《中考课件初中数学总复习资料》第02讲 旋转问题专题-2020年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版

1、硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点一、旋转的理解1. 将图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，如图所示；2. 旋转前后的两个图形全等，即旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小与形；状如aoba1ob1；3. 图形的旋转，本质上是图形上的点在同心圆上作同步运动；4. 以每组对应点和旋转中心为顶点的三角形相似，且都是等腰三角形，如等腰aoa1等腰bob'1；5. 当旋转角为特殊角时，如60°、90°等，会出现特殊等腰三角形，如等边三角形、等腰直角三角形等；6. 当旋转角不大于90°时，对应线段所在直线的夹角等于旋转角，如ab与a1

2、b1所在直线的夹角等于aoa1；7. 当旋转角不大于90时，两组对应点连线所在直线（如aa1与bb1)的夹角等于aob。 图1 图2二、位似的理解1. 如果两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于同一点，对应边互相平行或在同一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫位似中心，这时的相似比又称为位似比，如图2所示；2. 位似前后的两个图形相似，即位似不改变图形的形状，它可以将一个图形进行放大或缩小；3. 图形的位似，本质上是图形上的点在共顶点的直线上的同步运动。旋转运用<1>：共顶点模型的旋转全等1. 如图1-1，abc绕点a旋转到ab1c1，则有abb1acc1（sas）

3、；2. 如图1-2，若abc与aed式等边三角形，则abeacd（sas）；3. 如图1-3，若abc与aed式等腰直角三角形，则abdace（sas）； 图1-1 图1-2 图1-3旋转运用<2>：角含半角旋转模型1. 如图2-1，在正方形 abcd中，若ebf=45°，将bae绕点b旋转至bcg，则有ef=ae+cf；be平分aef；bf平分教efc.2. 如图2-2，在四边形abcd中，若ba=bc， abc+d=180°，且ebf=abc， 图2-1则有ef=ae+cf；be平分aef；bf平分教efc.3. 如图2-3，在等腰rtabc中，若交dae=

4、45°，可将abd绕点a旋转至acf，则有de2=bd2+ce2；4. 如图2-4，在等腰rtabc中，若交dae=45°，可将abd绕点a旋转至acf，仍有de2=bd2+ce2；5. 如图2-5，在等腰rtabc中，若交dae=135°， 图2-2可将abd绕点a旋转至acf，则有de2=bd2+ce2；图2-3 图2-4 图2-5旋转运用<3>：对角互补模型1. 如图3-1，已知四边形abcd中，bdc=bac=90°，且db=dc，则有ab+ac=ad；2. 如图3-2，已知四边形abcd中，bdc=bac=90°，且db=

5、dc，则有ab-ac=ad； 图3-1 图3-23. 如图3-3，已知等边abc，且bpc=120°，则有pa=pb+pc；4. 如图3-4，已知等边abc，且bpc=30°，则有pa2=pb2+pc2； 图3-3 图3-45. 如图3-5，已知等腰abc，且bac=120°，且bpc=60°，则有pb+pc=pa；6. 如图3-6，已知等腰abc，且bac=120°，且bpc=120°，则有pc-pb=pa； 图3-5 图3-6旋转运用<4>：旋转相似模型1. 如图4-1，已知等腰abc，ab=ac，将abd旋转至ace

6、，则有adeabc；2. 如图4-2，若adeabc，则有adeabc； 图4-1 图4-2旋转运用<5>：费马旋转模型1. 如图5-1，在abc中找一点p，使得ap+bp+cp的值最小，将apc绕点a逆时针旋转60°至aqe，则有ap+bp+cp=pq+bp+qebe，当且仅当b、p、q、e四点共线时取得最小值为be，且此时有apb=bpc=apc=120°. 图5-1 2. 如图5-2，等腰abc中，bac=120°，p是abc内部一点，且ap=1，cp=，apc=120°，求bp的长。（将apb绕点a逆时针旋转120°至adc

7、，连接pd计算可得bp=）3. 如图5-3，等腰rtabc中，bac=90°，p是abc内部一点，且cp=1，ap=，bp=，求apc的度数。（将apb绕点a逆时针旋转90°至adc，连接pd计算可得apc=135°） 图5-2 图5-3 【例题1】（1）如图1，已知acbdce90°，acbc6，cdce，ae3，cae45°，求ad的长（2）如图2，已知acbdce90°，abccedcae30°，ac3，ae8，求ad的长【解答】解：（1）如图1，连接be，acbdce90°，acb+acedce+ace，即

