工程力学 华中科大课件 - 2 刚体力学基本概念与理论

1、12-形状和大小不变，且内部各点的相对位置形状和大小不变，且内部各点的相对位置 也不变的一种也不变的一种物体理想模型物体理想模型。研究刚体在力系作用下的研究刚体在力系作用下的平衡平衡问题。问题。34单位单位：n or knn or kn； 力不可直接度量。可以度量的是其效应，力不可直接度量。可以度量的是其效应， 作用效应相同，则力系等效。作用效应相同，则力系等效。定义：力是物体间的相互作用，作用效应是使物体定义：力是物体间的相互作用，作用效应是使物体 运动状态发生变化（外）或使物体变形（內）。运动状态发生变化（外）或使物体变形（內）。作用力和反作用力作用力和反作用力： 力是成对出现的，作用在力

2、是成对出现的，作用在 不同的物体上，等值、反向、共线。不同的物体上，等值、反向、共线。力是矢量力是矢量： 力的作用效果，取决于大小、方向、作用点。力的作用效果，取决于大小、方向、作用点。 刚体刚体-不考虑内效应；则力可沿其作用线滑移。不考虑内效应；则力可沿其作用线滑移。 三要素成为力的大小、方向和作用线。三要素成为力的大小、方向和作用线。 因此，对于刚体而言，力是滑移矢。因此，对于刚体而言，力是滑移矢。 若干个共点力，可以合成为一个合力。若干个共点力，可以合成为一个合力。2.1 力力5用用几何法几何法求汇交力系合力时，应注意求汇交力系合力时，应注意分力首尾相接，分力首尾相接，合力是从第一力的箭

3、尾指向最后一力的箭头。合力是从第一力的箭尾指向最后一力的箭头。几何法几何法：用平行四边形法则进行合成和分解。用平行四边形法则进行合成和分解。 fr=f1+f2+fn= foa) 平行四边形法则f2f1b) 力三角形f2d) 力多边形f1of5oc) 汇交力系f4f2f1f3of1f2f4f3f56 f220f1故可知：故可知： = =70 时，时， f2最小。最小。且可求得：且可求得： f1=940n, f2=342n 。 df2/d =- -fsin20 cos(160 - - )/sin2(160 - - )=0由由f2最小的条件，还有最小的条件，还有20f1f27 （投影求和法）（投影求

4、和法）或者：或者：。afx 力在任一轴上的投影fx8y xfo 。xofx分力分力fx=？讨论：力的投影与分量讨论：力的投影与分量可见，可见，。fxyoxfy ofyfxfyfxfyfx9 ac-bc=ab由由合力投影定理合力投影定理有：有： frx=f1x+f2x+fnx= fx fry=f1y+f2y+fny= fy 合力的投影abcf1xf2正交坐标系正交坐标系有有: ;rxrxff= =ryryff= =2222)()(=yxryrxrfffffxyrxryfffftg=afrxxyfrya10frx= fx=-400+250cos45 -2004/5 =-383.2 nfry= fy

5、=250cos45 -500+2003/5 =-203.2n35445f3=500nf4=200nyxof2=250nf1=400na a： =433.7n; a a=arctg(203.2/383.2)=27.9 a a在第三象限，如图所示。在第三象限，如图所示。22ryrxrfff=yxof2f3f4f1 a a11abc三铰拱bc二力杆若刚体在二个力的作用下处于平衡，则此二力必大若刚体在二个力的作用下处于平衡，则此二力必大小相等、方向相反、且作用在两受力点的连线上小相等、方向相反、且作用在两受力点的连线上。aboab棘爪棘轮12作用在同一平面内，大小作用在同一平面内，大小相等、方向相反、

