第3讲等比数列及其前n项和

1、魯知识丁住回顾最新考纲考向预测1理解寻化戳列胡豊忠*韋寻比敢列的11厢公 盍与初“昭崛娈it2.能崔貝律的问朝悄境中VUM散內的零比关耐 卸救列的超爻却祝解决相谥的何Qt1 了耕吊比股列T册捡匝过的)t黑一4H©5車踊戏第豪坤比故列的通瑁"祢”阳剛&性庞为主*裁比數弭的证 明血呈咼巻的烙点本佛内容槎胡粤'I1阮町氐灯腥稈IS.取空题的 廉式逬行詈壷"IknfLIUWW的證进和琴査.斡客趣柱往与導 基弦列农种.%專戎爭何剋切合智生素养J第3讲等比数列及其前n项和理較町軒理型帝知识、知识梳理1. 等比数列的有关概念(1) 定义如果一个数列从第2项起，每

2、一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个q表示.数列就叫作等比数列这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母等比中项如果a、G、b成等比数列，那么 G叫做a与b的等比中项.即：G是a与b的等比中 项? G2= ab.“a, G , b成等比数列”是“ G是a与b的等比中项”的充分不必要条件.2. 等比数列的有关公式(1)通项公式：an= aiqn 1na1, q= 1,前 n 项和公式：Sn= a1 (1 qn)a1 anq-=-,qz 1.1 q1 q3. 等比数列的性质已知数列 an是等比数列，Sn是其前n项和(m, n, p, q, r, k N +(1)若 m + n = p

3、+ q= 2r，贝U am - an= ap - aq = ar.(2)数列am, am + k, am+ 2k, am+ 3k,仍是等比数列.(3) 数列Sm, S2m- Sm, S3m S2m ,仍是等比数列(此时an的公比q工一1). 常用结论1. 正确理解等比数列的单调性当q>1, a1>0或0<q<1, a1<0时, an是递增数列;当q>1, a1<0或0<q<1, a1>0时， an是递减数列;当q = 1时，an是常数列;当q = 1时，an是摆动数列.2 记住等比数列的几个常用结论若an, bn(项数相同)是等比数列

4、，则入加(将0), 1，an, an bn,詈仍是 等比数列.在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an, an+ k, an+ 2k , an+ 3k，为等比数列，公比为qk.(3)个等比数列各项的 k次幕，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的 k次幕.(4) an为等比数列，若ai a2 - - a n= Tn,则Tn ,辛，g,成等比数列.ai(5) 当q丰0, q1时，Sn= k k qn(k 0)是an成等比数列的充要条件 ，此时k=-1 q(6) 有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等特别地，若项数为奇数时还等于中间项的平方.二、教材衍化1 在3与192中

5、间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为 解析：设该数列的公比为 q,由题意知，192= 3X q3, q3= 64,所以 q = 4.所以插入的两个数分别为3X 4 = 12, 12X 4= 48.答案：12, 4812. 已知an是等比数列，a2= 2, a5 = 4,则公比q =解析:S10 S5S5132因为S5 , S10 S5, S15 S10成等比数列且公解析：由题意知q3 =匪=1,所以q=；.a2 82答案：123.等比数列an的首项a1 = 1,前n项和为Sn,若§ =五，则an的通项公式an =1 1 11比为 q5,所以 q5 = 32，q =

6、2，则 an= 1 x -= -1 n-1答案：1走出逞区一、思考辨析判断正误(正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 与等差数列类似，等比数列的各项可以是任意一个实数.()(2) 公比q是任意一个常数，它可以是任意实数. ()三个数a, b, c成等比数列的充要条件是b2= ac.()答案：(1)x (2) x (3) x二、易错纠偏常见误区|K (1)忽视项的符号判断；(2)忽视公比q= 1的特殊情况；忽视等比数列的项不为 0.1. 在等比数列an中，a3= 4, a7= 16,则a3与a7的等比中项为 .解析：设a3与a7的等比中项为 G ,因为a3 = 4, a7= 16,所以G2=

7、4x 16= 64,所以G =±8.答案：拐2. 数列an的通项公式是an= an(a丰0)，则其前n项和Sn=解析:因为a0, an= an,所以an是以a为首项，a为公比的等比数列.当 a = 1时,Sn= n;当a (1 an)a工1时Sn =答案:3.已知n, a= 1,a (1 an)c ,1a ，a 工 0，护 1x, 2x+ 2, 3x+ 3是一个等比数列的前三项，贝Ux的值为解析：因为x, 2x+ 2, 3x+ 3是一个等比数列的前三项，所以(2x+ 2)2= x(3x+ 3),即 x2 + 5x+ 4= 0,解得x= 1或x= 4.当x = 1时，数列的前三项为一1

