高等数学课件：第4章微分中值定理及其应用

1、4.1 导数概念的经济学应用导数概念的经济学应用4.2 微分中值定理简介微分中值定理简介4.3 洛必达法则洛必达法则4.4 函数的单调性及曲线的凹凸性函数的单调性及曲线的凹凸性4.5 函数的极值与最大最小值函数的极值与最大最小值4.6* 函数图形的描绘函数图形的描绘第四章第四章 微分中值定理及导数应用微分中值定理及导数应用 P1014. 1 导数概念的经济学应用导数概念的经济学应用1 1 导数概念导数概念的经济学解释的经济学解释 2P101 )()()()(. 100QPPPQQQPPPQQ或或或或需求函数需求函数 称称为为弹弹性性相相对对导导数数称称为为边边际际函函数数导导数数关关键键知知识

2、识点点)()( xfyxxf个个单单位位的的改改变变。相相应应有有在在函函数数有有一一个个单单位位的的改改变变时时，当当自自变变量量在在的的意意义义：)()( )(0000 xfxfyxxf 为为单单价价为为需需求求数数量量 PQ.3P101 )()()()(. 200SPPPSSSPPPSS或或或或供给函数供给函数)( ),( . 30QCCQCC 成本函数成本函数为为单单价价为为共共给给数数量量 PS.总成本总成本为生产数量为生产数量 CQ.4P101)( ,)()(0QCCQQCQCC )( ),( . 40QRRQRR 收入函数收入函数)( ,)( . 50QLLCRQLL 利润函数利

3、润函数总收入总收入为销售数量为销售数量 RQ.总利润总利润为销售数量为销售数量 LQ.5P101130040054002400)400( )1( C成本函数成本函数解解4134001300)400( )2( C平均成本平均成本2.125400252)400( 252)( )3( CQQC边际成本边际成本6P102解解,3400Qp 3400)3400(2QQQQPQR 32400QRQ ;100)450( R; 0)600( R;100)750( R2 2 边际分析边际分析 7P102)( 0QCC 边际成本边际成本)( 0QRR 边际收入边际收入称称为为边边际际函函数数导导数数)( xf 个

4、个单单位位的的改改变变。相相应应有有在在函函数数有有一一个个单单位位的的改改变变时时，当当自自变变量量在在的的意意义义：)()( )(0000 xfxfyxxf 8P102)( 0QLL 边际利润边际利润9P10310P103QQQQPQQRR40002. 0)40002. 0( )( )1(2 收入函数收入函数解解40004. 0)( )2( QQRR边际收入边际收入320400200004. 0)()2000( )3( QRR所得到的结果表明销售第所得到的结果表明销售第2001套扩音器套扩音器系统所增加的收入大约为系统所增加的收入大约为 320 美元美元11P10440002. 0 QP2

5、0000030002. 0 20000010040002. 0 )()( )1(22 QQQQQQCQRL利润函数利润函数解解220400200004. 0)2000( )3( LQQR40002. 02 30004. 0 )2( QQL）（边际利润边际利润所得到的结果表明销售第所得到的结果表明销售第2001套扩音器系统所套扩音器系统所增加的利润大约为增加的利润大约为 220 美元美元3 3 弹性分析弹性分析 12P104)( ,)(xEfxfyx记记为为称称为为弹弹性性相相对对导导数数 13P104)( ,0000 xfyxEffyxEfxx )( ,)(xEfxfyx记记为为称称为为弹弹性

6、性相相对对导导数数 14P104)( ,)(xEfxfyx记记为为称称为为弹弹性性定定义义：相相对对导导数数 )%( )( )()(1)( )()( 000000000 xfxfxxfxfxxxfxfxfExx改变了改变了在在函数函数时，时，处改变处改变在在表示表示解释：解释： 即弹性刻画了函数值对自变量即弹性刻画了函数值对自变量 相对变化的强烈程度相对变化的强烈程度(灵敏度或幅度灵敏度或幅度)()( . 1PQQPPEQ 需需求求弹弹性性)(1)( )( . 2PEQPRRPPER 收收入入弹弹性性15P105)()( PQQPPEQ 需需求求弹弹性性16P106)( )( PQQPPEQ

7、需需求求弹弹性性17P106例例8 某种商品一周的需求量某种商品一周的需求量QQ件与其价格件与其价格P P（元）（元）具有如下具有如下的函数关系的函数关系)150000( ,30002. 0 QQp一周内制造件该商品的总成本为一周内制造件该商品的总成本为)(7000020004. 0000003. 0)(23元元 QQQQC(1) 求出收入函数求出收入函数R R、利润函数利润函数L L)000(),000(),3000( )4(LRC 计算计算解解)150000( ,30002. 0)( )1(2 QQQPQQR7000010002. 0000003. 0)(23 QQQCRQL（3 3）求边