6、作用线相等、方向相反、作用线相互平行的两个力相互平行的两个力。使刚体的转动状态发生改变。使刚体的转动状态发生改变。度量转动作用效应的物理量。单位为度量转动作用效应的物理量。单位为n.m或或kn.m在平面内，在平面内，m是代数量，逆时针转动为正。是代数量，逆时针转动为正。hfm=ff hoxy13 同一平面内的二个力偶，只要其同一平面内的二个力偶，只要其力偶矩相等，则二力偶等效。力偶矩相等，则二力偶等效。60n0.4m0.4m60n0.6m40nm=24n.m14f1h1f2h2h1f1+h1f2h2m=f1h1+f2h21516运动受到限制的物体。运动受到限制的物体。吊重、火车、传动轴等吊重、

7、火车、传动轴等。非自由体非自由体：限制物体运动的周围物体。限制物体运动的周围物体。如绳索、铁轨、轴承。如绳索、铁轨、轴承。约束约束：约束作用于被约束物体的力约束作用于被约束物体的力。：是是，大小取决于作用于物体的主动力。，大小取决于作用于物体的主动力。作用作用在约束与被约束物体的接触面上。在约束与被约束物体的接触面上。作用作用与约束所能限制的物体运动方向与约束所能限制的物体运动方向。17约束力只能是沿柔性体自身的拉力。约束力只能是沿柔性体自身的拉力。约束力约束力方向方向与所能限制的物体运动方向与所能限制的物体运动方向相反相反。: :ft1ft2ft1ft218约束力约束力方向方向与所能限制的物

8、体运动方向与所能限制的物体运动方向相反相反。0g2 2约束反力是沿接触处的公法线且指向物体约束反力是沿接触处的公法线且指向物体的压力。的压力。: :19约束力约束力方向方向与所能限制的物体运动方向与所能限制的物体运动方向相反相反。约束反力是沿接触处的公法线且指向物体约束反力是沿接触处的公法线且指向物体的压力。的压力。: :节圆节圆2020压力角压力角20反力作用线过铰链中心且垂直于支承面，指向待定反力作用线过铰链中心且垂直于支承面，指向待定约束力约束力方向方向与所能限制的物体运动方向与所能限制的物体运动方向相反相反。（滚动铰）：（滚动铰）： 滚动(铰)支承aa可动铰可动铰滚动滚动支座支座21约

9、束力约束力方向方向与所能限制的物体运动方向与所能限制的物体运动方向相反相反。约束反力垂直于滑道、导轨，指向亦待定。约束反力垂直于滑道、导轨，指向亦待定。：: : 二力沿作用点连线二力沿作用点连线, ,指向亦待定。指向亦待定。bc二力杆二力杆a22aa固定铰链固定铰链约束反力约束反力ra，过铰链中心。过铰链中心。 大小和方向待定，用大小和方向待定，用xa、ya表示。表示。约束力约束力方向方向与所能限制的物体运动方向与所能限制的物体运动方向相反相反。：约束力可与约束力可与固定铰固定铰同样表示。同样表示。：中间铰中间铰cxfaxfayfaxfay23abaa空间空间约束力约束力方向方向与所能限制的物

10、体运动方向与所能限制的物体运动方向相反相反。24abaa约束力约束力方向方向与所能限制的物体运动方向与所能限制的物体运动方向相反相反。指向不能确定的约束反力，可以任意假设指向不能确定的约束反力，可以任意假设。若求解的结果为正，所设指向正确；为负则指向与假设相反。若求解的结果为正，所设指向正确；为负则指向与假设相反。固定端固定端 用二个反力限制移动，一个反力偶限制转动。用二个反力限制移动，一个反力偶限制转动。空间球形铰链空间球形铰链 相当于固定铰，反力用相当于固定铰，反力用fax、f fay二分力表示二分力表示. .一对一对轴承轴承 则只有三个反力。则只有三个反力。25 将研究对象（物体或物体系

