尖子生培优 有理数讲义及答案

1、有理数培优知识导引本讲的主要内容是从自然数到分数和有理数的概念，小学数学主要学习了自然数、分数（小数）及数的运算，并且这种“数”的概念是建立在一种意义上的，实际上，仅有自然数和分数是不够的，数还需作进一步的扩展，实际生活、生产中大量的量从其意义上来理解却具有相反的意义，为了准确地区分这些相反意义的量就有必要引入负数，用正数和负数来区分这些具有相反意义的量，这样就产生了有理数的概念，所以有理数其实是对数的进一步认识，是数的一次重要扩充。建立了有理数的概念之后，又不要对有理数进行分类，有理数通常按两种不同的标准进行分类：一是以有理数的正负性为主要标准，将有理数分为正数、零和负数三大类；二是以有理数

2、的整数和非整数为主要标准，将有理数分为整数和分数两大类。这里要注意的是零既不是正数也不是负数，具体的数的概念应从其意义上理解，例如“负整数”应理解为“负数中的整数”等等。典例精析例 1：珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地处都标有表明高度的数（单位：米），如图所示，这些数通常称为海拔，它是相对于海平面来讲的，请说出图中所示的数 8848 和155 表示的实际意义，海平面的高度用什么数表示？例 2：（1）如果把商店盈利 100 元记做100，那么亏损 20 元记做（2）如果把仪表的指针逆时针转 3 圈

3、记做3，那么2 圈表示把仪表的指针（3）正常水位为 0，水位高于正常水位 0.2 米时可记做0.2 米，那么0.5 米表示什么意思？例 21：（1）下列说法中，不具有相反意义的一对量是（）A、向东 3.5 米和向南 2 千米B、上升 5 米和下降 1.8 米C、收入 5000 元和亏损 1500 元D、零上 6和零下 7（2）若火箭发射点火前 5 秒记为5 

4、秒，那么火箭发射点火后 10 秒应记为（）A、10 秒B、5 秒C、5 秒D、10 秒- 1 -例 3：把数7，4.8，4，0，9，7.9，12， - 3  145，23，800%， - 1 分别填在相258应的位置内。正数：；负数：；整数：；正整数：；负分数：；非负数：。例 4：佳佳和小超玩一个抽卡片游戏：有一叠卡片，每张上面都写着一个数字，两人轮流从中抽取，若抽到的卡片上的数字大于 10，就加上这个数字，若抽到的

5、卡片上的数字不大于10，就减去这个数字。第一轮抽卡完毕（没人抽 4 张），两人抽到的卡片如图所示，若规定从 0 开始计算，结果小者为胜， 那么第一轮抽卡谁获胜？例 5：在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数， abc （a、b、c 依次是这个数的百位、十位和个位数字），并请这个人算出 5 个数 acb ， bac ， bca ， cab 和 cba 的和 N，把 

6、;N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数 abc 。现在设 N3194，请你当魔术师，求出数 abc 来。- 2 -例 6：图 1 是一个 9×9 的方格图，有粗线隔成 9 个横竖各有 3 个格的“小九宫”格，其中，有一些方格填有 1 至 9 中的数字，小鸣在第九行的空格中各填入了一个不大于9 的正整数，使每行、每列和每个“小九宫”格内的数字都不重复，然后

7、小鸣将第 9 行的数字从左向右写成一个 9 位数，请写出这个 9 位数，并简单说明理由。探究活动例：观察下列式子：2 ´ 3  = 2  -，  3 ´ 43  -111´ 2 = 1 - 2 ，1   1  1   1 

8、0; 1  1=3 4将以上三个等式两边分别   相   加   得   ：11´ 2 +12 ´ 3 +13 ´ 4 = 1 -12 +1 12 - 3 +13 -14 = 1 -1  34

9、0;= 4n(n + 1)  =（1）猜想并写出：1（2）直接写出下列各式的计算结果：；    11´ 2  +  2 ´ 33 ´ 4  +¼+11+12015 ´ 2016 =；    11´ 2  +  2

10、0;´ 33 ´ 4  +¼+  n(n + 1)111+=         ；（3）计算：     12 ´ 4  +  4 ´ 66 ´ 8  +¼+  2

11、014 ´ 2016111+- 3 -学力训练A组务实基础1、关于 0 有下列说法：既不是正数，也不是负数；是整数；不是最小的整数，是最小的有理数；不是自然数，是有理数。其中正确的个数有（）A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个2、下列说法正确的是（）A、“向东 5 米”与“向西 5 米”不是相反意义的量B、如果气球上升 25 米记做25 米，那么15 米的意义就是下降 15 米C、如