8、bceacd，又acbc，dcec，在acd和bce中，acdbce，adbe，acbc6，ab6，baccae45°，bae90°，在rtbae中，ab6，ae3，be9，ad9；（2）如图2，连接be，在rtacb中，abcced30°，tan30°，acbdce90°，bceacd，acdbce，bac60°，cae30°，bae90°，又ab6，ae8，be10，ad【例题2】（1）如图1，已知等腰rtabc，bac=90°，且adb=45°，bd=4，cd=，求ad的长.（2） 如图2

9、，已知等腰rtabc，bac=90°，且adb=75°，bd=6，ad=，求cd的长.（3） 如图3，在四边形abcd中，bc=cd，bcd=90°，若ab=4，ad=3，求对角线ac的最大值. 图1 图2 图3 解：如图（1）ad=；（2）cd=be=14；（3）ac最大值=【例题3】如图，在abc中，bac=90°，ab=，ac=，将abc绕着点a旋转得到ade，连接db、ec，直线db、ec相交于点f，点p是ac中点，线段pf的最大值为_.解：旋转相似，辅助圆，答案为【例题4】（1）如图1，ac，bd是四边形abcd的对角线，若acbacdabda

10、db60°，则线段bc，cd，ac三者之间有何等量关系？（2）如图2，如果把“acbacdabdadb60°”改为“acbacdabdadb45°”，其它条件不变，那么线段bc，cd，ac三者之间有何等量关系？（3）如图3，如果把“acbacdabdadb60°”改为“acbacdabdadb”，其它条件不变，那么线段bc，cd，ac三者之间有何等量关系？ 图1 图2 图3【解答】解：（1）如图，延长cb到e，使becd，连接ae，证得abeadc，从而容易证明ace是等边三角形，故acce，所以acbc+cd（2）bc+cdac；理由：如图1，延长cd

11、至e，使debc，连接ae，易得，在abc和ade中，abcade（sas），acbaed45°，acae，ace是等腰直角三角形，ceac，cecd+decd+bc，bc+cdac；（3）bc+cd2accos理由：如图2，延长cd至e，使debc，abdadb，abad，bad180°abdadb180°2，acbacd，acb+acd2，bad+bcd180°，abc+adc180°，adc+ade180°，abcade，在abc和ade中，abcade（sas），acbaed，acae，aec，过点a作afce于f，ce2cf

12、，在rtacf中，acd，cfaccosacdaccos，ce2cf2accos，cecd+decd+bc，bc+cd2accos【例题5】【操作】bd是矩形abcd的对角线，ab4，bc3将bad绕着点b顺时针旋转度（0°360°）得到bef，点a、d的对应点分别为e、f若点e落在bd上，如图，则de【探究】当点e落在线段df上时，cd与be交于点g其它条件不变，如图（1）求证：adbedb；（2）cg的长为【拓展】连结cf，在bad的旋转过程中，设cef的面积为s，直接写出s的取值范围【解答】【操作】解：四边形abcd是矩形，a90°，adbc3，bd5，由旋

13、转的性质得：beba4，debdbe541；故答案为：1；【探究】（1）证明：由旋转的性质得：befbad，befa90°，beba，bed180°bef90°a，在rtadb和rtedb中，rtadbrtedb（hl）；（2）解：四边形abcd是矩形，abcd，cdab4，bcd90°，abdcdb，由折叠的性质得：abdebd，cdbebd，dgbg，设cgx，则dgbg4x，在rtbcg中，由勾股定理得：x2+32（4x）2，解得：x，即cg；故答案为：；【拓展】解：cef的边长efad3，点c到ef的距离最小时，cef的面积最小；点c到ef的距离

14、最大时，cef的面积最大；当点e在bc的延长线上时，点c到ef的距离最小，如图所示：此时ceef，cebebc431，cef的面积s最小ef×ce×3×1；当点e在cb的延长线上时，点c到ef的距离最大，如图所示：此时ceef，cebe+bc4+37，cef的面积s最大ef×ce×3×7；s的取值范围为s【例题6】如图，在abc中，abac2，bac120°，点d、e都在边bc上，dae60°若bd2ce，则de的长为【解答】解：（方法一）将abd绕点a逆时针旋转120°得到acf，连接ef，过点e作em

15、cf于点m，过点a作anbc于点n，如图所示abac2，bac120°，bncn，bacb30°在rtban中，b30°，ab2，anab，bn3，bc6bac120°，dae60°，bad+cae60°，faefac+caebad+cae60°在ade和afe中，adeafe（sas），defebd2ce，bdcf，acfb30°，设ce2x，则cmx，emx，fm4xx3x，efed66x在rtefm中，fe66x，fm3x，emx，ef2fm2+em2，即（66x）2（3x）2+（x）2，解得：x1，x2（不