11、统）从周围物体的约将研究对象（物体或物体系统）从周围物体的约束中分离出来，画出作用在研究对象上全部力（主动束中分离出来，画出作用在研究对象上全部力（主动力和约束力）的图，称为力和约束力）的图，称为或或。画受力图是对物体进行受力分析的第一步，画受力图是对物体进行受力分析的第一步， 也是最重要的一步。也是最重要的一步。 26 (b)(c)g2g2ab(d)(e)abg2abc(a)g2 d e h k27注意，若将个体受力图组装到一起，应当得到与整体注意，若将个体受力图组装到一起，应当得到与整体受力图相同的结果。受力图相同的结果。ambcfbcambcf28abcqcq29取研究取研究对象，对象，

12、解除其解除其约束约束，将研究将研究对象分对象分离出来离出来画出已画出已知外力知外力( (力偶力偶),),按约束按约束类型画类型画出约束出约束反力反力是是否否有有二二力力杆杆注意注意作用作用力与力与反作反作用力用力的关的关系系注意注意部分部分与整体受与整体受力力图中同图中同一约束处一约束处反力假设反力假设的的一致性一致性关键是正确画出所解除约束处的反力。关键是正确画出所解除约束处的反力。反力反力方向方向与约束所能限制的物体运动方向与约束所能限制的物体运动方向相反相反。30fafdf工件垫块压板31bcabcdeed32dcacababcfdabfaxfayfabxfaby3334：受受力力分分析

13、析如如何何简简化化 ？共点力系可合共点力系可合成为一个力成为一个力力偶系可合成力偶系可合成为一个合力偶为一个合力偶力向一点平移力向一点平移力系的简化力系的简化平衡条件平衡条件一般力系xm2m1问题：如何将力移到同一个问题：如何将力移到同一个 作用点上？作用点上？或者说力如何移到任一点或者说力如何移到任一点o？of35oof f hom=fh36 力臂力臂h为点为点o（矩心）到力矩心）到力f作用线的垂直距离。作用线的垂直距离。 注意力和力偶对刚体转动作用效果的差别。注意力和力偶对刚体转动作用效果的差别。hffmo=)(故力故力f对任一点对任一点o o之矩之矩(力矩力矩)为:of f h力对点之矩

14、与点有关；若力过力对点之矩与点有关；若力过o点，则点，则 mo(f)=0。力矩是力矩是代数量，逆时针为正。代数量，逆时针为正。37：mo(f)=f.d =f(lsina a+bcosa a+asina a)mo(fx)+ mo(fy)=fy(l+a)+fxb =f(lsina a+bcosa a+asina a)= mo(f)oldaab求求 mo(f)38mo(f)+ mo(f ) =f ao+f bo=f ab=m f f oab力偶有力偶有: : f=f ; f/f 请自行证明请自行证明: fx+fy =0 xf f 39 若作用于物体上所有的力（包括力偶）都在同若作用于物体上所有的力（

15、包括力偶）都在同一平面内，则力系称为一平面内，则力系称为平面一般（任意）力系平面一般（任意）力系。各力作用线汇交于同一点各力作用线汇交于同一点( (不含力偶不含力偶) ): : : 各力作用线相互平行各力作用线相互平行( (可包含力偶可包含力偶) )一般力系yxm2m1汇交力系yxa平行力系yxm340共点力系共点力系可合成为一个力fr（主矢主矢）, 即： fr=f1+f2+fn= fi或用解析法写为或用解析法写为: fr x=f1x+f2x+fnx= fx fr y=f1y+f2y+fny= fyxyo(a)f4f2f1f5f3myxf2om3m(b)f3f4f5f1m2m1m4m5yx(c

16、)ofrmo41平面平面一般一般力系力系力力主矢主矢fr 力偶力偶主矩主矩mo 简化简化 力？力？平移平移mo称为原力系对简化中心称为原力系对简化中心o的的主矩主矩，显然，显然， mo与简化中心与简化中心o点的位置有关。点的位置有关。h=m0/fr a42yxofrmo3 fr 0 mo=0 合力合力fr=fr ，作用线过作用线过o点。点。2 fr=0 mo 0 一个合力偶，一个合力偶，m=mo。 1 fr=0 mo=0 平衡状态（力系对物体的移动平衡状态（力系对物体的移动 和转动作用效果均为零）。和转动作用效果均为零）。4 fr 0 mo 0 一个合力一个合力，其大小为其大小为 fr=fr

