实数知识点及易错题型

1、. . 实数复习与回顾一、知识梳理1.平方根（1）算术平方根的定义：一个正数x 的平方等于a,即_ ，那么这个正数 x 就叫做 a 的_.0 的算术平方根是_ 。（2）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a，即 _ ，那么这个数 x 就叫做a的_ 。（3）平方根的性质：一个正数有_ 个平方根，它们_ ；0只有 _ 个平方根，它是_ ；负数 _ 平方根。（4）开平方：求一个数a 的_ 的运算，叫做开平方。2.立方根（1）立方根的定义：如果一个数x 的 _ 等于a，即 _ ，那么这个数 x 就叫做a的立方根。（2）立方根的性质：每个数a 都只有 _ 个立方根。正数的立方根是 _ ；0 的立方根是

2、 _ ；负数的立方根是_ 。（3）开立方：求一个数a 的_ 的运算叫做开立方。3.实数（1）无理数的定义：无限不循环小数叫做_ 。（2）实数的定义：_ 和_ 统称实数。（3）实数的分类： 按定义分： _；按性质分： _。（4）实数与数轴上的点的对应关系：_ 与数轴上的点是_ 对应的。（5）有关概念：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有. . 理数范围内的意义_ 。4.实数的运算：（1）实数的加、减、乘、除、乘方运算和_ 一样，而且有理数的运算律对 _仍然适用。（2）两个非负数的算术平方根的积等于这两个数积的算术平方根，算术平方根的商等于这两个数商的算术平方根，用式子表示为_；_。二、考

3、点例析考点 1 平方根、立方根的定义与性质例 1 （1）下列各数是否有平方根？若有，求出其平方根；若没有，说明理由。 625 （ 2）2（ 1）3（ 2）下列各数是否有立方根？若有，求出其立方根。271 343 22分析：（ 1）要判断一个对象有无平方根，首先要对这个对象进行转化，直到能看出它的符号，然后依据平方根的性质进行判断。（2）因为正数、 0、负数均有立方根，所以所给各数都有立方根。解：（ 1）因为6250 ，故其平方根有两个，即625= 25； 因为（ 2）2=40 ， 故其平方根有两个，即2)2(= 2；因为（ 1）3=10 ， b0 ，且 a0 ，a+b0 ，所以原式 =（a b

4、）+ （a+b ）=ab+a+b=2a 说明： 数形结合是解决数学问题常用的思想方法，解题时必须通过所给图形抓住相关数的信息。考点 6 探究题例 7 阅读下列解题过程：221545415454545454b a 0 . . 221656516565656565请回答下列问题：（ 1） 、 观 察 上 面 的 解 题 过 程 ， 请 直 接 写 出 式 子 ：11nn2n（2）、利用上面所提供的解法，请化简：1111121324354109l分析： 通过阅读解题过程不难发现，每个式子的结果都等于分母中两个式子的差。解：（ 1）11nnnn1。=91045342312=110。说明：这类题目需要我

5、们细心观察及思考，探究其中的规律，寻找解决问题的途径。三、易错点例析1、对平方根、算术平方根、立方根的概念与性质理解不透理解不透平方根、算术平方根、 立方根的概念与性质，往往出现以下错误： 求一个正数的平方根时，漏掉其中一个，而求立方根时，又多写一个；求算术平方根时前面加上“ ” 成了平方根等等。例 1 （1）求 641的平方根（2）求81的算术平方根. . 错解：（ 1）25425416；（ 2）81的算术平方根是9 错解分析：错解（1）中混淆了平方根和算术平方根；错解（2）中81=9 ，81的算术平方根其实是9 的算术平方根，而9 的算术平方根是3。正确解法： （1）25425416；（

6、2）81的算术平方根是 3。例 2 求 64 与 27 的立方根。错解： 64 的立方根是 4， 27 没有立方根。错解分析： 64 的立方根是4，只有一个，认为64 的立方根有两个且互为相反数，是与正数的平方根相混淆；27 的立方根是 3，错误地认为27 没有立方根是与负数没有平方根相混淆。正确解法： 因为 43=64 ，所以 64 的立方根是4。因为（ 3）3=27，所以 27 的立方根是 3。2、忽略平方根成立的条件只有非负数才能开平方，这一条件解题时往往被我们忽略。例 3 当 m 取何值时，2m有意义？错解：不论m 取何值时，2m都无意义。错解分析：考虑不全，漏掉了m=0 时的情况。正

7、确解法：当m=0 时， m2=0，此时2m有意义。3、实数分类时只看表面形式. . 对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断。例 4 下列各数 2、3、3.14159、9、35、（7）2、51、38中无理数有错解：无理数有3、9、35、（7）2、38。错解分析： 这种错误认为带根号的数都是无理数。其实能化简的应先化简，9=3，（7）2=7，38=2 ，所以它们是有理数。正确解法：无理数有3、35。4、运算错误在进行实数的运算时要注意运算法则与公式的正确应用，千万不要忽略公式的应用条件。例 5 化简（ 1）5aa9（ 2）)25()9(错解：（ 1）5aa9=5aa3=2 ；（2）)25()9(=)25()9(= （ 3） （ 5）=15 错解分析：（1）中合并同类二次根式