《中考课件初中数学总复习资料》类型五 二次函数与特殊平行四边形判定问题（解析版）

1、类型五 二次函数与特殊平行四边形判定问题例1、如图，抛物线与直线交于两点，其中点在轴上，点的坐标为。点是轴右侧的抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点.（1）求抛物线的解析式；（2）若点的横坐标为，当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。【解析】（1）直线经过点, 抛物线经过点， 抛物线的解析式为（2）点的横坐标为且在抛物线上 ，当时，以为顶点的四边形是平行四边形 当时，解得：即当或时，四边形是平行四边形 当时，解得：（舍去）即当时，四边形是平行四边形例2、如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点a（1，0）、b（3，0），与y轴相交于点c，点p为线段ob上的动点（不与o、b

2、重合），过点p垂直于x轴的直线与抛物线及线段bc分别交于点e、f，点d在y轴正半轴上，od=2，连接de、of（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形odef是平行四边形时，求点p的坐标；【解析】解：（1）点a（1，0）、b（3，0）在抛物线y=ax2+bx+3上，解得a=1，b=2，抛物线的解析式为：y=x2+2x+3（2）在抛物线解析式y=x2+2x+3中，令x=0，得y=3，c（0，3）设直线bc的解析式为y=kx+b，将b（3，0），c（0，3）坐标代入得：，解得k=1，b=3，y=x+3设e点坐标为（x，x2+2x+3），则p（x，0），f（x，x+3），ef=yeyf=x2+2x+3

3、（x+3）=x2+3x四边形odef是平行四边形，ef=od=2，x2+3x=2，即x23x+2=0，解得x=1或x=2，p点坐标为（1，0）或（2，0）例3、如图，抛物线与轴交于点c，与轴交于a、b两点，（1）求点b的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；（3）设点e在轴上，点f在抛物线上，如果a、c、e、f构成平行四边形，请写出点e的坐标（不必书写计算过程）caboyx【解析】解：（1） c (0,3) 1分又tanoca=a（1，0）1分又sabc=6ab=4 1分b（，0）1分（2）把a（1，0）、b（，0）代入得： 1分，2分 顶点坐标（，）1分（3）ac为平行四边形的一边时 e1

4、析(，0) 1分 e2（，0）1分 e3（，0）1分ac为平行四边形的对角线时 e4（3，0）1分例4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点a（3，0）、b（0，3），点p是直线ab上的动点，过点p作x轴的垂线交抛物线于点m，设点p的横坐标为t（1）分别求出直线ab和这条抛物线的解析式（2）若点p在第四象限，连接am、bm，当线段pm最长时，求abm的面积（3）是否存在这样的点p，使得以点p、m、b、o为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点p的横坐标；若不存在，请说明理由【解析】：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把a（3，0）b（0，3）分别代入y=x2

5、+mx+n与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点p的坐标是（t，t3），则m（t，t22t3），用p点的纵坐标减去m的纵坐标得到pm的长，即pm=（t3）（t22t3）=t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=时，pm最长为=，再利用三角形的面积公式利用sabm=sbpm+sapm计算即可；（3）由pmob，根据平行四边形的判定得到当pm=ob时，点p、m、b、o为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当p在第四象限：pm=ob=3，pm最长时只有，所以不可能；当p在第一象限：pm=ob=3，（t22t3）（t3）=3；当p在第三象限：pm=ob=3，t23t=

6、3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值【答案】解：（1）把a（3，0）b（0，3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x22x3设直线ab的解析式是y=kx+b，把a（3，0）b（0，3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线ab的解析式是y=x3；（2）设点p的坐标是（t，t3），则m（t，t22t3），因为p在第四象限，所以pm=（t3）（t22t3）=t2+3t，当t=时，二次函数的最大值，即pm最长值为=，则sabm=sbpm+sapm=（3）存在，理由如下：pmob，当pm=ob时，点p、m、b、o为顶点的四边形为平行四边形，当p在第四象限：pm=ob=3，

7、pm最长时只有，所以不可能有pm=3当p在第一象限：pm=ob=3，（t22t3）（t3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以p点的横坐标是；当p在第三象限：pm=ob=3，t23t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以p点的横坐标是所以p点的横坐标是或例5、如图，抛物线经过三点.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点p，使pa+pc的值最小，求点p的坐标；(3)点m为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点n，使以a,c,m,n四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点n的坐标；若不存在，请说明理由.xyaocb（第5题图）【解析】解：（1）设抛物线的解析式为 ， xyaocb（第5题图）pnmh 根据题意，得，解得抛物线的解析式为： (3分)（2）由题意知，点a关于抛物线对称轴的对称点为点b,连接bc交抛物线的对称轴于点p，则p点 即为所求.设直线bc的解析式为，由题意，得解得 直线bc的解析式为 (6分)抛物线的对称轴是，当时，点p的坐标是. (7分)（3）存在 (8分)(i)当存在的点n在x轴的下方时，如图所示，四边形acnm是平行四边形，cnx轴，点c与点n关于对称轴x=2对称，c