《中考课件初中数学总复习资料》专题21 一元二次方程（解析版）

1、专题21 一元二次方程知识点1：一元二次方程的定义1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程2.一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a0）这种形式叫做一元二次方程的一般形式一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项 知识点2：一元二次方程的解法（1）开平方法：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程；领会降次转化的数学思想（2）配方法：解一元二次

2、方程的一般步骤是现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q的形式，如果q0，方程的根是x=-p±q；如果q0,方程无实根介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了“公

3、式法”以后，学生对这个内容会有进一步的理解。（3）公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此： 解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。)这个式子叫做一元二次方程的求根公式利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。知识点3

4、：解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。1.对本章知识点回顾的思维导图2.理解韦达定理 韦达定理就是研究一元二次方程根与系数的关系的理论。 如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。【例题1】（2020临沂）一元二

5、次方程x24x80的解是（）ax12+23，x2223bx12+23，x2223cx12+22，x2222dx123，x223【答案】b【分析】方程利用配方法求出解即可【解析】一元二次方程x24x80，移项得：x24x8，配方得：x24x+412，即（x2）212，开方得：x2±23，解得：x12+23，x2223【例题2】（2020泸州）已知x1，x2是一元二次方程x24x70的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是【答案】2【分析】根据根与系数的关系求解【解析】根据题意得则x1+x24，x1x27所以，x12+4x1x2+x22（x1+x2）2+2x1x216142【例题

6、3】（2020孝感）已知关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+12k220（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1x23，求k的值【答案】见解析。【分析】（1）根据根的判别式得出（2k+1）24×1×（12k22）2（k+1）2+70，据此可得答案；（2）先根据根与系数的关系得出x1+x22k+1，x1x2=12k22，由x1x23知（x1x2）29，即（x1+x2）24x1x29，从而列出关于k的方程，解之可得答案【解析】（1）（2k+1）24×1×（12k22）4k2+4k+12k2+82k

7、2+4k+92（k+1）2+70，无论k为何实数，2（k+1）20，2（k+1）2+70，无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系得出x1+x22k+1，x1x2=12k22，x1x23，（x1x2）29，（x1+x2）24x1x29，（2k+1）24×（12k22）9，化简得k2+2k0，解得k0或k2【例题4】（2020湘西州）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增

8、长率，预计4月份平均日产量为多少？【答案】见解析。【分析】（1）根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意列出方程即可求解；（2）结合（1）按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日产量【解析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得20000（1+x）224200解得x12（舍去），x20.110%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%（2）24200（1+0.1）26620（个）答：预计4月份平均日产量为26620个一元二次方程单元精品检测试卷本套试卷满分120分，答题时间90分钟一、选择题（每小题3分，共36分）1（2020凉山州）一元二次方

9、程x22x的根为（）ax0bx2cx0或x2dx0或x2【答案】c【分析】移项后利用因式分解法求解可得【解析】x22x，x22x0，则x（x2）0，x0或x20，解得x10，x22，2（2020菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x24x+k0的两个根，则k的值为（）a3b4c3或4d7【答案】c【分析】当3为腰长时，将x3代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式0，解之可得出k值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与3比较后可得知该结论符合题意【解析】当3为腰长时，将x3代入x24x+k0，得：324×3+k0，解得

10、：k3；当3为底边长时，关于x的方程x24x+k0有两个相等的实数根，（4）24×1×k0，解得：k4，此时两腰之和为4，43，符合题意k的值为3或43（2020南京）关于x的方程（x1）（x+2）p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）a两个正根b两个负根c一个正根，一个负根d无实数根【答案】c【分析】先把方程（x1）（x+2）p2化为x2+x2p20，再根据方程有两个不相等的实数根可得1+8+4p20，由2p20即可得出结论【解析】关于x的方程（x1）（x+2）p2（p为常数），x2+x2p20，1+8+4p29+4p20，方程有两个不相等的实数根，两个的积为

11、2p2，一个正根，一个负根，4（2020泰安）将一元二次方程x28x50化成（x+a）2b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）a4，21b4，11c4，21d8，69【答案】a【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案【解析】x28x50，x28x5，则x28x+165+16，即（x4）221，a4，b21，5（2020黔西南州）已知关于x的一元二次方程（m1）x2+2x+10有实数根，则m的取值范围是（）am2bm2cm2且m1dm2且m1【答案】d【分析】根据二次项系数非零及根的判别式0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得