8、际平均成本函数）求边际平均成本函数（2 2）求出边际成本函数、边际收入函数、边际利润函数求出边际成本函数、边际收入函数、边际利润函数18P106)(7000020004. 0000003. 0)(23元元 QQQQC)150000( ,30002. 0)(2 QQQPQQR7000010002. 0000003. 0)(23 QQQCRQL（3 3）求边际平均成本函数）求边际平均成本函数（2 2）求出边际成本函数、边际收入函数、边际利润函数求出边际成本函数、边际收入函数、边际利润函数19P106)3000(),3000(),3000( )4(LRC 计计算算)150000( 30002. 0

9、QQp20P107)(1)(pEQPER )(1)( )( PEQPRRPPER 收收入入弹弹性性21P107P107 ,4. 1习题习题12322称为边际函数。称为边际函数。可导，则可导，则定义：设定义：设)( )(. 1xfxf )( );( . 3 )( );( : . 2 );( : . 1CRLQLLQPRQRRQCC 边际利润边际利润边际收益边际收益边际成本边际成本个个单单位位改改变变。相相应应地地有有在在函函数数有有一一个个单单位位改改变变时时，表表示示当当自自变变量量在在解解释释：)()()( )( 0000 xfxfxfyxxf )%( )( )()(1)( )()( 000

10、000000 xfxfxxfxfxxxfxfxfExx改变了改变了在在函数函数时，时，处改变处改变在在表示表示解释：解释： 为为函函数数弹弹性性。称称可可导导，则则定定义义：设设)()()( )(. 2xfyxfyxfExf 4.1复习复习表示单价表示单价表示数量表示数量PQ)( )2( )()1(PERPEQ收收益益弹弹性性：需需求求弹弹性性：在在经经济济领领域域的的应应用用弹弹性性（相相对对导导数数）边边际际（导导数数） )( )( . 2)( . 10000 xfxfxxf一一个个单单位位个个单单位位)(0 xf %1% )(000 xfyx 23)()2()( )1( . 3PERPE

11、Q和和弹性分析弹性分析)( )()( )1(负数负数需求弹性：需求弹性：PQQPPEQ 1107 )(1)(1)( )2(定理定理收益弹性：收益弹性：PPQQPPEQPER 2P105 1 1 1)( 定定义义缺缺乏乏弹弹性性单单位位弹弹性性富富有有弹弹性性 PEQ 2P107 0 0 0)( 定定理理缺缺乏乏弹弹性性单单位位弹弹性性富富有有弹弹性性 PER%,1 , 价格每上涨价格每上涨处处在价格在价格p% )( PER收益减少收益减少总收益最大总收益最大%,1 , 价格每上涨价格每上涨处处在价格在价格p% )( PER收益增加收益增加4. 2 微分中值定理简介微分中值定理简介1 1 罗尔罗

12、尔(Rolle)定理定理 24P1090)( f 若不满足罗尔定理中的三个条件，则罗尔定理的若不满足罗尔定理中的三个条件，则罗尔定理的结论就不一定成立结论就不一定成立 25P109 罗尔定理中的条件是充分条件不是必要条件罗尔定理中的条件是充分条件不是必要条件 26，令令022 )(3 xxxf例例1.验证函数验证函数 在闭区间在闭区间-3,3应用罗尔定理的正确性应用罗尔定理的正确性248)(xxxf 解解 件，件，满足罗尔定理的三个条满足罗尔定理的三个条；可导可导在在连续；连续；在在易知易知)3(89)3( )3( 221)( )3 , 3( )2( 3 , 3 )1( 8)( 324ffxx

13、xfxxxf 所以所以f(x)在闭区间在闭区间0,4应用罗尔定理正确。应用罗尔定理正确。，0)4(2 xx2 , 0 , 2 321 解得解得0)()()( )3 , 3(),3 , 3(),3 , 3( 321321 fff使使所以存在所以存在 满满足足定定理理的的条条件件并并求求说说明明 )(xf27P11028P110)1 , 0( 解解 ，设设)()( xxfxg 件，件，满足罗尔定理的三个条满足罗尔定理的三个条可导；可导；在在连续；连续；在在则则 0)1()1(, 0)0( )3( )1 , 0( )2( 1 , 0 )1( :)( fggxg由罗尔定理知：由罗尔定理知：，使使存在存

14、在0)( )()( ),1 , 0( ffg)( )( ff ，)()()( xfxxfxg 2 拉格朗日拉格朗日(Langrange)中值定理中值定理29P111abafbff )()()( 30P111,11123)(2 xxxf由拉格朗日中值定理有由拉格朗日中值定理有, 346604)0()4(11123)(),4 , 0(2 fff , 08123 2 即即 ,3322 2 , 1 解得解得,4 , 0 ,4 , 0 21）（）（由于由于 ),(04)0()4()(21 ffff ,33221 ,33222 满足定理的条件并求满足定理的条件并求说明说明 )(xfabafbff )()(

15、)( 31P111例例6 6证证).0( )1ln(1 xxxxx不等式不等式证明证明),1ln()(ttf 设设因因此此可可导导连连续续满满足足条条件件在在 ,(2)(1) , 0 )(xtf).11(11)01ln()1ln( xx 使使.1)1ln( xx), 0( x 有有 ,11 x .)1ln(1 xxxx 32,11)(ttf . 11111 x.11 xxxx P112)( )()()()()( abfafbfabafbff 例例5 5* *证证).0(11)ln()1ln( xxxx不等式不等式证明证明),ln()(xxf 设设因因此此满满足足中中值值定定理理的的条条件件在在