8、 , 0, 0,不是等比数列，舍去.答案：4考点H等比数列基本量的运算(师生共研)I (1)(2019高考全国卷 川)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15,且a5= 3a3 + 4ai，贝U a3=()A. 16B. 8C. 4D. 2(2)等比数列an中，a1= 1, a5= 4a3. 求an的通项公式； 记Sn为an的前n项和.若Sm= 63，求m.【解】选C.设等比数列an的公比为q,由a5= 3a3+ 4a1得q4= 3q2+ 4,得q2= 4,因为数列an的各项均为正数，所以q =2,又a1+a2+a3+a4=a1(1+ q+ q2 + q3)=a1(1 + 2+ 4 +

9、8)= 15,所以 a1= 1,所以 a3= a1q2= 4.(2)设an的公比为q,由题设得an= qn1.由已知得q4= 4q2,解得q= 0(舍去)或q= 2或q= 2.故 an= ( 2)n 1 或 an= 2n 1.若 an= ( 2)n 1，则 Sn =1( 2)3_n-由 Sm = 63 得(2)m = 188,此方程没有正整数解.若 an= 2n 1,则 Sn = 2n 1.由 Sm= 63 得 2m= 64,解得 m= 6.综上，m = 6.解决等比数列有关问题的2种常用思想方程的思想等比数列中有五个量a1, n, q, an, Sn, 一般可以知一求一，通过列方程(组)求关

10、键量a1和q,冋题可迎刃而解分类讨论的思想等比数列的前n项和公式涉及对公比 q的分类讨论，当q= 1 时，an的前n项和 3= na1 ;当q丰1时，an的前n项和Sna1 (1 qn)a1 anq1 q1 q1 21.（一题多解）（2019高考全国卷I ）记Sn为等比数列an的前n项和，若ai = 3，a a6, 则 S5=.解析：通解：设等比数列an的公比为q,因为a4= a6,所以（aiq3）2= aiq5,所以aiq= 1,1又a1 = 3,所以q = 3,1齐(1 - 35)1-31211优解：设等比数列an的公比为q,因为a2= a6,所以a2a6= a6,所以a2= 1,又a1=

11、 3,1a1 (1 - q5)3X (1 - 35)所以q= 3,所以S5=答案:1211213 .1-q1 - 32.已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn, a1 = - 1, b1= 1, a2 + b2 = 2.(1)若a3+ b3= 5,求bn的通项公式；若T3= 21,求S3.解：设an的公差为d, bn的公比为q,则an=- 1 + (n 1)d, bn= qn-1由 a2+ b2= 2 得 d+ q = 3.(1) 由 a3+ b3= 5 得 2d + q2= 6.d = 3,d= 1,联立和解得(舍去),q= 0q= 2.因此bn的通项公式为 bn=

12、2n-1.(2)由 b1= 1 , T3= 21 得 q2+ q 20= 0, 解得q= - 5或q = 4.当q = - 5时，由得d= 8,贝U S3 = 21. 当q = 4时，由得d=- 1,贝U S3 = -6.考点等比数列的判定与证明（师生共研）例2 （2018咼考全国卷I ）已知数列an满足ai= 1, nan+1 = 2（n+1）an.设bn=.求 b1, b2, b3；判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；求an的通项公式.2 （n + 1）【解】（1）由条件可得an+ 1=an.n将n = 1代入得，a2= 4a1,而 a1= 1,所以，a2= 4.将n = 2代入得，a

13、3= 3a2,所以，a3= 12.从而 b1= 1, b2= 2, b3 = 4.（2） bn是首项为1,公比为2的等比数列.an+ 12an由条件可得=n + 1二 ? n即 bn+ 1 = 2bn ,又b1= 1,所以bn是首项为1 ,公比为2的等比数列.（3）由（2）可得 an= 2ni,所以 an= n 2n1.113等比数列的4种常用判定方法定义法an+1an右a = q（q为非零常数,n N+）或=q（q为非零常数且n2,anan-1n N+）,则an是等比数列中项公式法右数列 an中，an0且a2+1 an an + 2（n N+）,则数列 an是等比数列通项公式法若数列通项公式

