2c25ac2a20 两边同除以 a2，得2e25e20，(2e1)(e2)0，e121，舍去；或 e2e2练习1填空题：对任意的正整数 n，1(2)n n(112nn)；2选择题：若322yxyx，则yx（）（a）（b）45（c）54（d）563正数,x y满足222xyxy，求xyxy的值4计算1111.1 2233499 100习题 1.1 a 组1解不等式：(1) 13x；(2

16、) 327xx；(3) 116xx2已知1xy，求333xyxy 的值3填空：(1)1819(23) (23)_；(2)若22(1)(1)2aa，则 a的取值范围是 _；(3)111111223344556_b 组1选择题：（1）若2ababba，则（）（a）ab（b）ab（c）0ab（ d）0ba（2） 计算1aa等于（）（a）a（b）a（c）a（d）a2填空：（1）12a，13b，则2223352aabaabb_ _；（2）若2220 xxyy，则22223xxyyxy_ _；3已知：11,23xy，求yyxyxy的值4解方程22112()3()10 xxxx5计算：11111 3243

17、59 111.2 分解因式因式分解的主要方法有： 十字相乘法、 提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例 1 分解因式：（1）x23x2；（2）x24x12；（3）22()xab xyaby ；（4）1xyxy解： （1）如图 1.21，将二次项 x2分解成图中的两个x 的积，再将常数项 2分解成 1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是 x23x2 中的一次项，所以，有x23x2(x1)(x2)说明： 今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1.21 中的两个 x 用 1 来表示（如图 1.22 所示） （2）由图 1.23

18、，得x24x12(x2)(x6)（3）由图 1.24，得22()xab xyaby ()()xayxby（4）1xyxyxy(xy)1 (x1) (y+1) （如图 1.25 所示） 2提取公因式法与分组分解法例 2 分解因式：（1）32933xxx；（2）222456xxyyxy解：（1）32933xxx=32(3)(39)xxx=2(3)3(3)xxx=2(3)(3)xx1 2 x x 图 1.21 1 2 1 1 图 1.22 2 6 1 1 图 1.23 ayby x x 图 1.24 1 1 x y 图 1.25 或32933xxx32(331)8xxx3(1)8x33(1)2x22

19、(1)2(1)(1) 22 xxx2(3)(3)xx（2）222456xxyyxy=222(4)56xyxyy=22(4)(2)(3)xyxyy=(22)(3)xyxy或222456xxyyxy=22(2)(45 )6xxyyxy=(2)()(45 )6xy xyxy=(22)(3)xyxy3关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0 )的因式分解若关于 x 的方程20(0)axbxca的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)axbxc a就可分解为12()()a xxxx例 3把下列关于 x 的二次多项式分解因式：（1）221xx；（2）2244xxyy 解： （1）令221x

20、x=0，则解得112x，212x，221xx=( 12)( 12)xx=(12)(12)xx（2）令2244xxyy =0，则解得1( 22 2)xy，1( 22 2)xy ，2244xxyy =2(12) 2(12) xyxy 练习1选择题：多项式22215xxyy 的一个因式为（）（a）25xy（b）3xy（c）3xy（d）5xy2分解因式：（1）x26x8；（2）8a3b3；（3）x22x1；（4）4(1)(2 )xyy yx习题 1.2 1分解因式：（1）31a；（2）424139xx；（3）22222bcabacbc；（4）2235294xxyyxy2在实数范围内因式分解：（1）25

21、3xx；（2）22 23xx；（3）2234xxyy ；（4）222(2 )7(2 )12xxxx3abc三边 a,b,c满足222abcabbcca，试判定abc的形状4分解因式： x2x(a2a)2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0（a0 ） ，用配方法可以将其变形为2224()24bbacxaa因为 a0 ，所以， 4a20于是（1）当 b24ac0 时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1,2242bbaca；（2）当 b24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1x22ba；（3） 当 b24ac