16、合题意，舍去），de66x33故答案为：33 【例题7】如图，如四边形abcd中，ad=cd，abc=75°，adc=60°，ab=2，bc=，求四边形abcd的面积.1如图，p为等边三角形abc内的一点，且p到三个顶点a，b，c的距离分别为3，4，5，则abc的面积为（）abcd【解答】解：abc为等边三角形，babc，可将bpc绕点b逆时针旋转60°得bea，连ep，且延长bp，作afbp于点f如图，bebp4，aepc5，pbe60°，bpe为等边三角形，pepb4，bpe60°，在aep中，ae5，ap3，pe4，ae2pe2+pa2，

17、ape为直角三角形，且ape90°，apb90°+60°150°apf30°，在直角apf中，afap，pfap在直角abf中，ab2bf2+af2（4+）2+（）225+12则abc的面积是ab2（25+12）故选：a2（2019巴中）如图，等边三角形abc内有一点p，分別连结ap、bp、cp，若ap6，bp8，cp10则sabp+sbpc24+16【解答】解：如图，将bpc绕点b逆时针旋转60°后得ap'b，连接pp，根据旋转的性质可知，旋转角pbpcab60°，bpbp，bpp为等边三角形，bpbp8pp

18、9;；由旋转的性质可知，appc10，在bpp中，pp8，ap6，由勾股定理的逆定理得，app是直角三角形，sabp+sbpcs四边形ap'bpsbp'b+sap'pbp2+×pp'×ap24+16故答案为：24+163（2019绵阳）如图，abc、bde都是等腰直角三角形，babc，bdbe，ac4，de2将bde绕点b逆时针方向旋转后得bde，当点e恰好落在线段ad上时，则ce【解答】解：如图，连接ce，abc、bde都是等腰直角三角形，babc，bdbe，ac4，de2，abbc2，bdbe2，将bde绕点b逆时针方向旋转后得bde，d

19、bbebd2，dbe90°，dbdabe，abdcbe，abdcbe（sas），dceb45°，过b作bhce于h，在rtbhe中，bhehbe，在rtbch中，ch，ce+，故答案为：4（2019十堰）如图，正方形abcd和rtaef，ab5，aeaf4，连接bf，de若aef绕点a旋转，当abf最大时，sade6【解答】解：作dhae于h，如图，af4，当aef绕点a旋转时，点f在以a为圆心，4为半径的圆上，当bf为此圆的切线时，abf最大，即bfaf，在rtabf中，bf3，eaf90°，baf+bah90°，dah+bah90°，dah

20、baf，在adh和abf中，adhabf（aas），dhbf3，sadeaedh×3×46故答案为65（2019营口）如图，abc是等边三角形，点d为bc边上一点，bddc2，以点d为顶点作正方形defg，且debc，连接ae，ag若将正方形defg绕点d旋转一周，当ae取最小值时，ag的长为8【解答】解：过点a作ambc于m，bddc2，dc4，bcbd+dc2+46，abc是等边三角形，abacbc6，ambc，bmbc×63，dmbmbd321，在rtabm中，am3，当点e在da延长线上时，aedead此时ae取最小值，在rtadm中，ad2，在rtadg

21、中，ag8；故答案为：86如图，rtabc中，acb90°，将abc绕点b顺时针旋转90°至ebd，连接dc并延长交ae于点f，若cf1，cd2，则ae的长为2【解答】解：延长ac交de于h，连接bh、bf，bh与df交于n，如图所示：acb90°，bch90°，abc绕点b顺时针旋转90°至ebd，abe90°，abbe，cbd90°，bde90°，bcbd，四边形bchd是正方形，abe是等腰直角三角形，hcddbh45°，ahd90°，bhdf，bncndncd1，ahe90°，

22、fncf+cn1+12，bf，aheabe90°，a、b、h、e四点共圆，eahebh，efdeah+fcaebh+hcdebd，b、d、e、f四点共圆，bde90°，bfe90°，bfae，abe是等腰直角三角形，ae2bf2，（或者feb=fdb，故e、f、d、b四点共圆可得bfe=90°）故答案为：27如图，点c在以ab为直径的半圆上，ab8，cba30°，点d在线段ab上从点a运动到点b，点e与点d关于ac对称，dfde于点d，并交ec的延长线于点f（1）求证：cecf；（2）求线段ef的最小值；（3）当点d从点a运动到点b时，试求线段