12、出m的取值范围【解析】关于x的一元二次方程（m1）x22x+10有实数根，m-10=22-4×1×(m-1)0，解得：m2且m16（2020怀化）已知一元二次方程x2kx+40有两个相等的实数根，则k的值为（）ak4bk4ck±4dk±2【答案】c【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值【解析】一元二次方程x2kx+40有两个相等的实数根，（k）24×1×40，解得：k±47（2020鄂州）目前以5g等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展某市2019年底有5g用户2万户，计划到2021年底全市

13、5g用户数累计达到8.72万户设全市5g用户数年平均增长率为x，则x值为（）a20%b30%c40%d50%【答案】c【分析】设全市5g用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5g用户数为2（1+x）万户，2021年底全市5g用户数为2（1+x）2万户，根据到2021年底全市5g用户数累计达到8.72万户，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解析】设全市5g用户数年平均增长率为x，则2020年底全市5g用户数为2（1+x）万户，2021年底全市5g用户数为2（1+x）2万户，依题意，得：2+2（1+x）+2（1+x）28.72，整理，得：x2+3x1.360，解得：x10

14、.440%，x23.4（不合题意，舍去）8（2020滨州）对于任意实数k，关于x的方程12x2（k+5）x+k2+2k+250的根的情况为（）a有两个相等的实数根b没有实数根c有两个不相等的实数根d无法判定【答案】b【分析】先根据根的判别式求出“”的值，再根据根的判别式的内容判断即可【解析】12x2（k+5）x+k2+2k+250，（k+5）24×12×（k2+2k+25）k2+6k25（k3）216，不论k为何值，（k3）20，即（k3）2160，所以方程没有实数根.9（2020黔东南州）若菱形abcd的一条对角线长为8，边cd的长是方程x210x+240的一个根，则该菱

15、形abcd的周长为（）a16b24c16或24d48【答案】b【分析】解方程得出x4，或x6，分两种情况：当abad4时，4+48，不能构成三角形；当abad6时，6+68，即可得出菱形abcd的周长【解析】如图所示：四边形abcd是菱形，abbccdad，x210x+240，因式分解得：（x4）（x6）0，解得：x4或x6，分两种情况：当abad4时，4+48，不能构成三角形；当abad6时，6+68，菱形abcd的周长4ab2410（2020衢州）某厂家2020年15月份的口罩产量统计如图所示设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）a180（1x）2461

16、b180（1+x）2461c368（1x）2442d368（1+x）2442【答案】b【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的利润将达到461万只”，即可得出方程【解析】从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2461，11（2020铜仁市）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x26x+k+20的两个根，则k的值等于（）a7b7或6c6或7d6【答案】b【分析】当m4或n4时，即x4，代入方程即可得到结论

17、，当mn时，即（6）24×（k+2）0，解方程即可得到结论【解析】m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，当m4或n4时，即x4，方程为426×4+k+20，解得：k6，当mn时，即（6）24×（k+2）0，解得：k7，综上所述，k的值等于6或7.12（2020遵义）已知x1，x2是方程x23x20的两根，则x12+x22的值为（）a5b10c11d13【答案】d【分析】利用根与系数的关系得到x1+x23，x1x22，再利用完全平方公式得到x12+x22（x1+x2）22x1x2，然后利用整体代入的方法计算【解析】根据题意得x1+x23，x1x22，所

18、以x12+x22（x1+x2）22x1x2322×（2）13二、填空题（每空3分，共36分）13（2020咸宁）若关于x的一元二次方程（x+2）2n有实数根，则n的取值范围是 【答案】n0【分析】将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于n的一元一次不等式，解之即可得出n的取值范围（利用偶次方的非负性也可以找出n的取值范围）【解析】原方程可变形为x2+4x+4n0该方程有实数根，424×1×（4n）0，解得：n014（2020泰州）方程x2+2x30的两根为x1、x2，则x1x2的值为 【答案】-3【分析】根据方程的系数结合根与系数的关系，

19、即可得出x1x2的值【解析】方程x2+2x30的两根为x1、x2，x1x2=ca=-315（2020北京）已知关于x的方程x2+2x+k0有两个相等的实数根，则k的值是【答案】1【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值【解析】关于x的方程x2+2x+k0有两个相等的实数根，224×1×k0，解得：k116（2020枣庄）已知关于x的一元二次方程（a1）x22x+a210有一个根为x0，则a【答案】-1【分析】根据一元二次方程的解的定义把x0代入原方程得到关于a的一元二次方程，解得a±1，然后根据一元二次方程的定义确定a

