第九章 线性电路动态过程

1、第九章第九章 线性电路动态过程线性电路动态过程的复频域分析的复频域分析本章要求 一、学习数学中的拉普拉斯变换定义，性质和求反变换的方法。 二、研究运算形式的电路定律和运算电路图 三、掌握用拉氏变换法求解动态电路的计算方法。9-1 9-1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 一、概述 1. 拉氏变换 是工程数学中的一个分支微分积分变换。 是电路理论中求解二阶动态电路的重要工具。 2. 动态电路的复频域分析法 用拉氏变换求解动态电路的方法，称为复频域分析法，又称算子法或运算法。复频域分析法的基本思路：将含有换路条件的电路拉氏变换运算电路计算复频域响应反变换时域响应等效于下面的说法：时域激励和参数拉氏变换F(

2、s)反变换f(t)用代数方程进行复频域计算 时域响应二、拉普拉斯变换 1. 定义 设f(t)在0t时有定义，且满足狄里克雷条件，则积分称为 f(t) 的拉普拉斯变换。ttfsFstde)()(0 - - -= = 复变量、复频率、算子“HZ”w ws sj+ += =s ste- 衰减因子 f(t)原函数F(s)象函数正变换： )(tf)(sF记作 F(s)=L f(t)反变换： )(sF)(tf记作 f(t)=L F(s)- -1tsFtfstde )(j 21)(jj + +- -= =s ss sww 2 2. 几点说明(1) 在电路理论中，所遇到的时域函数皆满足狄里克雷条件。 (2)

3、在数学中，拉氏变换积分下限为0，在电路理论中，将其下限取为0- - 更有实际应用意义。 (3) 拉氏变换及其反变换通常直接查表(P281 表9-1)。需要记忆的常用拉氏变换如下。f(t) F(s)11sts12e- -a a ts+a a1a a 为常数f(t) F(s)e- -a a t1- -s(s+a a)a aAAsA A 为常数例题求下列函数的象函数 （1）ttfe)(=（为常量 ） （2）)()(ttf= （3）Atf=)(a-=ssF1)(ssF1)(=sAsF=)(（4）tetf-=)( +=ssF1)(9-2 9-2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质一、一、 线性

4、性质若 L f(t) = F(s), L f(t) = F(s)12211则 L af(t) +b f(t) = aF(s)+ b F(s)221例题用线性性质求下列函数的象函数 （1）ttfa-=e1)( （2）ttfwsin)(=a+-=sssF11)(22)(ww+=ssF二、二、 微分性质若 L f(t) = F(s), f(0)为t = 0- 时的初始值 -=0fssFdttdfL则 例题用微分性质求下列函数的象函数 （1）ttfwcos)(=（2）)()(ttf= 22w+=sssF 1=sF求uC(t) 。实例 已知0- -U0 ，uC= =）（R 和C 参数。SuCC+- -i

5、CR解： 微分方程0dd=+ +uCtuCRC 将方程两边拉变有0)()(0= =+ +- -sUUssURCCC则RCsU10+ +=0RCs+1RCUsUC)(=查表得反变换RCs11+ +L - -1RCt- -=e最后得RCt- -uC(t)=U0e三、三、 积分性质若 L f(t) = F(s), 则 sFsdttfLt10=四、终值定理 若 L f(t) = F(s), 且 存在, tftlim则 ssFtfst0limlim=例题用积分性质函数f(t)=t 的象函数 ssF1)(=2 五、初值定理则 ssFtfst= limlim0例题已知象函数 ssssF101000200)(

6、2+-= 求其相应的原函数 的终值和初值 tf若 L f(t) = F(s), 且 存在, ssFslim 100-=f 2000 =f六六、延迟定理)()()(000tfLettttfLst-=-0=t)(tf0tt =)0(0t)()(00ttttf- 设有一个在瞬时出现的时间函数推迟到出现后者的函数变为，则其象函数为 ， t9-3 9-3 部分分式展开法求原函数部分分式展开法求原函数1. 用反变换公式 此公式涉及复合函数积分，计算较繁，在电路理论中不用。对简单函数直接查表。 对复杂函数式采用部分分式展开法。 一、求反变换的方法tsFtfstde )(j 21)(jj + +- -= =s

7、 ss sww2. 2. 部分分式展开法012211012211)()()(bsbsbsbsbasasasasasDsNsFnnnnnnmmmmmm+ + + + + + + + + + +=- - - - - - - - -LLLL含复变量 s 的有理真分式F(s)可写成设m n ) )(sF)()()()()(sDsRsQsDsN+= 例题=)(sF12+ss求象函数 的原函数 tetttf-+-=，)(sF有共轭复根的情况时域解是正弦或余弦函数例题=)(sF800401002+ss求象函数 的原函数 tetetftt20sin59020cos52020-=-=9-4 9-4 复频域形式的

8、电路定律和电路图复频域形式的电路定律和电路图一、KCL、KVL 的运算形式设： ， )()(sItiLkk=0)(=tik由线性性质 设： )()(sUtuLkk=， = 0)(tuk由线性性质 = 0)(sIk= 0)(sUk二、电路元件的运算电路模型 电阻R R、L、C 三元件的运算电路形式 Riu =)()(sRIsU=取拉氏变换电感L 设0)0(-i取拉氏变换dtdiLu =)0()()(-=LissLIsU其中： sL运算阻抗，)0( -i：初始值， )0( -Li:附加电源(内电源）电容C 0)0(-Cu设 dtduCi =)0()()(-=CusCsUsIsusIsCsU)0()