16、, 1 , )(xxxf ).1)()ln()1ln( xxfxx .1)ln()1ln( xx)1 ,( xx .111 ,10 xxx .11)ln()1ln( xxx 33)( )()()()()( abfafbfabafbff ,1)(xxf 34P112abafbff )()()( xarcxxfcotarctan)( 设设证证01111)( 22 xxxfcxf )( 2441cot1arctan)1( arcf又又2 c2cotarctan xarcx故故)()(, 0)()()( 12211212xfxfbaxxxxxfxff CxFxgxfxFxgxfxF )(0)()()(

17、),()()(* * 3 3 柯西柯西(Cauchy)中值定理中值定理35P112)( )( )()()()( gfagbgafbf P113 ,4. 2习题习题1（1） （3）4 （1）36P11237 满满足足定定理理的的条条件件并并求求说说明明解解题题方方法法 )()1( :xf0)( ),.( )()(3,),( )2( , )1( )( 1. fbabfafbabaxf使使则则）（可导可导连续连续满足满足如果如果罗尔定理：罗尔定理：Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxg )()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的

18、关系；罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；abafbffbababaxf )()()( ),.( ),( )2( , )1( )( 2. 使使则则可导可导连续连续满足满足如果如果拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理：)()()()()()( ),.( )0)()3(),( )2( , )1( )(),( 3. gfagbgafbfbaxgbabaxgxf 使使则则可导可导连续连续满足满足如果如果柯西中值定理：柯西中值定理：（2）利用中值定理证明不等式主要是建立函数）利用中值定理证明不等式主要是建立函数f(x)复习复习 0limlnnxxx(n0) 2lim(sectan )xxx

19、未定式未定式 如果在某一过程中如果在某一过程中 函数函数f(x)与与F(x)同是无穷大量或同是同是无穷大量或同是 无穷小量 那么极限)()(limxFxf可能存在、也可能不存在 通常把这种极限叫做未定式 并分别简记为或00 其他类型的未定式其他类型的未定式 例如例如 下列极限都是未定式下列极限都是未定式 30sinlimxxxx nxxxlnlim xxx0lim 30sinlimxxxx nxxxlnlim(n0) xxx)11 (lim xxx)11 (lim 2122)(limxxax (n0) 2lim(sectan )xxx P11338)00()( 0 1000 4. 3 洛必达法

20、则洛必达法则:利用导数求极限的一种方法利用导数求极限的一种方法00 ,1 ,0 , ,0 ,0039P113)()(lim)()(limxgxfxgxf 40P113)()(lim)()(limxgxfxgxf 41P114)00()00()00()()(lim)()(limxgxfxgxf 解解12lim0 xexx原式原式111 解解1 1 lim1xx 原式原式1 解解)1(21lim1 xxx原式原式)1(21lim1 xxx 42P115)00()( 解解221 11 limxxx 原式原式221limxxx 1 解解1 1 limxx 原式原式0 )( 解解11lim xxx原原式

21、式 xx1lim 0 43P115)( 解解aaxxxln3lim2 原原式式aaxxx2ln6lim aaxx3ln6lim 0 )( )( 44P115)00(解解xxx2sinlim0 原式原式21 45P115 1 0 000 先通分先通分解解xxx1lnlim0 原式原式2011limxxx )(lim0 xx 0 解解)cossincos1(lim2xxxx 原式原式)cossin1(lim2xxx )sincos(lim2xxx 0 00通通分分00 ,1 ,0 , ,0 ,00)()(lim)()(limxgxfxgxf 46P116)(ln)(xuexu 00kxfxgxfx

22、gxfxgeeeexfkxfxgxg )(ln)(lim)(ln)()(ln()(limlim)(lim ,)(ln)(lim )(则则若若法则：法则：解解)(ln)(lim0 xfxgx xxxln)sin(lnlim0 xxxx1 )sin()cos( lim0 1)sin()cos(lim0 xxxxeexxx 1ln10)(sinlim)( 47P116解解)ln(tancoslim)2(xxx 1)(tanlim0cos)2( exxx xxxsec)ln(tanlim)2( xxxxxsectantanseclim2)2( 0sincoslim2)2( xxx 解解)ln(11li

23、m1xxx 11lim1 xxeexxx 1111limkxgexfkxfxg )()(lim ,)(ln)(lim 则则若若法则：法则：exxxxxx 111111)1(1(limlim以前方法：以前方法：)( )00(48.tan3tanlim2xxx 求求)( 直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则xxxxxxxx3coscossin3sinlimtan3tanlim22 xxxxxx3coscoslimsin3sinlim22 xxx3coscoslim2 xxx3sin3sinlim2 31 P116*例例13另解另解)00(11 )00(11

