第六章狭义相对论(revised3)

1、6.5 相对论力学相对论力学Relativistic Mechanics 相对论原理要求任何物理规律在不同的惯性系中形式相同。而牛顿运动方程不满足洛仑兹变换下不变的要求。因此，我们要对牛顿力学规律加以修改，使它满足相对论的协变性要求。1、物理量按空间变换性质分类、物理量按空间变换性质分类一个表达物理规律的方程，当坐标系经过变换而方程的形式不变时，称这方程对于这个变换为协变的。狭义相对论要求所有表达物理规律的方程对 Lorentz变换是协变的，或称之具有Lorentz协变性。 a) 标量标量若一物理量在空间中没有取向关系，当坐标系转动时，这些物理量保持不变，则称此量为标量。如质量、电荷、标量势等

2、。标量与坐标变换无关，设在系中某标量用 f 表示，在系中用 f 表示，由标量不变性得到： f = fb) 矢量矢量若一物理量在空间中有一定的取向性，它由三个分量表示，当空间坐标按 式作变换时，该量的三个分量按同一方式变换，则称此量为一矢量。如电场强度、速度、力等。jijixax 以 代表矢量，它在坐标系中的分量为vi，在系中的分量为 ，故矢量变换关系为viv3 , 2 , 1, jivavjiji还有微分算符 也具有矢量性质，其变换关系为jijjijixaxxxx这里使用了ljljjijiliilxxxaaxa由此可见ililaxx c) 二阶张量二阶张量若物理量在空间的取向比较复杂，由两个矢

3、量指标表示，有九个分量，从系变换到系中，其分量Tij按下列方式变换3 , 2 , 1, , lkjiTaaTkljlikij具有这种变换关系的物理量称为二阶张量，如电磁场张力张量、电四极矩等。4 , 3 , 2 , 1. , vuxaxvuvu2、闵可夫斯基空间物理量的变换关系、闵可夫斯基空间物理量的变换关系闵可夫斯基空间是一个四维空间，其坐标轴分别为x1=x , x2=y , x3=z , x4=ict，由间隔不变性和光速不变原理，我们得到四维空间的Lorentz变换式：其中：系相对于系沿 x 轴正方向以速度 v 运动 的特殊变换系数auv的矩阵形式为000100001000iiauv a)

4、 四维标量四维标量在四维空间中如果一个物理量只需一个数表示，而在坐标轴“转动”时数值不变，则称此物理量为四维标量，22sdds如间隔b) 四维矢量四维矢量如果一个物理量需四个数表达，而在坐标轴转动时，这些数的变换关系和坐标的变换关系相同，即 ，则称些物理量为四维矢量，矩阵表明为vuvuAaA 43214321 000100001000AAAAiiAAAAvuvuxaxTaaTuuv凡满足这个变换式的四个数都构成一个四维矢量，四维矢量的前三个分量是空间分量，第四个分量是时间分量。在四维空间中，四维矢量微分算符矢量微分算符为 c) 四维张量四维张量如果一个物理量变换满足关系一共有16个数构成一个四

5、维张量，其中T4j和Ti4是虚数。3、质点力学、质点力学由于四维矢量在坐标变换时是按Lorentz变换改变的，因此一个物理定律若能用四维空间的量表达，则此定律具有Lorentz协变性，即满足相对论要求。 a）四维速度四维速度由于 表示四维位移矢量，速度的定义是坐标对时间的微商，但dt不是标量，故 不是矢量，不能表示四维速度，然而能够找到一种与坐标系无关的时间间隔，它对一切惯性系都不变，即是四维标量。dtdxuvuvudxaxd设一质点在系内运动，t 时刻的速度为 ，此后dt 时间内位移为 vixd随质点一起运动的系观察到这段时间为 ，而在 时间内位移为 dd0ixd因为质点相对于系静止不变量2

6、22222222222dctdczdydxddtcdzdydx故 是标量。d又因为 是固有时，不随惯性系的变换而改变，即d21 dtd于是，定义四维速度为：ddxu空间分量为. 3 , 2 , 1 , 12ivddtdtdxuiii时间分量为2441icddtdtdxu可见将四维速度写成如下形式)1 , 1(22icvui说明一点说明一点：vi 是质点相对于系的运动速度，能观察或测定的速度，按照定义总是 vi，而不是四维速度 ，但满足Lorentz变换的却不是 vi 而是 。uu201iioiumumpumpo20441cimumpob) 四维动量四维动量引入四维标量mo，可定义四维动量为空间

7、分量为时间分量为四维动量的形式可表示为20201 , 1cimumpi当vc时， p4的展开式为22421vmcmcipoo括号内第二项是物体的动能，由此可见 p4与物体的能量有关。iioipddumddK)()(umddddpKo)1(122ioiivmdtdpdtdK取p对的微商，定义为四维力空间分量为即2ii1KF 令 c) 四维力（闵可夫斯基力）四维力（闵可夫斯基力）得到)1(2ioivmdtdF当vc时，略去 级项，得到2)(cv当 v c 时，在与 方向上（即 ）0rvv在与 /的方向上，（即 ）vvrrv)0( 4)1 (3022静电场ErrecvE由此可见匀速运动的粒子（点电荷）的场的特点是：第一，场分布不再是球对称的，而是与有关。=0处场最弱， 处场最强，场向着垂直于速度方向和平面内集中，集中的程度与粒子运动速度有关。2当vc时，场基本上集中分布在垂直于 的平面内（如图）vBBEESSv第二，能流分布为)(20vEEEvHES可见0rrS这说明没有能流沿着径向方面辐射出去，能流是在以粒子为中心的球面上流动。vwvES20