《中考课件初中数学总复习资料》专题36第7章圆之证明切线的方法备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）

1、36第7章圆之证明切线的方法一、单选题1同学小明在用一副三角板画出了许多不同度数的角，但下列哪个度数他画不出来（）a15° b65° c75° d135°【答案】b【解析】试题分析：一副三角板中有30°，45°，60°和90°，60°45°15°，30°45°75°，45°90°135°，所以可画出15°、75°和135°等，但65°画不出故选b点睛：本题考查了角的和差运算，用一副三角板

2、只能画出三角板上各个角的和差组成的角二、填空题2如图，ab是o的直径，点d、e是半圆的三等分点，ae、bd的延长线交于点c，若ce2，则图中阴影部分的面积为_【答案】【分析】结合题意，利用三角形边长关系，得出oae、ode、obd、cde都是等边三角形，将阴影部分的面积转化为三角形的面积，然后利用扇形面积，建立等式，计算结果，即可.【详解】连接oe、od，点d、e是半圆的三等分点，aoeeoddob60°oaoeodoboae、ode、obd、cde都是等边三角形，abde，sodesbde；图中阴影部分的面积s扇形oaesoae+s扇形ode=故答案为【点睛】考查圆综合问题，考查等

3、边三角形的判定，关键将阴影部分面积转化为苛求的三角形面积，难度中等3如图是某几何体的三视图及相关数据（单位：cm），则该几何体的侧面积为_cm2【答案】2【分析】结合题意，得出直径和母线的长度，发现侧面展开的图形是以2为半径的半圆，计算面积，即可【详解】解：由题意得底面直径为2，母线长为2，几何体的侧面积为×2×22，故答案为2【点睛】考查圆面积计算公式，关键得出侧面展开图形是一个半圆，难度中等4如图，ab是o的直径，ab13，ac5，则tanadc_【答案】【分析】结合勾股定理，计算bc的长度，利用圆周角定理，计算结果，即可【详解】解：ab为o直径，acb90°

4、，bc12，tanadctanb，故答案为:【点睛】考查勾股定理，考查圆周角定理，关键得出，计算结果，即可，难度中等5在平面直角坐标系中，o为坐标原点，则直线y=x+与以o点为圆心，1为半径的圆的位置关系为_【答案】相切【详解】解：令y=x+=0，解得：x=，令x=0，解得：y=，直线y=x+与x轴交于点a（，0），与y轴交于点b（0，），oa=，ob=，ab=设圆心到直线y=x+的距离为r，则r=1，半径为1，d=r，直线y=x+与以o点为圆心，1为半径的圆的位置关系为相切，故答案为：相切【点睛】本题考查直线与圆的位置关系；坐标与图形性质三、解答题6如图，在中，c=90°，以bc为

5、直径的o交ab于点d，在线段ac上取点e，使a=ade（1）求证：de是o的切线；（2）若a=30°，o的半径为2，求图中阴影部分的面积（结果保留）【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）如图（见解析），先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证；（2）如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得，再利用勾股定理可得，然后利用扇形的面积公式和三角形的面积公式即可得【详解】（1）如图，连接od，又，即，点d在上，即od为的半径，de是的切线；（2）如图，过点o作于点h，为等边三角形，则阴影部分的面积为【点睛

6、】本题考查了圆的切线的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式等知识点，较难的是题（2），熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键7如图已知ab是o的直径，点c，d在o上，dc平分acb，点e在o外，(1)求证：ae是o的切线；(2)求ad的长【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）根据圆周角定理可知，由直径所对圆周角是90°，可知和互余，推出和互余，和互余，从而证明结论（2）dc平分acb可知，根据圆周角定理可知，是等腰直角三角形，ad的长是圆半径的倍，计算求出答案【详解】（1）和是所对圆周角，；ab是圆的直径，在中，ae是o的切线（2）如图：ab是圆的直径，d

7、c平分acb，是直角三角形；，【点睛】本题考查圆周角定理、勾股定理，熟练运用圆周角定理是解题关键8如图，在rtabc中，acb=90°，cd是斜边ab上的中线，以cd为直径的o分别交ac，bc于点m，n，过点n作neab，垂足为e，（1）若o的半径为，ac=6，求bn的长；（2）求证：ne与o相切【答案】（1）bn=4；（2）见解析【分析】（1）由直角三角形的性质可求ab=10，由勾股定理可求bc=8，由等腰三角形的性质可得bn=4；（2）欲证明ne为o的切线，只要证明onne【详解】解：（1）连接dn，ono的半径为，cd=5acb=90°，cd是斜边ab上的中线，bd=