12、果气温下降 6记做6，那么8的意义就是下降零上 8D、若将高 1 米设为标准 0，高 1.20 米记做0.2 米，那么0.05 米所表示的高为 0.95 米3、黄石市某日一天的温差为 11，最高气温为 t，则最低气温可表示为（）A、（11t）B、（11t）C、（t 11）D、（t 11）4、实际测量一座山的高度时，可在若干个观测点中测量每两个相邻可视观测点的相对高度，然后用这些相对高度计算出山的高度，下表是某次测量数据的部分记录（用AC 

13、;表示观测点 A 相对观测点 C 的高度）根据这次测量的数据，可得观测点 A 相对观测点 B 的高度是（）A、201 米B、130 米C、390 米D、210 米5、把下列个数填入相应的数集圈：2.1，0，2，1       5 ·，10，   ，5.8，6.2，50%5       2正

14、数集负数集分数集整数集6、观察下列各数，找出规律并填空：（1）1，3，6，10，；（2）1，2，4，7，11，；（3）1，1，2，3，5，8，；- 4 -（4）1，2，3，4，5，6，7，8，第 1000 个第 2007 个7、正整数按图中的规律排列，请写出第 20 行、第 21 行的数字：。8、一点 P 从距原点 1 个单位的 A 点处向原点方向跳动，第一次跳动到 OA 的中点 A 处，第1二次

15、从 A 点跳动到 OA 的中点 A 处，第三次从 A 点跳动到 OA 的中点 A 处，如此不断的112223跳下去，则第五次跳动后，该点 P 到原点 O 的距离为9、宁波慈溪盛产杨梅，M 公司今年获得大丰收，共产杨梅 162 吨，其中第一批成熟的杨梅有 62 吨，批发价是每千克 10 元；第二批成熟的杨梅有 60 吨，批发价是每千克 8&

16、#160;元；第三批成熟的杨梅每千克 4 元，问：M 公司今年的杨梅总共卖了多少钱？10、某检修小组从 A 地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下（单位：千米）：（1）求收工时距 A 地多远。（2）在第次记录时距 A 地最远。（3）若每行驶 1 千米耗油 0.3 升，则共耗油多少升？- 5 -B组瞄准中考1、（安徽中考）在1，0，1，2 这四个数中，既不是正数也不是负数的是（）A、1

17、B、0C、1D、2（2、 成都中考）如果某台家用电冰箱灵藏室的温度是4，冷冻室的温度比冷藏室的温度低22，那么这台电冰箱冷冻室的温度为（）A、26B、22C、18D、163、（嘉兴中考）一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）A、2010 个B、2011 个C、2012 个D、2013 个4、（南昌中考）按照如图所示的操作步骤，若输入 x 的值为2，则输出的值为5、（南京中考）如图所示，A 是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点 O（

18、A 点与 O 点重合），假设硬币的直径为 1 个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点 A 恰好与数轴上的点 A 重合，则点 A 对应的数是6、（深圳中考）邓老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下：那么，当输入的数据为 7 时，输出的数据是7、（南京中考）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依循环报数，规定：甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为 1，2，3，4，接着甲报 5，乙报 6，按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数打&

19、#160;1，当报到的数是 50 时，报数结束；若报出的数为 3 的倍数，则报该数的同学需拍一次手，在此过程中，甲同学需拍手的此数为8、（南平中考）水葫芦是一种水生漂浮植物。，有着惊人的繁殖能力，据报道，现已经造成某些流域河道堵塞、水体污染等严重后果，据研究表明：适量的水葫芦生长对水体的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1 株水葫芦每 5 天就能繁殖 1株（不考虑植株死亡、被打捞等其他因素）。（1）假设江面上现有 1 株水葫芦，请填写下表：- 6 -（

20、2）假设某些流域内水葫芦维持在 33 万株以内对水体净化有利，现若有 10 株水葫芦，请你尝试利用计算器进行探究：照上述生长速度，多少天后水葫芦约有 33 万株？9、（资阳中考）某市有一块土地共 100 亩，某房地产商以每亩 80 万元的价格购得此地，准备修建“和谐花园”住宅区计划在该住宅区内建造八个小区（A 区，B 区，C 区H 区），其中 A 区，B 区各修建一栋 24 层楼房；C 区，D&#

21、160;区，E 区各修建一栋 18 层楼房；F 区，G 区，H 区各修建一栋 16 层楼房为了满足市民不同购房需求，开发准备将 A 区，B 区两个小区都修建成高档住宅，每层 800 m 2 ，初步核算成本为 800 元/ m 2 ；将 C 区，D 区，E 区三个小区都修建成中档住宅，每层 800 m 2 ，初步核算成本

