2014届高考数学（理科）专题教学案：导数的综合应用（含答案）

1、常考问题5导数的综合应用真题感悟(2013·江苏卷)设函数f(x)lnxax，g(x)exax，其中a为实数(1)若f(x)在(1，)上是单调减函数，且g(x)在(1，)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(1，)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论解(1)令f(x)a<0，考虑到f(x)的定义域为(0，)，故a>0，进而解得x>a1，即f(x)在(a1，)上是单调减函数同理，f(x)在(0，a1)上是单调增函数由于f(x)在(1，)上是单调减函数，故(1，)(a1，)，从而a11，即a1.令g(x)exa0，得xln a当x<ln

2、 a时，g(x)<0；当x>ln a时，g(x)>0.又g(x)在(1，)上有最小值，所以ln a>1，即a>e.综上，有a(e，)(2)当a0时，g(x)必为单调增函数；当a>0时，令g(x)exa>0，解得a<ex，即x>ln a，因为g(x)在(1，)上是单调增函数，类似(1)有ln a1，即0<ae1.结合上述两种情况，有ae1.()当a0时，由f(1)0以及f(x)>0，得f(x)存在唯一的零点；()当a<0时，由于f(ea)aaeaa(1ea)<0，f(1)a>0，且函数f(x)在ea,1上的图象不

3、间断，所以f(x)在(ea,1)上存在零点另外，当x>0时，f(x)a>0，故f(x)在(0，)上是单调增函数，所以f(x)只有一个零点()当0<ae1时，令f(x)a0，解得xa1.当0<x<a1时，f(x)>0，当x>a1时，f(x)<0，所以，xa1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a1)ln a1.当ln a10，即ae1时，f(x)有一个零点xe.当ln a1>0，即0<a<e1时，f(x)有两个零点实际上，对于0<a<e1，由于f(e1)1ae1<0，f(a1)>0，且函数f(x)在e1，a

4、1上的图象不间断，所以f(x)在(e1，a1)上存在零点另外，当x(0，a1)时，f(x)a>0，故f(x)在(0，a1)上是单调增函数，所以f(x)在(0，a1)上只有一个零点下面考虑f(x)在(a1，)上的情况先证f(ea1)a(a2ea1)<0.为此，我们要证明：当x>e时，ex>x2.设h(x)exx2，则h(x)ex2x，再设l(x)h(x)ex2x，则l(x)ex2.当x>1时，l(x)ex2>e2>0，所以l(x)h(x)在(1，)上是单调增函数故当1 / 8x>2时，h(x)ex2x>h(2)e24>0，从而h(x)在

5、(2，)上是单调增函数进而当x>e时，h(x)exx2>h(e)eee2>0.即当x>e时，ex>x2.当0<a<e1，即a1>e时，f(ea1)a1aea1a(a2ea1)<0，又f(a1)>0，且函数f(x)在a1，ea1上的图象不间断，所以f(x)在(a1，ea1)上存在零点又当x>a1时，f(x)a<0，故f(x)在(a1，)上是单调减函数，所以f(x)在(a1，)上只有一个零点综合()，()，()，当a0或ae1时，f(x)的零点个数为1，当0<a<e1时，f(x)的零点个数为2.考题分析高考对本内容

6、的考查主要有：(1)导数在实际问题中的应用为函数应用题注入了新鲜的血液，使应用题涉及到的函数模型更加宽广，要求是B级；(2)导数还经常作为高考的压轴题，能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力估计以后对导数的考查力度不会减弱作为导数综合题，主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点之所在.热点一利用导数解决函数的实际问题【例1】 时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y(单位：千套)与销售价格x(单位：元/套)满足关系式y4

7、(x6)2，其中2<x<6，m为常数已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套(1)求m的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留一位小数)解(1)因为x4时，y21，代入关系式y4(x6)2，得1621，解得m10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量y4(x6)2，所以每日销售套题所获得的利润f(x)(x2)4(x6)24x356x2240x278(2<x<6)，从而f(x)12x2112x2404(3x10)(x6)(2<x<6)令f(x)0

8、，得x，且在上，f(x)>0，函数f(x)单调递增；在(，6)上，f(x) <0，函数f(x)单调递减，所以x是函数f(x)在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x3.3时，函数f(x)取得最大值故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大规律方法 在利用导数求实际问题中的最大值和最小值时，不仅要注意函数模型中的定义域，还要注意实际问题的意义，不符合的解要舍去【训练1】 (2011·江苏卷)请你给某厂商设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个

9、点重合于点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E，F在AB上，且是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)(1)若厂商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)若厂商要求包装盒的体积V(cm3)最大，试问x应取何值并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解设包装盒的高为h(cm), 底面边长为a(cm)由已知得ax，h(30x)，0<x<30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800.所以当x15时，S取得最大值即当包装盒的侧面积S最大时，x的值为15.(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0，得x0(舍去)或20.当x(

10、0,20)时，V>0；当x(20,30)时，V<0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值，此时，即包装盒的高与底面边长的比值为.热点二利用导数解决不等式的有关问题【例2】 (2013·新课标全国卷)已知函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y4x2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围解(1)因为曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2)，所以bd2；因为f(x)2xa，故f(0)a4；g(x)ex(cxdc)，故g(0)2c4，故c2.