14、可写成an= cqn-1（c, q均是不为0的常数，n N+）,则an是等比数列前n项和若数列 an的前n项和Sn= k qn- k（k为常数且0, q丸，1）,公式法则an是等比数列提醒(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.1 .已知数列an的前 n项和为 Sn, ai= 1, Sn+i= 4an+ 2(n N*),若 bn= an+1 -2an,求 证：bn是等比数列.证明：因为 an + 2 = Sn + 2 Sn+ 1 = 4an + 1 + 2 4an- 2=

15、 4an + 1 4an,bn + 1 an+ 2 2an+ 1 4an + 1 4an 2an+ 1所以 =bnan + 1 2anan+1 2an2an+1 4an= =2.an+1 2an因为 S2= a1 + a2= 4a1 + 2,所以 a2= 5.所以 b1= a2 2a1 = 3.所以数列bn是首项为3,公比为2的等比数列.2.已知数列an的前n项和为 3,且Sn= 2an 3n(n N+).(1)求 a1, a2, a3 的值；是否存在常数 人使得an+莎为等比数列？若存在，求出入的值和通项公式 an,若不存在，请说明理由.解：(1)当 n= 1 时，S = a1 = 2a1

16、3,解得 a1 = 3,当 n = 2 时，S2= a1+ a2= 2a2 6,解得 a2= 9,当 n = 3 时，S3= a1+ a2+ a3= 2a3 9,解得 a3= 21.假设an + %是等比数列,则(a2 +片2= (a1 + /)(a3 +为,即(9 + ?)2= (3 +为(21 + ?),解 得 %= 3.下面证明an+ 3为等比数列：因为 Sn= 2an 3n,所以 Sn+1 = 2an +1 3n 3,所以 an+1 = Sn+1 Sn= 2an+1 2an 3, 即 2an+ 3 = an+1,an+1 + 3所以 2(an+ 3) = an+1+ 3,所以=2,an

17、+ 3所以存在 匸3,使得数列an+ 3是首项为ai+ 3 = 6,公比为2的等比数列.所以 an+ 3 = 6 x 2nT ,即 an= 3(2n 1)(n N+).老占曰等比数列的性质(多维探究)角度一等比数列项的性质t I (1)若等比数列an的各项均为正数，且aioaii+ a9ai2= 2e5，贝V In ai+ ln a2+ In a20 =.等比数列an的前 n 项和为 3,若 an>O,q>i, a3+ a5= 20, a2a6= 64,则 S5=.【解析】因为 aioaii+ a9ai2= 2aioaii = 2e5,所以 aioaii = e5.所以 ln ai

18、+ ln a2 + + ln a2o=In (aia2 a2o)=ln(aia20) (a2ai9)(aioaii)10=ln (aioaii)= i0l n( aioaii)=i0ln e5= 50ln e = 50.a3 + a5= 20,(2)由等比数列的性质，得a3a5= a2a6= 64,于是由且an>0, q>i,得a3a3a5= 64,aiq2= 4,ai = i,i x (i 25)=4, a5= i6,所以解得所以S5= 3i.aiq4= i6,q= 2.i 2【答案】(i)50 (2)3i角度二等比数列前n项和的性质(i)( 一题多解)等比数列an中，前n项和为

19、48，前2n项和为60,则其前3n项和为.数列an是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64,则此数列的通项公式为an=.【解析】法一：设数列an的前n项和为S.因为 S2n#2Sn ,所以qM i,由前n项和公式得1i-qai (1 -q2n)=60,i-q5十，得1 + qn= 5,1所以qn= 将将入，得社=64.所以 S3n=刊("=64 X1-q11 4 = 63.法二：设数列an的前n项和为Sn,因为an为等比数列，所以Sn， S2n- Sn， S3n- S2n也成等比数列，所以(S2n Sn)2 = Sn (S3n S2n),(S2n-S

20、n) 2( 60 - 48) 2即 S3n=+ S2n=+ 60= 63.Sn48法三：设数列an的前n项和为Sn,因为 S2n= Sn+ qnSn ,所以qn=S2n Sn1Sn= 4,所以S3n= S2n+ q1"Sn= 60+ 12X 48= 63.设此数列an的公比为q, 由题意,知S奇+ S偶=4S偶, 所以S奇=3S偶,S禺1所以q=S：= 1 又 a1a2a3= 64,即 a1(a1q)(a1q2) = a3q3= 64, 所以 aiq = 4.又 q = 3，所以 ai= 12,1 n T 所以 an= aiqni= 12 x 3.1 n 1【答案】(1)6312 x