22、0 时，方程的右端是一个负数， 而方程的左边2()2bxa一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程ax2bxc0（a0 ）的根的情况可以由b24ac来判定，我们把 b24ac 叫做一元二次方程ax2bxc0 （a0 ）的根的判别式 ，通常用符号 “”来表示综上所述， 对于一元二次方程ax2bxc0（a0 ） ，有（1） 当 0 时，方程有两个不相等的实数根x1,2242bbaca；（2）当 0 时，方程有两个相等的实数根x1x22ba；（3）当 0 时，方程没有实数根例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中a 为常数） ，如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x

23、23x30；（2）x2ax10；（3） x2ax(a1)0；（4）x22xa0解： （1） 324 1 330，方程没有实数根（2）该方程的根的判别式 a24 1 (1)a240，所以方程一定有两个不等的实数根2142aax，2242aax（3）由于该方程的根的判别式为 a24 1 (a1)a24a4(a2)2，所以，当 a2时， 0，所以方程有两个相等的实数根x1x21；当 a2 时， 0， 所以方程有两个不相等的实数根x11，x2a1（3）由于该方程的根的判别式为 224 1 a44a4(1a)，所以当 0，即 4(1a) 0，即 a1 时，方程有两个不相等的实数根111xa ，211xa

24、 ；当 0，即 a1 时，方程有两个相等的实数根x1x21；当 0，即 a1 时，方程没有实数根说明： 在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax2bxc0（a0 ）有两个实数根2142bbacxa，2242bbacxa，则有2212442222bbacbbacbbxxaaaa；2222122244(4)42244bbacbbacbbacaccx

25、 xaaaaa所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果 ax2bxc0（a0 ）的两根分别是x1，x2，那么 x1x2ba，x1 x2ca这一关系也被称为 韦达定理 特别地，对于二次项系数为1 的一元二次方程 x2pxq0，若 x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1x2p，x1 x2q，即p(x1x2)，qx1 x2，所以，方程 x2pxq0 可化为 x2(x1x2)xx1 x20，由于 x1，x2是一元二次方程 x2pxq0 的两根，所以， x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2)xx1 x20因此有以两个数 x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2(x1x2)xx1

26、 x20例 2已知方程2560 xkx的一个根是 2，求它的另一个根及k 的值分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根 但由于我们学习了韦达定理， 又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值解法一： 2 是方程的一个根，5 22k 260，k7所以，方程就为 5x27x60，解得 x12，x235所以，方程的另一个根为35，k 的值为 7解法二： 设方程的另一个根为x1，则2x165，135x由（35）25k，得 k7所以，方程的另一个根为35，k

27、的值为 7例 3已知关于 x 的方程 x22(m2)xm240 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求 m的值分析： 本题可以利用韦达定理， 由实数根的平方和比两个根的积大21 得到关于 m 的方程，从而解得m 的值但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零解：设 x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1x22(m2)，x1 x2m24x12x22x1 x221，(x1x2)23 x1 x221，即2(m2)23(m24)21，化简，得m216m170，解得m 1，或 m17当 m1 时，方程为 x26x50， 0，满足题意；当

28、m17时，方程为 x230 x2930， 3024 1 2930，不合题意，舍去综上， m1说明： （1）在本题的解题过程中， 也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m的范围，然后再由 “ 两个实数根的平方和比两个根的积大21” 求出 m的值，取满足条件的 m 的值即可（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式 是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根例 4 已知两个数的和为4，积为 12，求这两个数分析： 我们可以设出这两个数分别为x， y， 利用二元方程求解出这两个数 也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解解法一： 设这两个数分别

29、是x，y，则xy4，xy12由，得y4x，代入，得x(4x)12，即x24x120，x12，x26112,6,xy或226,2.xy因此，这两个数是 2 和 6解法二： 由韦达定理可知，这两个数是方程x24x120 的两个根解这个方程，得x12，x26所以，这两个数是 2 和 6说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷例 5 若 x1和 x2分别是一元二次方程2x25x30 的两根（1）求| x1x2|的值；（2）求221211xx的值；（3）x13x23解：x1和 x2分别是一元二次方程2x25x30 的两根，1252xx，1232x x（1）| x