11、从而a4，b2，c2，d2.(2)令F(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，则F(x)(kex1)(2x4)，由题设可得F(0)0，故k1，令F(x)0得x1ln k，x22，若1k<e2，则2<x10，从而当x(2，x1)时，F(x)<0，当x(x1，)时，F(x)>0，即F(x)在2，)上最小值为F(x1)2x12x4x12x1(x12)0，此时f(x)kg(x)恒成立；若ke2，F(x)(ex21)(2x4)，故F(x)在(2，)上单调递增，因为F(2)0，所以f(x)kg(x)恒成立；若k>e2，则F(2)2ke222e2(ke2)<0

12、，从而当x2，)时，f(x)kg(x)不可能恒成立综上所述k的取值范围是1，e2规律方法 涉及不等式证明或恒成立问题，常依据题目特征，恰当构建函数，利用导数研究函数性质，转化为求函数的最值、极值问题在转化过程中，一定要注意等价性，对于含参数的不等式，注意分离参数与分类讨论；必要时，可作出函数图象草图，借助几何直观分析转化【训练2】 已知函数f(x)aln xax3(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a1时，证明：在(1，)上，f(x)2>0；(3)求证：····<(n 2，nN*)(1)解根据题意知，f(x)(x>0)，当a

13、>0时，f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1；当a0时，f(x)不是单调函数(2)证明当a1时，f(x)ln xx3，所以f(1)2，由(1)知f(x)ln xx3在(1，)上单调递增，所以当x(1，)时，f(x)>f(1)即f(x)>2，所以f(x)2>0.(3)证明由(2)得ln xx32>0，即ln xx1>0，所以ln x<x1对一切x(1，)恒成立n2，nN*，则有0<ln n<n1，0<<，··

14、83;·< ····(n2，nN*)热点三函数与导数的综合问题【例3】 (2013·山东卷)设函数f(x)c(e2.718 28是自然对数的底数，cR)(1)求f(x)的单调区间、最大值(2)讨论关于x的方程|ln x|f(x)根的个数解(1)f(x)，由f(x)>0得x<，由f(x)<0得x>.所以f(x)的单调递增区间为，递减区间为.所以f(x)maxfc.(2)由已知|ln x|f(x)得|ln x|c，x(0，)，令g(x)|ln x|，yc.当x(1，)时，ln x>0，则g(x)ln x

15、.所以g(x)>0.所以g(x)在(1，)上单调递增当x(0,1)时，ln x<0，则g(x)ln x.所以g(x).因为e2x(1，e2)，e2x>1>x>0，所以<1，而2x1<1.所以g(x)<0，即g(x)在(0,1)上单调递减由可知，当x(0，)时，g(x)g(1).由数形结合知，当c<时，方程|ln x|f(x)根的个数为0；当c时，方程|ln x|f(x)根的个数为1；当c>时，方程|ln x|f(x)根的个数为2.规律方法 (1)本题第(1)问，利用了函数单调的充分条件：“若f(x)>0，则f(x)单调递增，若f

16、(x)<0，则f(x)单调递减”；求出函数的单调区间，而对于函数的最值需谨记函数在闭区间上一定存在最值，在开区间上函数不一定存在最值，若存在，一定是极值(2)本题第(2)问，借助转化与数形结合的思想，把方程根的个数转化为两个函数图象交点的个数，利用极值解决问题【训练3】 (2013·南京、盐城模拟)设函数f(x)定义在(0，)上，f(1)0，导函数f(x)，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)讨论g(x)与g的大小关系；(3)是否存在x00，使得|g(x)g(x0)|对任意x0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由解(1)由题设易知f(x)ln x，g(x)ln x，所以g(x)，令g(x)0，得x1，当x(0,1)时，g(x)0，故(0,1)是g(x)的单调减区间；当x(1，)时，g(x)0，故(1，)是g(x)的单调增区间因此，x1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(2)gln xx，设h(x)g(x)g2ln xx，则h(x)，当x1时，h(1)0，