21、 3等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类 (1)通项公式的变形.等比中项的变形.(3) 前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.提醒在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形此外，解题时注意设而不求思想的运用.I(题多解)已知等比数列an满足 a1 = 4 a3a5= 4(a4 1),则 a2=()A. 2B. 11C.11D. 1解析：选 C.法 ：因为 a3a5= a4, a3a5= 4(a4 1),所以 a4 = 4(a4 1),所以 a4 4a4 + 4 = 0,所以a4= 2.又因为q3 = =

22、 2 = 8,a1 14所以 q= 2,所以 a2= a1q = 丁x 2= 丁,故选 C.法二： 因为 a3a5= 4(a4 1), 所以 a1q2 a1q4= 4(a1q3 1),将a1 = 4代入上式并整理，得q6 16q3+ 64= 0,1解得q= 2,所以a2= a1q = ?,故选C.窗自目曰数列与数学文化及实际应用1. 等差数列与数学文化驶'（2020陕西汉中二模）我国古代名著九章算术中有这样一段话：“今有金箠， 长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该 金

23、箠共重（）A . 6斤B . 7斤C. 9 斤D . 15 斤【解析】 设从头到尾每一尺的质量构成等差数列an,则有a1= 4, a5= 2,所以a1a1 + a5+ a5= 6,数列an的前5项和为Ss= 5X = 5X 3= 15,即该金 箠共重15斤.故选D.【答案】 D園OE3阳是会脱去数学文化的背景，读懂题以数学文化为背景的等差数列模型题的求解关键:意；二是构建模型，即由题意构建等差数列的模型；三是解模,即把文字语言转化为求等差数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n项和等.2. 等比数列与数学文化停（2020湖南衡阳三模）中国古代数学名著 九章算术中有如下问题.今有牛

24、、马、 羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰 偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔"我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中,斗为10升，则偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:所以马主人应偿还粟的量为a2= 2a1 =100,故选D.马主人应偿还的粟（单位：升）为（）255031007【解析】 5斗=50升.设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1,a2, a3,由题意a1 （1-23） 可知a1, a2, a3构成公比为2的等比数列

25、，且S3 = 50,则50,解得a1=50=7，1 2【答案】Dpi以数学文化为背景的等比数列模型题的求解关键：一是会透过数学文化的“表象”看“本质”；二是构建模型，即盯准题眼，构建等比数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等比数列的相关问题 ，如求指定项、公比或项数、通项公式或前n项和等.3. 递推数列与数学文化凹二(2020北京市石景山区 3月模拟)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎丹铅总录记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一.”在某种玩法中，用an表示解下n(nw 9, n N+)2an-1 -1, n为偶数，个

26、圆环所需的最少移动次数，数列an满足ai= 1，且an=贝懈下42an-1 + 2, n为奇数，个环所需的最少移动次数a4为()A . 7B.10C. 12D.222an-1 -1, n为偶数，【解析】 因为数列an满足a1= 1,且an=所以a2 = 2a1- 1 = 22an-1+ 2, n为奇数,1 = 1,所以 a3= 2a2+ 2= 2x 1 + 2= 4,所以 a4= 2a3- 1 = 2X4- 1 = 7故选 A.【答案】 AE以数学文化为背景的已知递推公式的数列模型的求解关键是耐心读题、仔细理解题,只有弄清题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答,“盯紧”题目条件中的递推公式

27、，利用此递推公式往要求的量转化，如本题，剥去数学文化背景，实质就是已知a1= 1,且an2an-1 - 1, n为偶数，=求a4的问题.2an-1 + 2, n为奇数,4. 周期数列与数学文化例13 (2020山东临沂三模)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,即 F(1) = F(2) = 1, F(n) = F(n- 1) + F(n-2)(n> 3, n N+).此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列an，则数列an的前2 019项的和为()A . 672B

28、 . 673C. 1 346D. 2 019【解析】由于an是数列1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,各项除以2的余数，故an为 1, 1, 0, 1 , 1, 0, 1 , 1 , 0, 1，所以an是周期为3的周期数列，且一个周期中的三项之和为1 + 1 + 0= 2.因为 2 019= 673X 3,所以数列an的前2 019项的和为673X 2= 1 346.故选C.【答案】 C,建立数学模型，并会适时脱以数学文化为背景的周期数列模型题的求解关键是细审题去背景，如本题，脱去背景，实质是利用斐波那契数列的各项除以2的余数的特征，得出新 数列的周期性，进而求