30、1x2|2x12+ x222 x1x2(x1x2)24 x1x2253()4 ()222546494，| x1x2|72（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24xxxxx xxxxxx x（3）x13x23(x1x2)( x12x1x2x22)(x1x2) ( x1x2) 23x1x2 (52) (52)23 (32)2158说明：一元二次方程的 两根之差的绝对值 是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设 x1和 x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0 ） ，则2142

31、bbacxa，2242bbacxa，| x1x2|2224424222bbacbbacbacaaa24|ba caa于是有下面的结论：若 x1和 x2分别是一元二次方程ax2bxc0（a0 ） ，则| x1x2|a（其中 b24ac） 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2xa40 的一根大于零、另一根小于零，求实数 a 的取值范围解：设 x1，x2是方程的两根，则x1x2a40，且 (1)24(a4)0由得a4，由得a174a 的取值范围是 a4练 习1选择题：（1）方程033222kkxx的根的情况是（）（a）有一个实数根

32、（b）有两个不相等的实数根（c）有两个相等的实数根（d）没有实数根（2）若关于 x 的方程 mx2(2m1)xm0 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）（a）m14（b）m14（c）m14，且 m0 （d）m14，且 m0 2填空 : （1）若方程 x23x10 的两根分别是 x1和 x2，则1211xx（2）方程 mx2x2m0（m0 ）的根的情况是（3）以 3 和 1 为根的一元二次方程是3已知2816|1|0aab，当 k 取何值时，方程kx2axb0 有两个不相等的实数根？4已知方程 x23x10 的两根为 x1和 x2，求(x13)( x23)的值习题 2.1 a 组1选择

33、题 : （1）已知关于 x 的方程 x2kx20 的一个根是 1，则它的另一个根是（）（a）3 （b）3 （c）2 （d）2 （2）下列四个说法：方程 x22x70 的两根之和为 2，两根之积为 7；方程 x22x70 的两根之和为 2，两根之积为 7；方程 3 x270 的两根之和为 0，两根之积为73；方程 3 x22x0 的两根之和为 2，两根之积为 0其中正确说法的个数是（）（a）1 个（b）2 个（c）3 个（d）4 个（3） 关于 x 的一元二次方程 ax25xa2a0 的一个根是 0， 则 a 的值是（）（a）0 （b）1 （c）1 （d）0，或 1 2填空 : （1）方程 kx

34、24x10 的两根之和为 2，则 k（2）方程 2x2x40 的两根为 ， ，则 22（3）已知关于 x 的方程 x2ax3a0 的一个根是 2，则它的另一个根是（4）方程 2x22x10 的两根为 x1和 x2，则| x1x2|3 试判定当 m取何值时，关于 x 的一元二次方程 m2x2(2m1) x10 有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x27x10 各根的相反数b 组1选择题 : （1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x28x70 的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）（a）3（b）3 （c）6 （d）9 （2）

35、若 x1，x2是方程 2x24x10 的两个根，则1221xxxx的值为（）（a）6 （b）4 （c）3 （d）32（3）如果关于 x 的方程 x22(1m)xm20 有两实数根 ， ，则 的取值范围为（）（a） 12（b） 12（c） 1 （d） 1 （4）已知 a，b，c 是 abc 的三边长，那么方程cx2(ab)x4c0 的根的情况是（）（a）没有实数根（b）有两个不相等的实数根（c）有两个相等的实数根（d）有两个异号实数根（5）若关于 x 的方程 x2(k21) xk10 的两根互为相反数，则k 的值为（）（a）1，或 1 （b）1 （c）1 （d）0 2填空 : （1）若 m，n

36、是方程 x22005x10 的两个实数根，则m2nmn2mn 的值等于（2）如果 a，b 是方程 x2x10 的两个实数根，那么代数式a3a2bab2b3的值是3已知关于 x 的方程 x2kx20（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为 x1和 x2，如果 2(x1x2)x1x2，求实数 k 的取值范围4一元二次方程 ax2bxc0（a0 ）的两根为 x1和 x2求：（1）| x1x2|和122xx；（2）x13x235 关于 x 的方程 x24xm0 的两根为 x1，x2满足| x1x2|2， 求实数 m 的值6 已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 4kx24kxk