17、， 作用线到作用线到o点的距离为点的距离为h=mo/fr fr在在o点哪一边，由点哪一边，由lo符号决定符号决定43fr x= fx=f1+4f2/5- -3f3/5 =6+8- -9=5 kn fr y= fy=- -3f2/5- -4f3/5+f4 =- -6- -12+8=- -10 kn合力合力fr=fr =11.1kn； 作用线距作用线距o点的距离点的距离h为：为： h=m0 /fr =1.09 (m) ； 位置位置由由mo 的正负确定，的正负确定，如图。如图。mo=2f1- -3(4f2/5)+4(3f3 /5)- -4f4+m=12 kn.m解：力系向解：力系向o点简化，有：点简

18、化，有：o(m)22242f1=6knf2 =10knf3 =15knf4=8knm=12kn.m4frmo主矢主矢 fr = = kn； 指向如图。指向如图。22yrxrff 12544xdxq(x)qoxolh以以o点为简化中心，主矢点为简化中心，主矢和和主矩为：主矩为： fr = q(x)dx= ；mo= xq(x)dx=ldxxq0)( ldxxxq0)( fr 0，mo 0；故可合成为一个合力故可合成为一个合力，且且 fr= fr= ldxxq0)(45q=0.8kn/m0.22m3mxo321x46解：解： fr1=2q1=1 kn; fr2=3q2/2=6 kn;合力的大小：合力

19、的大小： fr=fr2-fr1=5 kn 方向同方向同fr2 ，如图。，如图。合力作用位置合力作用位置(合力矩定理合力矩定理): fr x=3fr2-1fr1 ; x=(18-1)/5=3.4mq1=0.5 kn/m2m3mq2=4 kn/ma47 平面一般力系处于平衡，平面一般力系处于平衡，为力系为力系的主矢的主矢fr和主矩和主矩mo都等于零都等于零。第三式表明不可能有合力偶。若有合力，必过第三式表明不可能有合力偶。若有合力，必过o点；点；1、2式指出：若有合力。必垂直于式指出：若有合力。必垂直于x轴且垂直于轴且垂直于y轴。轴。故平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程为：（基本形式）：

20、（基本形式）（x轴不平行于轴不平行于y轴轴）=0)(00fmffoyx48=0)(0)(0fmfmfbax=0)(0)(0)(fmfmfmcba 二力矩式二力矩式（abab不垂直于不垂直于x轴轴) )注意：注意：平衡方程中，投影轴和矩心可任意选取，可平衡方程中，投影轴和矩心可任意选取，可写出无数个平衡方程。但只要满足了其中一组，其写出无数个平衡方程。但只要满足了其中一组，其余方程均应自动满足，余方程均应自动满足，故。 三力矩式三力矩式( (a a、b b、c c三点不共线三点不共线) )49取汇交点为矩心，力矩方程自动满足。取汇交点为矩心，力矩方程自动满足。独立平衡方程只有二个独立平衡方程只有二个, ,为：为： =00yxff=0)(0fmfax=0)(0)(fmfmba取取x轴垂直于各力，则轴垂直于各力，则x的投影方程满足。的投影方程满足。独立平衡方程也只有二个独立平衡方程也只有二个, ,为：为：=0)(0fmfay=0)(0)(fmfmbayxmyx50abc三铰拱三铰拱abof1of2f1f2f3o0)(fmo 0)(fmobc二力杆二力杆51aaar =aq2q解：解： fr1=3qa=3a2 fr2=2a2- a2 /2 fr=5a2- a2/2 ;由合力矩定理有：由合力矩定理有： fr x=1.5afr1+2afr2=4.5a3