9、(1)(-+=取拉氏变换其中：sC1:运算阻抗， )0( -Cu:初值， su)0( -：附加电源（内电源） 三、RLC 串联电路的运算模型 0)0(-i0)0(-Cu)()1()(sIsCsLRsU+=)0( -LisuC)0(-+)(sZ运算阻抗 附加电源)()()(sIsZsU=0)0(=-i0)0(=-Cu 当，时， 运算形式的欧姆定律 四、独立电源的运算模型直流交流五、受控源的运算模型VCVSsUsU)()(12 = =+CCCSsIsI)()(12 = =电容C电感LsC1 suc0和 的串联 sL 0LLi和 的串联 六、运算电路图运算电路图中， 电压、电流和激励源用对应的象函数

10、表示电阻R不变例题求下图所示电路的运算电路 +-uC0.05F0.5H18V+-4325SiLAiL20=-Vuc100=-+- - -U2(s)U1(s)I2s)I1(s)(2* *MsL1sL s七、含互感电路的运算电路- -+L1 i1(0- -)- -+L2 i2(0- -)+- -复频域电路模型- -+MsI2(s)+- -MsI1(s)M i2(0- -)+- -M i1(0- -) 复频域自感和互感参数复频域互感电压 复频域自感附加电压源 复频域互感附加电压源供出电流与本支路电流一致供出电流与产生此电压的另一支路电流保持同名端一致同名端一致原则+- - -U2(s)U1(s)I2

11、s)I1(s)(2* *MsL1sL s- -+L1 i1(0- -)- -+L2 i2(0- -)+- - -+MsI2(s)+- -MsI1(s)M i2(0- -)+- -M i1(0- -)时域电路模型* *MLL12i12i+- -+- - -+- -uuuM1212uM219-5 9-5 复频域分析法解动态电路的动态过程复频域分析法解动态电路的动态过程一、解题思路时域电路模型 复频域 电路模型(运算电路)拉氏变换各种解题方法复频域 响应 反变换时域响应 各种解题方法包括： (1)(1)支路电流法，回路电流法和节点电压法； (2)(2)叠加，互易，戴维南和诺顿等电路定理； (3)(3

12、)各种等效变换关系和分压、分流公式等。 总之，变量用复频域变量，参数用复频域参数，列写复频域代数方程，求解复频域响应后，反变换得时域响应。 )0( -Cu)0( -Li求初始值、； 换路前电路画运算电路图； 换路后电路内电源方向求频域解； 由运算电路求待求量的象函数 反变换求时域解 求根 分成部分分式 求系数 拉氏反变换二、解题步骤例题解解: :uC(0-)=20V(已知) 。iL(0-)=US/R=40/40=1A。(1)(1)求初值(2)(2)画运算电路图u uC C(0(0- -)=20V)=20V。求：uC(t) 。已知：R R=40=40W W，L L=0.5H=0.5H，C C=5

13、0=50m mF F，U US S=40V=40V，RC+- -L+- -USuCSiLRCsLs+- -1sUS(3)(3)选变量、列方程、求响应式选UC(s)变量、列节点法方程有1sCsLR+ + +1CssuC+ +- -)0(sU= =)C(LssULiL+ +- -1)0(SsCsLRCuLsUs iCL+ + + + += =- - -11)0()0(2S分项suC(0- -)+- -LiL(0- -)+- -+- -UC (s)IL(s)RCs+- -Ls+- -LiL(0- -)UC (s)1suC(0- -)+- -+- -sUSsCsLRCuLsUs iCL+ + + +

14、+=- - -11)0()0(2SUC(s)通分化简降幂排列RsLsRLCsRUsRLisRLCuLC+ + + + +=- - -23S2)0()0(4)化成真分式代入数据 UC(s)ssss405 . 010505 . 04040401s5 . 0402010505 . 04023626+ + + + +=- - -化bn=1sssss423542104500101610220+ + + + +=RLsLsRLsUsLisCLuLC+ + + + +=- - -2S2)0()0(CRLs2uC(0- -)=20V。求：uC(t) 。 R=40W W，L=0.5H，C=50mF， US=40

15、V，uC(0-)=20ViL(0-)=1AIL(s)各项10310- -3已知：R=40W W，L=0.5H，C=50 F，US=40V，uC(0- -)=20V。求：uC(t) 。RC+- -L+- -USuCSiLsssss423542104500101610220+ + + + +=UC(s)选用初值定理或终值定理校验S45V401041016U=lims 0 sUC(s)limt uC(t)=终值定理lims sUC(s)limt 0 0 uC(t)=V20uC(0- -)=初值定理符合题意(5)因式分解，写部分分式得s1=0, ,s3=- -400s2=- -100, ,sss423

16、104500+ + +=0令则=UC(s)sA1+ + s+100A2+ +s+400A3(6)求常数得复频域响应用极限法ss542101610220+ + +=A1(s+100) (s+400)s=0=40A2ss542101610220+ + +=s(s+400)s=- -100=6.67A3ss542101610220+ + +=s(s+100)s=- -400=- -26.7得复频域响应UC(s)=s40+ + s+1006.67+ + s+400- -26.7)()lim(sFs sAkk- -=s sk已知：R=40W W，L=0.5H，C=50 F，US=40V，uC(0- -)=20V。求：uC(t) 。RC+- -L+- -US