24、49P116解解xxx222cos13cos3lim 原式原式xxx3coscoslim3222 xxxxx3sin3cos6sincos2lim32 xxxxx3sin3cossincoslim2 xxxxxx3coscoslim3sinsinlim22 xxx3coscoslim)1(2 xxx3sin3sinlim)1(2 xxx3sinsinlim312 31 )( 11 11 )00(50P117xxxxxxx 30)sincos(lim原式原式30)sincos(limxxxxx 203)cossin(coslimxxxxxx xxx3sinlim0 31 )00()00(51P1

25、171sinlim xxxxxxxx11sin1lim 1 但有界但有界不存在不存在不存在不存在 ,coslim,sinlim xxxx不存在不存在此时洛必达法则不能用此时洛必达法则不能用,1cos1lim1sinlimxxxxxx )( 52三、小结三、小结洛必达法则洛必达法则型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 )(ln)(xuexu 通通分分)()(lim)()(limxgxfxgxf P117 ,4. 3习题习题(1) (2) (9) (10) (21)kxgexfkxfxg )()(lim ,)(ln)(lim 则则若若法则：法则：4. 4 函数的单调性及曲线的

26、凹凸性函数的单调性及曲线的凹凸性1 1 函数的单调性函数的单调性 53P11854P118 y yx( , -2)-2(-2, 4)4(4, )60极大值极大值48极小值极小值+0-0+列表判断列表判断 55P11856P119 y yx( , 0)00, 1/4)1/4(1/4, )60极小值极小值-不存在不存在-0+列表判断列表判断 57P119证证 1 11)(22xxxxxxf 则则上单调减小；上单调减小；在在), 1 )(xf, 0)(1 xfx时，时，当当导数应用：导数应用：利用函数单调性利用函数单调性先构造函数先构造函数, 0)1()( fxf从从而而xxxf123)( 设设,

27、0123 xx即即xx123 58P1192 2 曲线的凹凸性曲线的凹凸性凸凹凹59P120凸凹凹 )(0)( 0)( 0)( 不不存存在在；或或拐拐点点：凹凹，凸凸，xfxfxfxf 60P12061P121 0)( 0)( 0)( ；拐点：拐点：凹，凹，凸，凸， xfxfxf62列表判断列表判断 ),1(12)( xxxf, 0, 1 21 xx可得可得解解,64)(23xxxf , 0)( xf令令二阶导数确定凹凸向和拐点二阶导数确定凹凸向和拐点1 01)- ,(- x0) (-1,) (0, yy 00 23拐拐点点拐拐点点P12163P121P121 ,4. 4习题习题3（1）6（1

28、）4. 5 函数的极值与最大最小值函数的极值与最大最小值1 1极值极值的概念的概念 64P122 函数图形上有些点比其周围点高，函数图形上有些点比其周围点高，有些点比比其周围点低有些点比比其周围点低.极大值点、极小值点统称为极大值点、极小值点统称为极值点极值点，极大值、极小值统称为，极大值、极小值统称为极值极值.极值也叫局部极值极值也叫局部极值2 2 极值的求法极值的求法 65P1220)(,00 xfx驻驻点点极值点为驻点或导数不存在的点极值点为驻点或导数不存在的点P12366P118 y yx( , -2)-2(-2, 4)4(4, )60极大值极大值-48极小值极小值+0-0+列表判断列

29、表判断 P12367 y yx( , 0)0(0, 8)8(8, )0极小值极小值4极大值极大值-不存在不存在+0-列表判断列表判断 ,212)(3331xxxxf ,0)(，令令 xf, 8 1 x得驻点得驻点,0 2导数不存在导数不存在 xP12368P12469P12470P124xxxxf122412)( 23 解解2)1(12 xx, 0)( xf令令, 1, 0 21 xx得驻点：得驻点：124836)( 2 xxxf)143(122 xx)13)(1(12 xx, 012)0( f所以函数有极小值所以函数有极小值,; 1)0( f判断判断改用定理改用定理判断判断不能用定理不能用定

30、理1,3, 0)1( f不是极值。不是极值。两侧有，两侧有，易知在易知在)1(, 0)(1 2fxfx 3 3 函数的最大最小值函数的最大最小值71P12572P12573P12674P126为为所所求求最最值值。则则可可得得驻驻点点解解)(,0)()2(00 xfxxf 实实际际问问题题求求最最值值方方法法：)( )1(xf建立目标函数建立目标函数75P126, 0500008. 00002. 0)( 2 QQxC令令500 Q解得驻点：解得驻点：是是函数函数的的极小值极小值,35)500( C)(21100100,5000)5000100)(500(010254003 , 212623却去

31、却去 QQQQQQQ76P126 设圆柱形易拉罐高为设圆柱形易拉罐高为h ，底面半径，底面半径为为 r， 并假定侧面厚度为并假定侧面厚度为m ，则顶部和，则顶部和底面的厚度分别为底面的厚度分别为2m ，所需材料为，所需材料为解解mhrmrW 2222)2( 22rrhm ,2hrV 由于由于,2rVh 故故)2( 22rrVmW ),4( 22rrVmW , 0)4( 22 rrVmW 令令,43 Vr 易拉罐易拉罐取上述取上述的高和底面直径，易拉罐所用材料最省的高和底面直径，易拉罐所用材料最省。,4223 Vrd ,444332 VrrrVrVh 4 4 经济应用中的最大、最小值的例经济应用