20、的值【解析】把x0代入（a1）x22x+a210得a210，解得a±1，a10，a117（2020烟台）关于x的一元二次方程（m1）x2+2x10有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 【答案】m0且m1【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m10且224（m1）×（1）0，然后求出两个不等式的公共部分即可【解析】根据题意得m10且224（m1）×（1）0，解得m0且m118（2020甘孜州）三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x28x+120的解，则这个三角形的周长是 【答案】17【分析】先利用因式分解法解方程得到x12，x26，再根据三角形三

21、边的关系得到三角形第三边长为3，然后计算三角形的周长【解析】x28x+120，（x2）（x6）0，解得：x12，x26，若x2，即第三边为2，4+267，不能构成三角形，舍去；当x6时，这个三角形周长为4+7+617，19（2020扬州）方程（x+1）29的根是 【答案】x12，x24【分析】根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可【解析】（x+1）29，x+1±3，x12，x2420（2020上海）如果关于x的方程x24x+m0有两个相等的实数根，那么m的值是 【答案】4【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式b24ac0，即可求m值【解析】依题意，方程

22、x24x+m0有两个相等的实数根，b24ac（4）24m0，解得m4，21（2020天水）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x28x+120的根，则该三角形的周长为【答案】13【分析】先利用因式分解法解方程x28x+120，然后根据三角形的三边关系得出第三边的长，则该三角形的周长可求【解析】x28x+120，（x2）（x6）0，x12，x26，三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x28x+120的根，2+25，2+56，三角形的第三边长是6，该三角形的周长为：2+5+61322（2020江西）若关于x的一元二次方程x2kx20的一个根为x1，则这个一元二次方程的另一个根为 【

23、答案】-2【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解【解析】a1，bk，c2，x1x2=ca=-2关于x的一元二次方程x2kx20的一个根为x1，另一个根为2÷1223（2020成都）关于x的一元二次方程2x24x+m-32=0有实数根，则实数m的取值范围是 【答案】m72【分析】根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可【解析】关于x的一元二次方程2x24x+m-32=0有实数根，（4）24×2×（m-32）168m+120，解得：m7224.（2019年山东省枣庄市）已知关于x的方程ax2+2x

24、30有两个不相等的实数根，则a的取值范围是【答案】a且a0【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的根的判别式是b24ac0即可进行解答【解答】解：由关于x的方程ax2+2x30有两个不相等的实数根得b24ac4+4×3a0，解得a则a且a0三、解答题（7个小题，共48分）25（6分）（2020徐州）（1）解方程：2x25x+30【答案】见解析。【分析】方程利用因式分解法求出解即可。【解析】（1）2x25x+30，（2x3）（x1）0，2x30或x10，解得：x1=32，x2126（8分）（2020广东）已知关于x，y的方程组ax+23y=-1

25、03，x+y=4与x-y=2，x+by=15的解相同（1）求a，b的值；（2）若一个三角形的一条边的长为26，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b0的解试判断该三角形的形状，并说明理由【答案】见解析。【分析】（1）关于x，y的方程组ax+23y=-103，x+y=4与x-y=2，x+by=15的解相同实际就是方程组x+y=4x-y=2的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值；（2）将a、b的值代入关于x的方程x2+ax+b0，求出方程的解，再根据方程的两个解与26为边长，判断三角形的形状【解析】（1）由题意得，关于x，y的方程组的相同解，就是程组x+y=4x-y=2的解，解得，x=3y

26、=1，代入原方程组得，a43，b12；（2）当a43，b12时，关于x的方程x2+ax+b0就变为x2-4 3x+120，解得，x1x223，又（23）2+（23）2（26）2，以23、23、26为边的三角形是等腰直角三角形27（8分）（2020随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m20（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x21，求m的值【答案】见解析。【分析】（1）根据根的判别式得出（2m+1）24×1×（m2）4m2+90，据此可得答案；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2（2

27、m+1），x1x2m2，代入x1+x2+3x1x21得出关于m的方程，解之可得答案【解析】（1）（2m+1）24×1×（m2）4m2+4m+14m+84m2+90，无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系得出x1+x2=-(2m+1)x1x2=m-2，由x1+x2+3x1x21得（2m+1）+3（m2）1，解得m828（8分）（2020鄂州）已知关于x的方程x24x+k+10有两实数根（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且3x1+3x2=x1x24，求实数k的值【答案】见解析。【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案（2）根据根与系数的关系即可求出答案【解析】（1）164（k+1）164k4124k0，k3（2）由题意可知：x1+x24，x1x2k+1，3x1+3x2=x1x24，3(x1+x2)x1x2=x1x24，3×4k+1