37、10 的两个实数根（1）是否存在实数k，使(2x1x2)( x12 x2)32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（2）求使1221xxxx2 的值为整数的实数k 的整数值；（3）若 k2，12xx，试求的值7若关于 x的方程 x2xa0 的一个大于 1、另一根小于 1，求实数 a 的取值范围22 二次函数2.2.1 二次函数 yax2bxc 的图像和性质问题 1 函数 yax2与 yx2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y2x2，y12x2，y2x2的图象，通过这些函数图象与函数yx2的图象之间的关系，推导出函数yax2与 yx2的图象之间所存在的关系先画

38、出函数 yx2，y2x2的图象先列表：x 3 2 1 0 1 2 3 x2 9 41 0 1 4 9 2x218 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出， 要得到 2x2的值，只要把相应的 x2的值扩大两倍就可以了再描点、连线，就分别得到了函数yx2，y2x2的图象（如图 21 所示） ，从图 21 我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y2x2的图象可以由函数yx2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y12x2，y2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数yx2的图象之间的关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 yax2(a0) 的图象可

39、以由yx2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到在二次函数yax2(a0) 中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小问题 2 函数 ya(xh)2k与 yax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们可以作出函数 y2(x1)21 与 y2x2的图象（如图 22 所示） ，从函数的同学我们不难发现，只要把函数y2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y2(x1)21 的图象这两个函数图象之间具有“ 形状相同，位置不同 ” 的特点类似地，还可以通过画函数y3x2，y3(x1)21 的图

40、象，研究它们图象之间的相互关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 ya(xh)2k(a0) 中， a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“ h 正左移， h 负右移 ” ；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“ k 正上移， k 负下移 ” 图 2.2-2 x y o 1 y2x2y2(x1)2y2(x1)2 1 yx2y2x2图 2.2-1 x o y 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数yax2bxc(a0) 的图象的方法：由于 yax2bxca(x2bxa)ca(x2bxa224ba)c24ba=abacabxa44)2(22所以，

41、 yax2bxc(a0) 的图象可以看作是将函数yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数yax2bxc(a0) 具有下列性质：（1）当a0 时，函数y ax2bxc 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24bacbaa，对称轴为直线x2ba；当 x2ba时，y随着 x 的增大而减小；当 x2ba时， y 随着 x 的增大而增大；当x2ba时，函数取最小值y244acba（2）当a0 时，函数y ax2bxc 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24bacbaa，对称轴为直线x2ba；当 x2ba时，y随着 x 的增大而增大；当 x2ba时， y 随着 x 的增大而减小；当x2ba时

42、，函数取最大值y244acba上述二次函数的性质可以分别通过图2.23 和图 2.24直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、 利用数形结合的思想方法来解决问题x y o x2baa24(,)24bacbaa图 2.2-3 x y o x2baa24(,)24bacbaa图 2.2-4 例 1 求二次函数y3x26x1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当 x 取何值时， y随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象解：y3x26x13(x1)24，函数图象的开口向下；对称轴是直线 x1；顶点坐标为 (1，4)；当 x1 时，函数 y

43、 取最大值 y4；当 x1 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x1 时，y 随着 x 的增大而减小；采用描点法画图，选顶点a(1，4)，与 x 轴交于点b2 33(,0)3和c2 33(,0)3，与 y 轴的交点为 d(0，1)，过这五点画出图象（如图2.25 所示） 说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确例 2 把二次函数 yx2bxc 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移4 个单位，得到函数 yx2的图像，求 b，c 的值解法一： yx2bxc(x+2b)224bc，把它的图像向上平移2 个单位，再向