32、中的最大、最小值的例77P127, 016001001)( 2 QxC令令,400 Q解得驻点：解得驻点：是是函数函数的的极小值极小值,28)400( C例例1212某房地产公司有某房地产公司有100套公寓要出租，当租金定为每月套公寓要出租，当租金定为每月5000元时，公寓会全部租出去当租金每月增加元时，公寓会全部租出去当租金每月增加100元元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费费300元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？收入？解解 设房租为每月设房租为每月 x 元，元，租出去的房子

33、有租出去的房子有 套，套， 1005000100 x每月总收入为每月总收入为)(xR)300( x 1005000100 x租不出去租不出去套数套数78P127,100150)300( xx0501531001)300(100150)( xxxxR7650 x唯一驻点唯一驻点故每月每套租金为故每月每套租金为7650元时收入最高。元时收入最高。最大收入为最大收入为元元543900)7650( R5 .26 x元元间间或或租出去租出去5402007473),7700(540200)7600( RRRP127 ,4. 5习题习题1（1）2（1）6(1)一阶导数确定单调性和极值一阶导数确定单调性和极值

34、 (2)二阶导数确定凹向和拐点二阶导数确定凹向和拐点(3)求最大值与最小值求最大值与最小值凸凸凹凹 0)(2) 1 0)(2) 1 0)( . 2.)(0)( )(0)( . 1 xfxfxfxfxfxfxf，）（极小值极小值，）（极大值极大值极值极值单调减少单调减少单调增加；单调增加； 0)( 0)( 0)( xfxfxf；拐拐点点： 不不可可导导点点；凹凸分界点凹凸分界点4-5小结小结 )(),(,),(),(,),(),(max11(min)max(min)bfdfdfcfcfafynm . 3是不可导点；是不可导点；是驻点；是驻点；iidc为为所所求求。则则可可得得解解)(,0)()2

35、(00 xfxxf 实实际际经经济济问问题题)( )1(xf建立目标函数建立目标函数为为所所求求则则可可得得解解)(,0)()2(00 xfxxf 实实际际经经济济问问题题)( )1(xf建立目标函数建立目标函数*4. 6 函数图形的描绘函数图形的描绘1 1 曲线的渐近线曲线的渐近线80P128渐近线分水平渐近线、铅直渐近线、斜渐近线三种渐近线分水平渐近线、铅直渐近线、斜渐近线三种1. 水平渐近线水平渐近线 如果曲线如果曲线y f(x)的定义域是无限区间的定义域是无限区间 且且 bxfx)(lim 或bxfx)(lim 则直线则直线y b为曲线为曲线y f(x)的渐近线的渐近线 称为水平渐近线

36、称为水平渐近线 解解 例 1 求曲线11xy的水平渐近线 因为因为 011limxx 所以y0 是曲线11xy的一条水平渐近线 2. 铅垂渐近线铅垂渐近线 如果曲线如果曲线y f(x)有有 )(limxfcx 或)(limxfcx 则直线则直线x c为曲线为曲线y f(x)的一条渐近线的一条渐近线 称为铅垂渐近线称为铅垂渐近线 解解 例 2 求曲线11xy的铅垂渐近线 因为因为 11lim1xx 11lim1xx所以 x1 是曲线11xy的一条铅垂渐近线 11lim1xx 81 解解 例 3 求曲线12xxy的渐近线 因为因为 1lim21xxx 所以所以x1是曲线的铅垂渐近线是曲线的铅垂渐近

37、线 11lim)(limxxxxfaxx因为因为 11lim)(lim2xxxaxxfbxx所以所以y x 1是曲线的斜渐近线是曲线的斜渐近线 1lim21xxx 11lim)(limxxxxfaxx 11lim)(lim2xxxaxxfbxx 823. 斜渐近线斜渐近线 如果如果则则y ax b是曲线是曲线y f(x)的一条渐近线的一条渐近线 称为斜渐近线称为斜渐近线 其中其中 xxfax)(lim )(limaxxfbx 0)()(limbaxxfx 2. 函数图形的作法函数图形的作法 描绘函数的图形时需要考察的项目描绘函数的图形时需要考察的项目 (1)确定函数的定义域确定函数的定义域 (

38、2)确定曲线的对称性确定曲线的对称性 (3)讨论函数的单调性和极值讨论函数的单调性和极值 (4)讨论曲线的凹向与拐点讨论曲线的凹向与拐点 (5)确定曲线的渐近线确定曲线的渐近线 (6)由曲线的方程计算出一些点的坐标由曲线的方程计算出一些点的坐标 特别是曲线与坐特别是曲线与坐标轴的交点坐标标轴的交点坐标 83P129 (5)描点 8( 3, 2 )9A C(1, 2) E(2, 1) D(1, 6) (6)作出函数的图形 F(3 2/9) B(2, 3) ABCEF (4)曲线有水平渐近 y2 和铅垂渐近线x0 间断3极小值y0y0y(0, ) 0(2, 0) 2(3, 2) 3(, 3)x间断