8、cd=ad=5，ab=10，bc=8cd为直径cnd=90°，且bd=cdbn=nc=4（2）acb=90°，d为斜边的中点，cd=da=db=ab，bcd=b，oc=on，bcd=onc，onc=b，onab，neab，onne，ne为o的切线【点睛】本题考查切线的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型9如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于a、b两点（点a在点b的左侧），与y轴交于点c，抛物线的顶点为m，对称轴交x轴于e，点d在第一象限，且在抛物线的对称轴上，deoc，dm（1）求抛物线的对称轴方程；（2）若dadc，求抛物线的解

9、析式；（3）在（2）的条件下，点p是抛物线对称轴上的一个动点，若在直线bm上只存在一个点q，使pqc45°，求点p的坐标【答案】（1）x5；（2）yx2x+4；（3）点p的坐标为（5，9）或（5，）【分析】（1）d点坐标（ ，c），m点坐标（， ）， ，化简求出b值；代入计算， 即是对称轴的方程（2）利用韦达定理求出ae，aeab，ab；在r t 中， dec，addc5，由勾股定理得：ad2de2+ae2，即可求解（3）作的外接圆，圆心点k 到点c、q距离相等，构造一个含坐标参数的方程，线段kq只有一个解，利用根的判别式，计算出p点坐标【详解】（1）occ，deocc，点d在抛物线

10、对称轴上，点d纵坐标为c，点m是抛物线顶点，点m的纵坐标为，则dmc（cb2）， ；解得b（舍去），或b，抛物线的对称轴为直线x=5；（2）由（1）可知抛物线的表达式为yx2x+c，令yx2x+c0，设a、b两点横坐标为xa、xb，则xa+xb10，xaxb4c，则ab，在rt中，aeab，dec，addc5，由勾股定理得：ad2de2+ae2， ，25c2+254c，化简得： ，解得c4，故抛物线的表达式为yx2x+4；（3）如图，连接pq、pc、qc，作的外接圆k，连接kp、kc，过点k作y轴的垂线，交y轴于点f，交抛物线的对称轴于点n，设点k的坐标为（m，n），点p（5，t），pqc45

11、°，故pkc90°，且pkckqk，fkc+nkp90°，nkp+npk90°，fkcnpk，rtrt（aas），cfnk，pnmk，4n5m，tnm，nm1，t2m1，故点k的坐标为（m，m1），点p的坐标为（5，2m1）由抛物线的表达式知，顶点m的坐标为（5，），点b的坐标为（8，0），由点b、m的坐标得，直线mb的表达式为yx6，设点q的坐标为（r，r6），由kc2kq2得，m2+（m14）2（mr）2+（m1r+6）2，整理得：r2（m+）r+20m0，关于r的一元二次方程，直线bm上只存在一个点q，r的解只有一个，（m+）24×

12、15;20m0，解得m5或，点p坐标（5，t），t2m1，当m5时，t9；当m时，t；故点p的坐标为（5，9）或（5，）【点睛】本题考查勾股定理，一元二次方程根的判别式，二次函数图像性质，圆与直线关系；涵盖知识点多，理解题中“直线bm上只存在一个点q”隐含的条件，即的外接圆与直线bm相切，这是解决第三个问题的关键10如图，已知p是o外一点，po交圆o于点c，oc=cp=2，弦aboc，aob=120，连接pb(1)求bc的长；(2)求证：pb是o的切线【答案】（1）2；（2）见解析【分析】（1）由oa=ob，弦aboc，易证得obc是等边三角形，则可求得bc的长；（2）由oc=cp=2，obc

13、是等边三角形，可求得bc=cp，即可得p=cbp，又由等边三角形的性质，obc=60°，cbp=30°，则可证得obbp，继而证得pb是o的切线【详解】解：（1）oa=ob，弦aboc，aoc=boc=12aob=60，ob=oc，obc是等边三角形，bc=oc=2；（2）证明：oc=cp，bc=oc，bc=cp，cbp=cpb，obc是等边三角形，obc=ocb=60，cbp=30，obp=cbp+obc=90，obbp，点b在o上，pb是o的切线【点睛】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂

14、直即可11如图，ab为o的直径，且ab4，dbab于b，点c是弧ab上的任一点，过点c作o的切线交bd于点e连接oe交o于f（1）求证：adoe；（2）填空：连接oc、cf，当db 时，四边形oceb是正方形；当db 时，四边形oacf是菱形【答案】（1）见解析；（2）4，bd4【分析】（1）连接oc、bc，由ab为o的直径，dbab于b，推出db是o的切线，进而证明oebc，acbc，即可得出结论；（2）若四边形oceb是正方形，cebeobocab2，由（1）可证，得到debe2，bdbe+de4即可求出；若四边形oacf是菱形，则oaac，又oaoc，于是oac为等边三角形，a60

15、76;，在rtabd中，由tana，即可求得bd【详解】（1）证明：连接oc、bc，如图1，ab为o的直径，dbab于b，db是o的切线，ce与o相切于点c，bece，点e在bc的垂直平分线上，oboc，点o在bc的垂直平分线上，oebc，acb90°，即acbc，adoe；（2）如图2，若四边形oceb是正方形，ab4，cebeobocab2，oeac，debe2，bdbe+de4，故答案为：4；若四边形oacf是菱形，co平分acf，cfoa，acofcoaoc，oaoc，aacoaoc，aoc是等边三角形，a60°，abd90°，rtabd中，tana，bd

16、4，故答案为：4；【点睛】本题是圆综合题，正方形的性质，菱形的性质，以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握圆的相关性质以及菱形和正方形的性质是解题的关键12如图，在rtabc中，c90°，ad是bac的角平分线，以ab上一点o为圆心，ad为弦作o（1）尺规作图：作出o（不写作法与证明，保留作图痕迹）；（2）求证：bc为o的切线【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析【分析】（1）因为ad是弦，所以圆心o即在ab上，也在ad的垂直平分线上，作ad的垂直平分线，与ab的交点即为所求；（2）因为d在圆上，所以只要能证明odbc就说明bc为o的切线【详解】解：（1）如图所示，o即为所求；（2

17、）证明：连接odoaod，oadoda，ad是bac的角平分线，cadoad，odacad，odac又c90°，odb90°，bc是o的切线【点睛】本题主要考查圆的切线，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键13如图，在o 中，点d在直径ab的延长线上，点c、e在o上，cecb，bcdcae，延长ae、bc交于点f(1) 求证：cd是o的切线；(2) 若bd1，cd，求线段ef的长【答案】（1）详见解析；（2）【分析】（1）连oc，根据切线的判定，证明；（2）设半径为r，在用勾股定理列式求出半径，过o作ohae于h，证明，利用对应边成比例列式求出ah，由垂径定理得到ae，最

18、后用af-ae求得ef长【详解】（1）连oc，oaoc，oacoca，ab为直径，acb90°，cecb，caeoac，bcdcae，bcdoca，ocdbcdocbocaocb90°，oc是o半径，cd是o的切线； （2）设o的半径为r，在rtocd中，oc²cd²od²，即：r2()2(r1)2，解得r，由（1）得，cabcaf，acbf，afab1，过o作ohae于h，则aheh，cecb，eabcob，即，ah，ae2ah，efafae1【点睛】本题考查的是圆的综合题，涉及切线的证明和相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握这些性质定理

19、结合题目条件进行证明14如图，在abc中，abac，bac120°，点d在bc边上，d经过点a和点b且与bc边相交于点e（1）求证：ac是d的切线；（2）若ce2，求d的半径【答案】（1）见解析；（2）d的半径ad2【分析】（1）连接ad，根据等腰三角形的性质得到b=c=30°，bad=b=30°，求得adc=60°，根据三角形的内角和得到dac=180°-60°-30°=90°，于是得到ac是d的切线；（2）连接ae，推出ade是等边三角形，得到ae=de，aed=60°，求得eac=aed-c=30&

20、#176;，得到ae=ce=2，于是得到结论【详解】（1）证明：连接ad，abac，bac120°，bc30°，adbd，badb30°，adc60°，dac180°60°30°90°，ac是d的切线；（2）解：连接ae，adde，ade60°，ade是等边三角形，aede，aed60°，eacaedc30°，eacc，aece2，d的半径ad2【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键15如图，已知是的直径，与的两直角边