44、左平移 4 个单位，得到22(4)224bbyxc的图像，也就是函数 yx2的图像，所以，240 ,220 ,4bbc解得 b8，c14解法二： 把二次函数 yx2bxc 的图像向上平移2 个单位，再向左平移4个单位，得到函数yx2的图像，等价于把二次函数yx2的图像向下平移2 个x o y x 1 a(1,4) d(0,1) b c 图 2.25 单位，再向右平移4 个单位，得到函数yx2bxc 的图像由于把二次函数 yx2的图像向下平移2 个单位，再向右平移4 个单位，得到函数 y(x4)22 的图像，即为 yx28x14 的图像，函数yx28x14 与函数 yx2bxc 表示同一个函数，

45、 b8，c14说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点 今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题例 3 已知函数 yx2，2 x a，其中 a 2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论解： （1）当 a2 时

46、，函数 yx2的图象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时 x2；（2）当2a0 时，由图 226可知，当 x2 时，函数取最大值y4；当 xa 时，函数取最小值ya2；（3）当 0 a2 时，由图 226可知，当 x2 时，函数取最大值y4；当 x0 时，函数取最小值y0；（4）当 a2 时，由图 226可知，当 xa 时，函数取最大值ya2；当 x0 时，函数取最小值y0说明：在本例中，利用了分类讨论的方法， 对 a 的所有可能情形进行讨论 此y x y o 2 a a2 4 图 2.26 x y o a 2 2 4 a2 2 x y o a a2 4 外，本例

47、中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题练 习1选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）（a）y2x2（b）y2x24x2 （c）y2x21 （d）y2x24x（2）函数 y2(x1)22 是将函数 y2x2（）（a）向左平移 1 个单位、再向上平移2 个单位得到的（b）向右平移 2 个单位、再向上平移1 个单位得到的（c）向下平移 2 个单位、再向右平移1 个单位得到的（d）向上平移 2 个单位、再向右平移1 个单位得到的2填空题（1）二次函数y2x2mxn 图象的顶点坐标为 (1，2)，

48、则 m，n（2）已知二次函数 yx2+(m2)x2m，当 m时，函数图象的顶点在y 轴上；当 m时，函数图象的顶点在x 轴上；当 m时，函数图象经过原点（3）函数 y3(x2)25 的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当 x时，函数取最值 y；当 x时，y 随着 x 的增大而减小3求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随 x 的变化情况，并画出其图象（1）yx22x3；（2）y16 xx24已知函数 yx22x3，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：（1）x 2； （2）x2 ； （3）2 x1

49、 ； （4）0 x3 2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1一般式： yax2bxc(a0) ；2顶点式： ya(xh)2k (a0) ，其中顶点坐标是 (h，k)除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数yax2bxc(a0) 的图象与 x 轴交点个数当抛物线 yax2bxc(a0) 与 x 轴相交时，其函数值为零，于是有ax2bxc0并且方程的解就是抛物线yax2bxc(a0) 与 x 轴交点的横坐标（纵坐标为零） ，于是，不难发现， 抛物线 yax2bxc(a0) 与 x 轴交

50、点个数与方程的解的个数有关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式 b24ac 有关，由此可知，抛物线yax2bxc(a0) 与 x 轴交点个数与根的判别式 b24ac 存在下列关系：（1）当 0 时，抛物线 yax2bxc(a0) 与 x 轴有两个交点；反过来，若抛物线 yax2bxc(a0) 与 x 轴有两个交点，则 0 也成立（2）当 0 时，抛物线 yax2bxc(a0) 与 x 轴有一个交点（抛物线的顶点） ；反过来，若抛物线 yax2bxc(a0) 与 x 轴有一个交点，则 0 也成立（3）当 0 时，抛物线 yax2bxc(a0) 与 x 轴没有交点；反过来，若抛物线 yax2bx

51、c(a0) 与 x 轴没有交点，则 0 也成立于是，若抛物线 yax2bxc(a 0)与 x 轴有两个交点 a(x1，0)，b(x2，0)，则 x1，x2是方程 ax2bxc0 的两根，所以x1x2ba，x1x2ca，即ba(x1x2)，cax1x2所以， yax2bxca(2bcxxaa) = ax2(x1x2)xx1x2 a(xx1) (xx2)由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线 yax2bxc(a0) 与 x 轴交于 a(x1，0)，b(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为ya(xx1) (xx2) (a0) 这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3交点式：ya(xx1)