39、3极小值y0y0y(0, ) 0(2, 0) 2(3, 2) 3(, 3)x982拐点982拐点84P129(1)定义域为定义域为(, 0) (0, + ) 解解 , 3, 0, 2, 0)3(8,)2(4 )2(43 xyxyxxyxxy令令列表列表)3( (4)曲线有水平渐近线y0 (5)先作出区间(0, )内的图形 然后利用对称性作出区间(, 0)内的图形 拐点极大值y0y0y(1, +)1(0, 1)0 x拐点极大值y0y0y(1, +)1(0, 1)0 x1212 e解解 (3)列表列表 (1)函数是偶函数函数是偶函数 定义域为定义域为(, ), 图形关于图形关于y轴对称轴对称 1

40、, 1, 0, 0, 02)1)(1(,2 )2(222121 xyxyexxyexyxx 令令P131P131 ,4. 6习题习题1（1）*3（1）),21, 1(),21, 0(e 拐点拐点极大点极大点 1 , 1 . 4,107 EP 某化工厂的生产总成本某化工厂的生产总成本C（单位：元）是产量（单位：元）是产量Q（单位：（单位：件）的函数。件）的函数。1000403 . 0001. 0)(23 QQQQCC406 . 0003. 0)( 2 QQQC解解86P107 ,4. 1习题习题1；2; 3的经济含义。的经济含义。，并解解释，并解解释，求边际成本函数求边际成本函数)50()50(

41、)(CCQC 习题解习题解做作业要求一定做作业要求一定要要40506 . 0)50(003. 0)50( 2 C517 元元/件件:)50(的经济含义的经济含义C 当生产量为当生产量为50件时，再多生产一件产品，成本大约为件时，再多生产一件产品，成本大约为17.5元。元。2 ,107P,520 QP 已知函数已知函数87,520)()1(2QQpQQR ,5220)(QQR ,520)(QPQpQQR 5)15(1520)15(2 R45300 51520)15( R515220)15( R3205202020)20( 2 R1520)15()20( )2( RRQR平平均均变变化化率率),1

42、5(),15(),15()1( RRR 求求解解；时时总总收收入入的的平平均均变变化化率率增增加加到到从从求求 20 15 )2(Q5255320 ,255 ;17 ,14 ；13 3 ,107P 解解 )3()2( , )()1(,210)( EQPRQPPQQ求求已知需求函数已知需求函数 )21(210)()( )1( PPPQQPPEQ)1107(),(1)()3(定理定理PPEQPER 8820 PP2033)3( )2( EQ )1765. 0(1 )3(1)3( EQER )( 11765. 0)3(缺乏弹性缺乏弹性 EQ)2107( %8235. 0 %1定理定理，收入增加，收入

43、增加价格增加价格增加P并解析并解析 )3( )3(ER;1765. 0173 8235. 0 )1( 1 , 113P89解解, 32)(2 xxxf5 . 1 , 1 , ba显然显然f(x)满足罗尔定理的三个条件满足罗尔定理的三个条件 ),5 . 1(0)1(, 14)(ffxxf , 014)( f有有41 )3( 1 , 103P解解,)(xxf ,9 , 4 , ba,21)(xxf 所以由拉格朗日中值公式得所以由拉格朗日中值公式得 ,49)4()9(21)( fff (1)4 , 113Paababbabba ln ,0 有有时时证明证明证证,1)(, ln)( xxfxxf 设设

44、由拉格朗日中值公式由拉格朗日中值公式 )(1lnabab ),(ba P113 ,4. 2习题习题1（1）(3)4(1),5121)( f,425 )(1lnabab bab,aab aababbab ln 并并求求满满足足定定理理的的条条件件说说明明 )(xf0)( fabafbff )()()( xeexxx 0lim )1(解解1lim 0 xxxee 2 原式原式123lim )2(23231 xxxxxx解解 原式原式12363lim22221 xxxxx xxxxxlnlnlim )9( 解解 原式原式P117 ,4. 3习题习题(1）(2)(9)(10)(21)1ln11lim

45、xxx)1(ln1lim xxxx11ln1lim xx00)111(lim )10(0 xxex解解 原式原式)1(1lim 0 xxxexxexxxxxeee 11lim 0 xxxxxeee 2lim 021 11)(lnlim )21( xxx解解 原式原式xxxelnln11lim 1lnlnlim xxxe10 e1ln1lim xxxe 0 00 通分通分 00000 当当x (, 1)时时 f (x)0 函数函数f(x)在在(, 1)内单调增加内单调增加 )1(3 ,121P解解确定函数的单调增减区间确定函数的单调增减区间 31292)(23 xxxxf2)3-6( 12186

46、)(22 xxxxxf，令令02)1)(6()( xxxf2,1, 21 xx得得函数函数f(x)在在(2, )内单调增加内单调增加 当当x (2, )时时 f (x) 0 P121 ,4. 4习题习题3（1）6（1） y yx( , 1)1(1, 2)2(2, )-0+0列表判断列表判断 +函数函数f(x)在在(1, 2)内单调少内单调少 当当x (1, 2)时时 f (x)0 一阶导数确定单调性和极值一阶导数确定单调性和极值极小值极小值极大值极大值 所以函数所以函数f(x)在在x=1取得极大值取得极大值2 函数函数f(x)在在x=2取得极小值取得极小值1 21 解解 求曲线求曲线y 3x4

