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1、(复习课)一元二次不等式及其解法【常考题型】题型一、简单的分式不等式【例1】 解下列不等式x+ 2W <0 ;x+ 2x+2解由 <0,得 >0,1 Xx 1此不等式等价于(x+ 2)(x 1)>0 ,原不等式的解集为xx< 2或x>1.x+ 1法一:移项得2 0,x 2x+ 5X 一 5左边通分并化简有 0,即 0,x 2X 2 (x 2 (x 5 0,它的同解不等式为x 2 0,.<2 或 x 5.原不等式的解集为xx<2或x 5.法二:原不等式可化为 口 0,x 2IX 5 0,此不等式等价于LX 2>0x 5 0,或X 2<0
2、,解得X5,解得x<2,原不等式的解集为xX<2或x 5.【类题通法】1. 对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零.使之转化2 对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.【对点训练】1.解下列不等式:x+ 23 X2x- 13 - 4x>1(x+ 2 (3- X 0, 解:(1)原不等式等价于3 x 0,(x+ 2 x- 3 0,x 3-2 x<3.原不等式的解集为x- 2 x<3.(2)原不等式可化为2x- 1-1>0,3- 4x3x
3、- 2即 <0.4x- 3等价于(3x- 2)(4X- 3)<0.232<x<423原不等式的解集为3<<4题型二、不等式中的恒成立问题的取值范【例2】 关于X的不等式(1 + m)x2+ mx + mv x2+ 1对X R恒成立,求实数 m围.解原不等式等价于 mx2+ mx+ m- 1 V 0,对xR恒成立,当m= 0时,0 X2 + 0 1V 0对xR恒成立.当m 0时,由题意,得mv 0,2mv 0,i 23m 4m> 0mv 0,mv 0,或m> 4mv 0.= m 4mm 1 V 0综上,m的取值范围为m 0.【类题通法】不等式对任意
4、实数 X恒成立,就是不等式的解集为 R ,对于一元二次不等式 ax2+ bx+ c>0,a > 0,它的解集为R的条件为2= b2 4acv 0;一 2S 0 ,一兀二次不等式 ax2+ bx+ c0,它的解集为 R的条件为I = b2 4ac 0;2av 0,一元二次不等式 ax2+ bx+ c> 0的解集为?的条件为i仝0.【对点训练】2. 若关于X的不等式ax2+ 2x+ 2>0在R上恒成立,求实数 a的取值范围.解:当a = 0时,原不等式可化为 2x+ 2>0,其解集不为 R,故a = 0不满足题意,舍去;当a0时,要使原不等式的解集为R ,只需a &g
5、t; 0,1= 22 4× 2a V 0,1解得a>.综上,所求实数a的取值范围为2,+ .题型三、一元二次不等式的实际应用【例3】 某农贸公司按每担 200元收购某农产品,并按每 100元纳税10元(又称征税率 为10个百分点),计划可收购a万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税 率降低x(x 0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.写出税收y(万元)与X的函数关系式;要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2% ,试确定X的取值范围.解降低税率后的税率为(10 x)% ,农产品的收购量为 a(1 + 2x%)万担,收购总金额为 200a(1 +
6、 2x%).依题意得,y= 200a(1 + 2x%)(10 x)%1=50a(100 + 2x)(10 x)(0 V XV 10).(2)原计划税收为 200a 0%= 20a(万元).1依题意得,50a(100+ 2x)(10 x) 20a × 83.2%,化简得 x2+ 40x 84 0,T2 x 2.又0 V XV 10,.'0 V x 2.'x的取值范围是x0v x 2.【类题通法】用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是:(1) 理解题意,搞清量与量之间的关系;(2) 建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题;(3) 解这个一元二次不
7、等式,得到实际问题的解.【对点训练】3. 某校园内有一块长为 800 m ,宽为600 m的长方形地面,现要对该地面进行绿化,规划 四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花 卉带宽度的范围.解:设花卉带的宽度为 X m,则中间草坪的长为(800 2x) m ,宽为(600 2x) m.根据题意1可得(800 2x)(600 2x) × 800× 600 ,整理得X 700x + 600 × 100 0,即(X 600)(X 100) 0 ,所以0V x 100或x 600, x 600不符合题意,舍去.故所求花卉带宽度的
8、范围为(0,100 m.【练习反馈】X 21.若集合 A = x| 1 2x+ 1 3, B= x| 0,则 A B =()XA . x| 1 XV 0B . x0< x 1C. x0 x 2D . x0 x 1解析:选 B '-A = x| 1 x 1 , B= x0v x 2,A B = x0vx 1.2 .已知不等式X2+ ax+ 4 V 0的解集为空集,则 a的取值范围是()A . 4 a 4B . 4v av 4C. a 4 或 a 4D . av 4 或 a> 4解析:选A 依题意应有 = a2 16 0,解得4 a 4,故选A.x+ 13. 不等式X 3的解集为 .Xx+ 1x+ 12x 11解析: 3? 3 0? 0? x(2x 1) 0且 x 0? x<0 或 x;XXX2'答案:x|xv 0或x14. 若函数f(x)= log2(x2 2ax a)的定义域为 R,贝U a的取值范围为 解析:已知函数定义域为 R,即x2 2ax a>0对任意xR恒成立.2= ( 2a) + 4a V 0.解得1V av 0.答案:(1,0)5 .你能用一根长为 100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗?解:设围成的矩形一边的长为
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