23、ef扫过的面积（直接写出结果）【解答】（1）证明：如图1，设ac于点de交于点g，则egdg，且edac，dfde，egcedf90°，acdf，且g为ed中点，ecfc；（2）解：由（1）知，ef2cd，当线段ef最小时，线段cd也最小，根据垂直线段最短的性质，当cdad时线段cd最小，ab是半圆o 的直径，acb90°，ab8，cba30°，ac4，bc4，当cdad时，cdbc2，此时ef2cd4，即ef的最小值为4；（3）解：当点d从点a运动到点b时，如图2，ef扫过的图形就是图中的阴影部分，线段ef扫过的面积是abc面积的2倍，由（2）知ac4，bc4，

24、sabcacbc×4×48，线段ef扫过的面积是168类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”（1）如图1，在四边形abcd中添加一个条件使得四边形abcd是“等邻边四边形”请写出你添加的一个条件（2）问题探究小红提出了一个猜想：对角线互相平分且相等的“等邻边四边形”是正方形她的猜想正确吗？请说明理由（3）如图2，“等邻边四边形”abcd中，abad，bad+bcd90°，ac，bd为对角线，试探究线段bc，cd，bd之间的数量关系，并证明你的结论【解答】解：（1）abbc，理由：四边形abcd是凸四边形，且abbc，四边形ab

25、cd是“等邻边四边形”（2）正确；理由为：四边形的对角线互相平分且相等，四边形abcd是矩形四边形是“等邻边四边形”，这个四边形有一组邻边相等，四边形abcd是菱形对角线互相平分且相等的等邻边四边形是正方形，（3）bc2+cd22bd2证明：如图，abad，将adc线绕点a旋转到abf，连接cf，则abfadc，abfadc，bafdac，afac，fbcd，badcaf，acfabd，bad+adc+bcd+abc360°，abc+adc360°（bad+bcd）360°90°270°abc+abf270°，cbf90°，

26、bc2+cd22bd29如图1，已知abc为等边三角形，点d，e分别在边ab、ac上，adae，连接dc，点m，p，n分别为de，dc，bc的中点（1）观察猜想在图1中，线段pm与pn的数量关系是pmpn，mpn的度数是120°；（2）探究证明把ade绕点a逆时针方向旋转到图2的位置，判断pmn的形状，并说明理由；求mpn的度数；（3）拓展延伸若abc为直角三角形，bac90°，abac12，点de分别在边ab，ac上，adae4，连接dc，点m，p，n分别为de，dc，bc的中点把ade绕点a在平面内自由旋转，如图3pmn的是等腰三角形直接利用中的结论，求pmn面积的最大

27、值【解答】解：（1）结论：pmpn，120°理由：如图1中，abc是等边三角形，abac，adae，bdec，点m，p，n分别为de，dc，bc的中点，pmec，pnbd，pmac，pnab，pmpn，mpdacd，pncb60°mpnmpd+dpnacd+dcb+pnc120°故答案为pmpn，120°（2）如图2中，连接bd、ecbacdae60°，badcae，baca，daea，badcae（sas），bdce，abdace，点m，p，n分别为de，dc，bc的中点，pnbd，pmec，pnbd，pmce，pnpm，pmn是等腰三角形p

28、nbd，pmecpncdbc，dpmaecd，mpnmpd+dpnecd+pnc+dcbecd+dcb+dbcace+acd+dcb+dbcabd+acb+dbcacb+abc120°（3）pmn是等腰直角三角形；pmpnbd，bd最大时，pm最大，pmn面积最大，点d在ba的延长线上，bdab+ad16，pm8，spmn最大pm2×823210在abc中，abc60°（1）abac，pa5，pb3如图1，若点p是abc内一点，且pc4，求bpc的度数如图2，若点p是abc外一点，且apb60°，求pc的长（2）如图3，abac，点p是abc内一点，ab

29、6，bc8，则pa+pb+pc的最小值是2【解答】解：（1）在abc中，abc60°，abac，abc是等边三角形，如图1，将abp绕点b顺时针旋转60°得到cbp，连接pp，bpbp，pbpabc60°，bpp是等边三角形；pppb，bpp60°，由旋转的性质得，pcpa5，pp2+pc232+4225pc2，cpp是直角三角形，cpp90°，bpcbpp+cpp60°+90°150°；如图2中，以ap为边向上作等边pae，作efbp交bp的延长线于feapbac60°，eabpac，aeap，abac，eabpac（sas），bepc，apeapb60°，epf180°60°60°120°，pepa5，pfpecos6