52、 (xx2) (a0) ，其中 x1，x2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题例 1已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线yx1 上，并且图象经过点（ 3，1） ，求二次函数的解析式分析：在解本例时， 要充分利用题目中所给出的条件最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a解：二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为2又顶点在直线 yx1 上，所以， 2x1，x1顶点坐标是（ 1，2） 设该二次函数的解析式为2(

53、2)1(0)ya xa，二次函数的图像经过点（3，1） ，21(32)1a，解得 a2二次函数的解析式为22(2)1yx，即 y2x28x7说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题例 2 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到 x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式分析一： 由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式解法一： 二次函数的图象过点 (3，

54、0)，(1，0)，可设二次函数为ya(x3) (x1) (a0) ，展开，得yax22ax3a，顶点的纵坐标为2212444aaaa，由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离 2，|4a|2，即 a12所以，二次函数的表达式为y21322xx，或 y21322xx分析二： 由于二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x1，又由顶点到 x 轴的距离为 2，可知顶点的纵坐标为2，或2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点 (3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式解法二： 二次函数的图象过点 (3，0)，(1，0)，对称轴为直线 x1又顶点到 x

55、轴的距离为 2，顶点的纵坐标为 2，或 2于是可设二次函数为ya(x1)22，或 ya(x1)22，由于函数图象过点 (1，0)，0a(11)22，或 0a(11)22a12，或 a12所以，所求的二次函数为y12(x1)22，或 y12(x1)22说明： 上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题， 在今后的解题过程中， 要善于利用条件， 选择恰当的方法来解决问题例 3已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的表达式解：设该二次函数为yax2bxc(a0) 由函数图象过点 (1，22)，(0，8)，(2，8)，可得

56、22,8,842,abccabc解得 a2，b12，c8所以，所求的二次函数为y2x212x8通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？练习1选择题 : （1） 函数 yx2x1 图象与 x 轴的交点个数是（）（a）0 个（b）1 个（c）2个（d）无法确（2）函数 y12(x1)22 的顶点坐标是（）（a）(1，2) （b）(1，2) （c）(1，2) （d）(1，2) 2填空：（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点 (1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为ya(a0) （2）二次函数y x2+23x1 的函数

57、图象与x 轴两交点之间的距离为3根据下列条件，求二次函数的解析式（1）图象经过点 (1，2)，(0，3)，(1，6)；（2）当 x3 时，函数有最小值5，且经过点 (1，11)；（3）函数图象与 x 轴交于两点 (12，0)和(12，0)，并与 y 轴交于(0，2)2.2.3 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1平移变换问题 1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研

58、究其顶点的位置即可例 1 求把二次函数yx24x3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移 2 个单位，向下平移1 个单位；（2）向上平移 3 个单位，向左平移2 个单位分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数） ，所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项） ，所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式解：二次函数 y2x24x3 的解析式可变为y2(x1)21，其顶点坐标为 (1，1)（1）把函数 y2(x1)21 的图象向右平移2 个单

59、位，向下平移1 个单位后，其函数图象的顶点坐标是(3，2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y2(x3)22（2）把函数 y2(x1)21 的图象向上平移3 个单位，向左平移2 个单位后，其函数图象的顶点坐标是(1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为y2(x1)222对称变换问题 2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现： 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点 只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状， 因此，在研究二次函数图象

60、的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题例 2求把二次函数 y2x24x1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：（1）直线 x1；（2）直线 y1解： （1）如图 227，把二次函数 y2x24x1 的图象关于直线x1 作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状由于 y2x24x12(x1)21，可知，函数 y2x24x1 图象的顶点为a(1,1)，所以，对称后所得到图象的顶点为a1(3，1)，所以，二次函数 y2x24x1 的图象关于直线x1 对称后所得到图象的函数解析式为y2(x3)21，即 y2x212x17（2）如图 228，把二次函数