29、出结果.5. 数列在实际问题中的应用诃i -私家车具有申请报废制度一车主购买车辆时花费15万，每年的保险费、路桥费、汽油费等约1.5万元，每年的维修费是一个公差为3 000元的等差数列，第一年维修费为3 000元，则该车主申请车辆报废的最佳年限(使用多少年的年平均费用最少)是年.【解析】设这辆汽车报废的最佳年限为n年，第n年的费用为an,则an= 1.5+ 0.3n.前 n 年的总费用为 Sn= 15+ 1.5n+ 号(0.3 + 0.3n)= 0.15n2+ 1.65n+ 15,年平均费用：詈=0.15n+ 15 + 1.65>20.15nX 15+ 1.65 = 4.65,当且仅当

30、0.15n = 5,即 n= 10 时，年平均费用 Snnn'nn取得最小值所以这辆汽车报废的最佳年限是10年.【答案】10数学建模是指对现实问题进行抽象,用数学语言表达和解决实际问题的过程.有关数列的应用问题，是让学生能够在实际情境中,用数学的思想分析数列问题，用数学的语言表达数列问题，用数学的知识得到数列模型,用数列的方法得到结论，验证数学结论与实际问题的相符程度，最终得到符合实际规律的结果.龙高效分层基础题组练1. (2020江西宜春一模)在等比数列an中，aia3= a4= 4,贝U a6的所有可能值构成的集合是()A . 6B. 8, 8C. 8D. 8解析：选 D.因为 a

31、ia3= a2 = 4, a4= 4,所以 a2= 2,所以 q2= = 2,所以 a6= a2q4= 2 x 4 =8,故a6的所有可能值构成的集合是 8,故选D.2. 在等比数列an中，如果 ai+ a2= 40, a3+ a4= 60,那么 a7+ a8=（）A . 135B. 100C. 95D. 80解析：选A.由等比数列前n项和的性质知，ai+ a2, a3 + a4, a5 + a6, a7 + a8成等比数3列，其首项为40,公比为60= 3,所以a7 + a8 = 40x | = 135.3. （2020山西3月高考考前适应性测试 ）正项等比数列an中，a1a5 + 2a3a

32、7+ a5a9= 16, 且a5与a9的等差中项为4,则an的公比是（）A . 1B. 2C子D . .2解析：选D.设公比为q,由正项等比数列an中，a1a5 + 2a3a7+ a5a9= 16,可得a3+ 2a3a7+ a2= (a3 + a7)2= 16,即a3+a7= 4,由a5 与a9的等差中项为 4,得 a5 +a9= 8,贝Uq2(a3 + a7) =4q2= 8,则q =迈（舍负）,故选D.4. （2020湘赣十四校第二次联考）中国古代著作算法统宗中有这样一个问题：“三 百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请 公仔细算相还.”其意思为：

33、有一个人走 378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了（）A . 6 里B . 12 里C. 24 里D. 96 里解析：选A.由题意可得，每天行走的路程构成等比数列，记作数列an,设等比数列an1 a1 （1 q6）1 5的首项为a1,公比为q,则q = 2，依题意有=378，解得a1= 192,则a6= 192x （2）52 1 q2=6,最后一天走了 6里，故选A.5. 个等比数列的前三项的积为3,最后三项的积为 9,且所有项的积为 729,则该数列的项数是（）A. 13B. 12 C. 11D. 10解析：选B.设该等比

34、数列为an，其前n项积为Tn,则由已知得a1 a2 a3= 3, an 2 an1 an=9, (a1an)3= 3x 9 = 33,所以a1an = 3,又 Tn= a1a2an-1an= anan 1 a2a1,所以 T2 = an)n,即 7292= 3n,所以 n = 12.6. （2020黄冈模拟）已知正项等比数列an的前n项和为 3,且a1a6= 2a3, a4与2a6的3等差中项为3,则S5=解析：设 an的公比为q（q>0）,因为a1a6= 2a3, 而 a1a6= a3a4, 所以a3a4= 2a3,所以a4= 2.又 a4+ 2a6 = 3,所以a6= 2,所以q=