47、 4x3 1的凹向与拐点的凹向与拐点 y 12x3 12x2 y36x2 24x 12x(3x 2) 令令y0 列表判断列表判断 曲线在区间曲线在区间( 0) ( 2/3 )内凹内凹 在区间在区间(0 2/3 )内凸内凸 曲线上点曲线上点(0 1)和和(1 0)是拐点是拐点 92二阶导数确定凹向和拐点二阶导数确定凹向和拐点,320, 21 xx得得0320) ,(- x)32 (0,),32( yy 00 12711拐拐点点拐拐点点6.(1) 121P解解 列表判断列表判断 f(x) f (x) 00 x( 0) 02(2 )(0 2) 93 5 . 4,127 EXP1（2）求函数的极值求函

48、数的极值 43)(23 xxxf,63)(2xxxf ，令令0)( xf , 2, 0 xx得得极小值极小值 极大值极大值 4 0 所以函数所以函数f(x)在在x=0取得极大值取得极大值4 函数函数f(x)在在x=2取得极小值取得极小值0 P127 ,4. 5习题习题1（2）4，7944 5 . 4,127 EXP设某产品日产量为设某产品日产量为QQ件时件时, 需要付出的总成本为需要付出的总成本为10000800.0025)(2 QQQC求求 (1)平均成本函数平均成本函数（2 2）平均成本最小时的生产量；）平均成本最小时的生产量；（3 3）平均成本等于边际成本时的生产量；）平均成本等于边际成

49、本时的生产量；解解 QQCQC)()()1( , 0100000.0025)( )2(2 QQC令令 10000)5(22，解解得得驻驻点点： Q8020.0025)( QQCQQQC10000800.0025)()3( , )(2000 件件解解得得 QQQ10000800.0025 , )(2000 件件 Q,0.002510000QQ ,0.0025100002Q ,)5(1000022Q 957 5 . 4,128 EXP40040.0001)(2 QQQC解解 解解得得40060000005. 060006)6000( 2最最大大利利润润 L QP0004.010 20004. 01

50、0)( QQPQQR 收收入入4000005. 062 QQ0001. 06)( QQL令令总成本函数为总成本函数为需求函数为需求函数为？最大，最大利润是多少最大，最大利润是多少为多少时？总利润为多少时？总利润问当问当LQ400-4-0001. 00004. 01022QQQQ CRQL )( 利润利润,6000 （件件） Q（美美元元）17600 4001800036000 96P131 ,4. 6习题习题1（1）3（1）1(1) 6 . 4,131 EXP所以曲线所以曲线水平渐近线水平渐近线所以曲线所以曲线铅直渐近线铅直渐近线所以曲线所以曲线没有斜渐近线没有斜渐近线求曲线的求曲线的渐近线渐

51、近线xxysin1 , 0sin1limlim xxyxx; 0 y; 0 x,sin1limlim00 xxyxx, 0sin1lim)(lim2 xxxxfaxx973(1) 6 . 4,131 EXPxxy3 3 作函数的图形作函数的图形1 x x 98三、解答以下各题（每小题三、解答以下各题（每小题4分）分）.32243 . 423的拐点坐标的拐点坐标求函数求函数 xxxy解解,2463 2 xxy, 066 xy, 1 x可可得得曲线凸；曲线凸；当当, 0)(),1 ,( xfx曲线凹；曲线凹；当当, 0)(), 1( xfx.6 , 1)1(, 1）（）（所以曲线的拐点坐标是所以曲

52、线的拐点坐标是 f意义。意义。件的边际成本及其经济件的边际成本及其经济求日产量为求日产量为（元）（元）需要付出的总成本为需要付出的总成本为时时设某产品日产量为设某产品日产量为500,160020100)(, . 52 QQQCQ解解元元。件件产产品品，成成本本增增加加件件时时，再再生生产产经经济济意意义义：当当日日产产量量为为元元，件件的的边边际际成成本本为为日日产产量量为为30150030500,30)500(,2050)( CQQC二阶导数确定凹向和拐点二阶导数确定凹向和拐点边际函数边际函数导数导数 )(xf练习题练习题099六、综合应用题（本题六、综合应用题（本题10分）分）设函数设函数

53、 求函数的单调区间、极值点极值求函数的单调区间、极值点极值,3)( 32xxxf 解解 y yx( , 0)00, 8)8(8, )0极小值极小值4极大值极大值-不可导不可导+0-一阶导数确定单调性和极值一阶导数确定单调性和极值, 01123 xy列表：列表：，不可导点，不可导点驻点驻点可得可得, 08, 23 xxx100 解解 (1) 所以所以Q 200时时 平均成本最小平均成本最小 Q2 40000 Q 200(取正值取正值) 令令 C 0 得得,01. 030400)()(QQQQCQC 01. 0400)(2 QQC求最大值与最小值求最大值与最小值七（七（10分）已知某厂生产分）已知