21、分别交于点、，点是弧的中点，连接（1）求证：直线是的切线；（2）若，求的值【答案】（1）见解析；（2）tancaf=【分析】（1）连结of，be，由题意易得becd，再由点f是中点可求证ofcd，问题得证；（2）由题意易得ofdacd，然后利用相似三角形的性质进行求解ac的长，然后利用勾股定理及线段比例关系进行求解即可【详解】（1）证明：连结of，be，ab是o的直径，aeb=90°，c=90°，aeb=acd，becd， 点f是弧be的中点，ofbe，ofcd， 直线df是o的切线； （2）解：c=ofd=90°，acof，ofdacd， ，bd=1，ob=2，

22、od=3，ad=5，of=2,， cd=， ，tancaf=【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系及解直角三角形，关键是根据题意得到切线，然后根据相似三角形的性质及勾股定理进行求解三角函数即可16已知为o直径，、为上两点，连接交于点，点为延长线上一点，且，（1）求证：为o切线（2）若，且，求的值【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）连接、，根据，且，得到为正三角形，得到，设可得，则有，可求出，则有，可证为o切线；（2）连接，作、，根据，可得，得到，设，根据，则有，可得，根据，可解得，则，根据为正三角形得到，根据得到，可有，可得，则，利用可得结果【详解】解：（1）连接、，且为正三角形又设则又

23、，为o切线（2）连接，作、，易知，设，则，由上式，又由（1）可知，解得或又，又，为正三角形，【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定与性质，三角函数等知识，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键17如图1，cd是o的直径，且cd过弦ab的中点h，连接bc，过弧ad上一点e作efbc，交ba的延长线于点f，连接ce，其中ce交ab于点g，且fefg（1）求证：ef是o的切线；（2）如图2，连接be，求证：be2bgbf；（3）如图3，若cd的延长线与fe的延长线交于点m，tanf，bc5，求dm的值【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【分析】（1）根据已知

24、得出gch+cgh=+=90°，而feo=feg+ceo=+=90°，即可求解；（2）cba=f，故f=ceb，而fbe=gbe，故febegb，即可求解；（3）在rtbch中，bc=5，tancbh=tan= 则sin=，cos=，ch=bcsin=， 同理hb=，设圆的半径为r，则ob2=oh2+bh2，求出r的值，解rtcde求得fg，继而得出答案【详解】（1）连接oe，则oceoec，fefg，fgefeg，h是ab的中点，chab，gchcgh90°，feofegceo90°，ef是o的切线；（2）chab，cbaceb，efbc，cbaf，故

25、fceb，fbegbe，febegb，；（3）如图2，过点f作frce于点r，设cbacebgfe，则tan，efbc，fecbcg，故bcg为等腰三角形，则bgbc5，在rtbch中，bc5，tancbhtan，则sin，cos，chbcsin5×3，同理hb4；设圆的半径为r，则ob2oh2bh2，即r2（r3）2（4）2，解得：r；ghbgbh54，tangch，则cosgch，则tancgh3tan，则cos，连接de，则ced90°，在rtcde中cosgch，解得：ce，在feg中，cos，解得：fg；fhfggh，hmfhtanf×；cmhmch，m

26、dcmcdcm2r【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、三角函数值的知识，切线的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键，综合性较强18如图，在rtabc中，abc90°，以ab为直径作o，d为o上一点，且cdcb，连接do并延长交cb的延长线于点e（1）判断直线cd与o的位置关系，并说明理由；（2）若be4，oe5，求ac的长【答案】（1）cd与o相切理由见解析；（2）ac6【分析】（1）连接oc，如图，根据sss可证codcob，于是可得cdocbo90°，进而可得结论；（2）根据勾股定理可得bo的长，进而可得de的长，易证eobecd，然后根据相似三角形的性质可求出cd的长，即为cb的长，再在rtabc中利用勾股定理求解即可【详解】解：（1）cd与o相切理由如下：连接oc，如图，在cod和cob中，co=co，od=ob，cd=cb，codcob（sss），cdocbo90°，odcd，cd为o的切线；（2）在rtobe中，oe5，be4，ob3，