35、2,a1= 16,所以 S5=161 (1) 531.答案：317. (一题多解)已知an为等比数列，a4 + a7= 2, a5a6= 8,贝U a1+ a10=.36a4+ a7= a1q3+ a1q6= 2, 解析：法一：设数列an的公比为q，则由题意得所以a5a6= ag4x a1q5= a1q（2020安徽安庆模拟）数列an满足：an+1=入n1（n N + ,入 R且 存0），若数列an 1是等比数列，则 入的值为.2 解析：由外+1 =入n 1,得an+1 1 =入n 2 =入an）.由于数列an 1是等比数列，= 8,3q = 2,q3 =1a1 = 1a1 =2, 所以 a1

36、+ a10= a1(1 + q9)= 7.8,a4 + a7= 2, 法二：由a5a6= a4a7= 8,a4= 2,a4 = 4,解得或a7 = 4a7= 2.q3= 2,3 1q = 2所以或所以 a1 + a10= a1(1 + q9) = 7a1 = 1a1 = 8,答案:7所以= 1 ,得入=2.答案：29. 已知数列an的前n项和Sn= 1+入n,其中 将0.(1)证明 an是等比数列，并求其通项公式;31若S5= 32，求入解：(1)证明：由题意得a1= S1= 1+入1,存1, a1=士 故a1M0.Sn= 1 + 入 n, Sn+ 1 = 1 + 入 n + 1 得 an+1

37、 =入 n+1 入 n,an+1( 11)=入 aaiMO,入工0 得 an0,an+ 1入所以=二1因此an是首项为,1入公比为亡的等比数列1_丄 n 1于是an=二门入(2)由(1)得 Sn= 1 口31S5= 32 得 1531 日口=32即=32.解得入1.10. (2019高考全国卷n )已知数列an和bn满足ai= 1,bi = 0, 4an+1 = 3an bn + 4,4bn +1 = 3bn an 4.(1)证明：an+ bn是等比数列，an bn是等差数列;求an和bn的通项公式.解：(1)证明： 由题设得 4(an+ 1 + bn+1)= 2(an+ bn),即 an+

38、1+ bn+1 = (an+ bn).1又因为a1+ b1= 1,所以an+ bn是首项为1,公比为步的等比数列.由题设得 4(an+ 1 bn +1)= 4(an bn) + 8,即 an+ 1 bn+ 1 = an bn + 2.又因为a1 b1= 1,所以an bn是首项为1,公差为2的等差数列.由(1)知，an+ 5 =十,an bn= 2n 1.、 1 1 1所以 an= 2【(an+ bn) + (an bn) = ?n+ n 2,1 1 1 bn = 2【(an+ bn) (an bn)=尹一n +综合题组练1.已知等比数列an中a2= 1,则其前3项的和S3的取值范围是（）(-

39、m，- 1(g, 0) U 1 ,+s )C.3,+g )( g, 1 U 3 ,+g )解析：选D.设等比数列an的公比为q,则 S3= a1+ a2+ a3= a2(+ 1 + q)= 1 + q +1q q当公比q>0时，S3 = 1+ q+1 > 1 + 2-，1= 3,当且仅当q = 1时，等号成立;当公比 q<0 时，S3= 1 ( q弓< 1 2". ( q) ( 1 )= 1,当且仅当 q = 1 时, 等号成立.所以 S3 ( g, 1 U 3 , +g).2.设an是公比为q的等比数列，|q|>1, 令 bn= an+ 1（n = 1

40、, 2,），若数列bn有连 续四项在集合 53, 23, 19, 37, 82中，贝U q等于（）C. 3解析：选 C.bn有连续四项在 53, 23, 19, 37, 82中且 bn = an + 1.an= bn 1,则 an有连续四项在 54, 24, 18, 36, 81 中.因为an是等比数列，等比数列中有负数项，则q<0 ,且负数项为相隔两项，所以等比 数列各项的绝对值递增或递减.按绝对值的顺序排列上述数值18, 24, 36, 54, 81,24436相邻两项相除右=-3 3'2, 36= 2,= 2 则可得24, 36, 54,2362 一 5422'81是an中连续的四项.32q= 2或q = 3（因为|q|>1,所以此种情况应舍）,3 所以q= 2.故选C.3在递增的等比数列an中，已知ai + an = 34, a3 an-2= 64,且前n项和Sn= 42,则n=解析：因为an为等比数列，所以 a3 an 2=