22、为 700 元/ m 2 ；将 F 区，G 区，H 区三个小区都修建成经济适用房，每层 750 m 2 ，初步核算成本为 600 元/ m 2 整个小区内其他空余部分土地用于修建小区公路通道，植树造林，建花园，运动场和居民生活商店等，这费用加物业管理费，设置安装楼层电梯等费用共计需要 9900 万元开发商打算在修建完工后，将高档，中档和经济适用房平均分别为 3000 元/

23、60;m 2 ，2600 元/ m 2 和2100 元/ m 2 的价格销售若房屋全部出售完，请你帮忙计算出房地产开发商的赢利是多少万元？10、（杭州中考）如果 a、b、c 是三个任意的整数，那么在a + b  b + c  c + a，     ，     这三个数2 

24、;2 2中至少会有几个整数？请利用整数的奇偶性简单说明理由- 7 -C组冲击金牌1、在一个办公室里，经理在一天的不同时刻要交给秘书打印的信件，每次将信件放在秘书的信堆的最上面，秘书有时间就将信堆最上面的信件取来打印，假定共有 5 封信，按经理交来的时间顺序分别编号为 1，2，3，4，5（最先拿来的是 1 号），在下列各选项中，哪一个顺序不可能是秘书打印的顺序（）A、12345B、45231C、24351D、354212、从巴兹尔家到游泳池的路上有 17 棵树在去游泳池和返回时，巴兹尔用红丝带系在

25、一些树上做标记去游泳池的时候，他在第一棵树、第三棵树、第五棵树上做了标记返回时，他在遇到的第一棵树、第四棵树、第七棵树上做了标记，每次都留下两棵树没做标记他回到家时，没有被标记的树的棵数为（）A、4 棵B、5 棵C、6 棵D、7 棵3、李老师从油条的制作中受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1 的对应点的线段 AB，对折后（点 A 与点 B 重合）再均匀地拉成 1 个单位长度的线段，这，   均变成 1一过程称为一次

26、操作（如在第一次操作后，原线段 AB 上的 13，1 变成 1 等）那4422么在线段 AB 上（除点 A，B）的点中，在第二次操作后，恰好被拉到与1 重合的点所对应的数的和是（第 3 题图）（第 4 题图）4、如图，时钟的钟面上标有 1，2，3，12，共 12 个数，一条直线把钟面分成了两个部分请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，则其中的三个部分所包含的几个数分别是；和5、一

27、些确定的并排排列的数叫做数列，数列中的一个一个数叫做项，如果对于第一项乘上一个数可以得出第二项，第二项再乘上相同的数可以得出第三项（乘数不只限于整数） 依此类推，可以得到一个等比数列现在请做出一个项数最多的等比数列，其每一项都是100以上、1000 以下的整数，不包括乘以 1 的数列，请列出此等比数列的每一项- 8 -3、正数：4.8，4，0，23，800%，  4第一讲有理数参考答案典例精析1、图中所示的数 8848 表示海拔为高于海平面 8848 米，图中所示155

28、60;表示海拔为低于海平面 155 米，海平面的高度用数字 0 来表示。2、（1）20（2）顺时针转 2 圈（3）0.5 米表示水位低于正常水位 0.5 米。21、（1）A（2）D15负数：7，9，7.9，12， - 3， - 1 528整数：7，4，0，9，12，23，800%正整数：4，23，800%负分数：7.9， - 3 125 4， - 1   非负数：4.

29、8，4，0，23，800%， 8 54、佳佳所抽卡片的计算结果为：0（4.5）115.5104.5115.5100超所抽卡片的计算结果为：010.5（4）5.29.810.545.29.814.5150.5。因为0.50，所以第一轮抽卡小超获胜。5、将 abc 也加到和 N 上，这样 a、b、c 就在每一数位上都恰好出现两次，所以有 abc N222（abc），从而 3194222（abc）10941000.而 a、b、c 是整数，所以 15abc18；因

30、为 222×153194136，222×163194358，222×173194580，222×183194802，其中只有 35816，能满足式，所以 abc 358.6、第 7 行、第 8 行和第 3 列有数字 9，所以原题图 1 左下角的“小九宫”格中的数字 9 应当填在（9，2）格子中；第 1 列、第 2 列、第 6 列和第 7&

31、#160;行有数字 5，所以原题图 1 左下角的“小九宫”格中的数字 5 只能填在（9，3）中；第 7 行、第 8 行有数字 6，图 1 中下部的“小九宫”格中的数字 6 应当填在（9，6）中；此时，在第 9 行尚缺数字 7 和 3，由于第 9列有数字 7，所以，7 应当填在（9，8）中；3 自然就填在（9，9）中了。探究活动（1）A组1   1           2015      n         1007- （2） &#