54、某厂生产Q件产品的成本为件产品的成本为 求：（求：（1） 若使平均成本最小，应生产多少件产品若使平均成本最小，应生产多少件产品？ （2） 若产品以每件若产品以每件60元售出，要使利润最大，应生产多元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？少件产品？)(01. 030400)(2元元QQQC (2) 令令L (Q) 0，Q 1500 所以当所以当 Q 1500时总利润时总利润L最大最大 )01. 030400(60)()()(2QQQQCQRQL QQQL02. 03002. 03060)( 21)1( xx ,01. 04002Q ,02. 030Q 101 )1ln1(lim. 11 xxxx

55、求求21 洛必达法则洛必达法则型，方法：通分型，方法：通分 通通分分再用洛必达法则再用洛必达法则附加题（附加题（6分）分）xxxxxxln)1(ln1lim1 xxxxx1ln1ln1lim1 1lnlnlim1 xxxxxx11ln1lnlim1 xxx102 解解 . 0)(),( )()(;),(;, :)()1( fbabfafbabaxf使使得得则则存存在在可可导导开开区区间间连连续续闭闭区区间间满满足足三三个个条条件件罗罗尔尔定定理理：如如果果函函数数. 0)1()()2 , 0(1 ffx ，使，使有有0)(),2 , 0(: , 2674)(2 1 . 3234 fxxxxxf

56、使得使得存在存在试证试证）设函数）设函数（）试述罗尔定理）试述罗尔定理（:12 ）证法）证法（, 0614124)( 23 xxxxf令令, 0)342)(1(3762 223 xxxxxx，：证法证法614124)(2 23 xxxxf,)2(2)0(;)2 , 0(;2 , 0 :)(三个条件三个条件可导可导开区间开区间连续连续闭区间闭区间满足满足易知函数易知函数ffxf . 0)(),2 , 0( f使得使得则由罗尔定理，存在则由罗尔定理，存在理论证法理论证法实际证法实际证法结束结束1031. 函数函数 在闭区间在闭区间0,3满足罗尔定理的条件，满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的由罗尔

57、定理确定的xxxf 3)() ( 练习题练习题1 2. 设某商品的成本函数为设某商品的成本函数为 ，其中，其中Q为生产量，其单为生产量，其单位为件，为总成本位为件，为总成本C，单位为元。边际成本，单位为元。边际成本 的的经济学含义是（经济学含义是（ ）20)100( f)(QfC ).111(lim. 30 xxex求求4. 设函数设函数 求函数的单调区间、极值点、求函数的单调区间、极值点、极值，以及函数图象的凹凸区间、拐点坐标。极值，以及函数图象的凹凸区间、拐点坐标。 ,3)( 32xxxf 5、已知某厂生产、已知某厂生产x件产品的成本为件产品的成本为 （元），求：（元），求：（1） 若使平

58、均成本最小，应生产多少件产品若使平均成本最小，应生产多少件产品？ （2） 若产品以每件若产品以每件110元售出，要使利润最大，应生产多少元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？件产品？ .)1ln(, 0 . 6xxx 时时当当证明证明104,3213)(xxxxf ，令令0)( xf, 03213 xxx即即, 0)3( 2 xx2 x 1. 函数函数 在闭区间在闭区间0,3满足罗尔定理的条件，满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的由罗尔定理确定的xxxf 3)() ( 2练习题练习题1 2. 设某商品的成本函数为设某商品的成本函数为 ，其中，其中Q为生产量，其单为生产量，其单位为件，为总成本

59、位为件，为总成本C，单位为元。边际成本，单位为元。边际成本 的的经济学含义是（经济学含义是（ ）20)100( f)(QfC 当生产量为当生产量为100件时，再多生产一件产品，成本大约为件时，再多生产一件产品，成本大约为20元。元。).111(lim. 30 xxex求求 )111(lim0 xxex解解)1(1lim0 xxxexxexxxxxeee )1(1lim0 xxxxxxeeee 0lim21 洛必达法则洛必达法则型型，方方法法：通通分分 1054. 设函数设函数 求函数的单调区间、极值点、求函数的单调区间、极值点、极值，以及函数图象的凹凸区间、拐点坐标。极值，以及函数图象的凹凸区

60、间、拐点坐标。 ,3)( 32xxxf 解解 y yx( , 0)0(0, 2)2(2, )0极小值极小值4极大值极大值-0+0-一阶导数确定单调性和极值一阶导数确定单调性和极值二阶导数确定凹向和拐点二阶导数确定凹向和拐点, 0)2(336)(2 xxxxxf, 2, 0 xx可可得得列表判断列表判断 列表判断列表判断 曲线在区间曲线在区间( 1) 凹凹 (1 )凸凸 点点(1 2)是拐点是拐点 xy y1(- , 1)(1, + ) 0 2,拐点拐点, 0663)2(3)( xxxxf, 1 x可得可得说明略说明略1065、已知某厂生产、已知某厂生产x件产品的成本为件产品的成本为 （元），求