2020届河北省衡水中学高三高考押题理科数学试卷含答案

1、河北衡水中学 2020 年高考押题试卷理数试卷第卷一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.131.已知复数 z =-22i ，则 z + | z | =（   ）13131313A -iB -+iC+iD-i222222222.集合 A = x | x 2 -

2、0;3x £ 0 ， B = x | y = lg(2 - x) ，则 A IB =（   ）A x | 0 £C x | 2 <x < 2x £ 3B x |1 £D x | 

3、0 <x < 3x £ 26   ) (w > 0) 的最小正周期为 p  ，则函数 f ( x) 的图象（3.已知函数 f ( x) = cos(w x - wp）A. 可由函数 g ( x) = cos 2p 的图象向

4、左平移p3个单位而得4.已知实数 x ， y 满足约束条件 í  2 y £ x + 4,  则 z = 2 x - y 的最大值为（  ）ï3x + 4 y + 12 ³ 0,uuur   uuur  uuu

5、ur   uuur   uuurpB可由函数 g ( x) = cos 2p 的图象向右平移个单位而得3pC. 可由函数 g ( x) = cos 2p 的图象向左平移个单位而得6pD可由函数 g ( x) = cos 2p 的图象向右平移个单位而得6ìy ³ 3x -

6、 3,ïîA.2B3C.4D5uuuruuur5.一直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB ，AD 分别交于 E 、F ，且交其对角线 AC 于 M ，若 AB = 2 AE ，5AD = 3 AF ， AM = l AB - m AC (l,

7、60;m Î R) ，则 m - l =（）213A -B1C.D-3226.在如图所示的正方向中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C 为正态分布 N (-1,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若 X  N (m,s 2 ) ，则 P(m - s < X £ m

8、0;+ s ) = 0.6827 ，P(m - 2s < X £ m + 2s ) = 0.9545 .（）A.906B1359C.2718D.34137.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为 2 的半圆，则该几何体的表面积是（）A 80 + 8pB 80 + 4pC 80 - 8pD&

9、#160;80 - 4p8.已知数列 a  中， a = 1 ， an1内的条件是（）n+1= a + n .若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第 2018 项，则判断框nA.3          B  7A n £ 2016?B n £

10、0;2017?C. n < 2015?D n < 2017?9.已知 5 件产品中有 2 件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为 x ，则 Ex =（）18C.D425210.已知抛物线 C ： y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F ，点 M ( 

11、x0,2 2)( x > p ) 是抛物线 C 上一点，圆 M 与线段0MF 相交于点 A ，且被直线 x =p2截得的弦长为 3 | MA | ，若=2，则 | AF | =（   ）A32B1       C.2   &

12、#160;    D33p11.若定义在 R 上的可导函数 f ( x) 满足 f (1) = 1 ，且 2 f '(x) > 1 ，则当 x Î - p , 时，不等式22f (2cos x) >3      

13、;x- 2sin 2  的解集为（   ）2      2B (-,p 4pp 4ppp pA. (,)C. (0,)D (-,)333333 312.已知 x 是方程 2 x2e2 x + ln x = 0 的实根，则关于实数 x 的判断正确的是（）00A&

14、#160;x ³ ln 2B x <001eC. 2 x + ln x = 0        D 2e x0 + ln x = 00 0 0第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22&#

15、160;题和第 23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.b13.若 (ax 2 + )6 的展开式中 x3 项的系数为 20，则 a 2 + b2 的最小值为x14.已知 DABC 中，内角面积为A ， B ， C 的对边分别为 a ，

16、60;b ， c ，若 a2 = b2 + c2 - bc ， bc = 16 ，则 DABC 的15.已知双曲线x2  y 2-a 2 b2= 1(a > 0, b > 0) 的左、右顶点分别为 A ， B 两点，点 C (0,

17、0;2b) ，若线段 AC 的垂直平分线过点 B ，则双曲线的离心率为16.已知下列命题：命题“ "x Î R ， x2 + 3 < 5x ”的否定是“ $x Î R ， x2 + 3 < 5x ”；已知p ， q 为两个命题，若“ p Ú

18、0;q ”为假命题，则“ (Øp) Ù (Øq) 为真命题”；“ a > 2015 ”是“ a > 2017 ”的充分不必要条件；“若 xy = 0 ，则 x = 0 且 y = 0 ”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序号是.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设 S&#

19、160;为数列 a  的前 n 项和，且 a = 1 ， nann1S（1）证明：数列 n + 1 为等比数列；n（2）求 T = S + S + L + S .n12nn+1= (n + 2)S + n(n + 1) ， n Î N

20、60;* .n18.如图所示，四棱锥 A - BCDE ，已知平面 BCDE  平面 ABC ， BE  EC ， BC = 6 ，AB = 4 3 , ÐABC = 30° .（1）求证： AC  BE ；（2）若二面角 B - AC -

21、 E 为 45° ，求直线 AB 与平面 ACE 所成角的正弦值.19.某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校 700 名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位： cm ）频数分布表如表 1、表 2.表 1：男生身高频数分布表表 2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在 165,180) 的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出&

22、#160;1 人，设 X 表示身高在 165,180) 学生的人数，求 X 的分布列及数学期望.|20. DABC 中，O 是 BC 的中点， BC |= 3 2 ，其周长为 6 + 3 2 ，若点 T 在线段 AO 上，且 | AT |= 2 | TO | 

23、.（1）建立合适的平面直角坐标系，求点 T 的轨迹 E 的方程；（2）若 M ，N 是射线 OC 上不同的两点，| OM | × | ON |= 1 ，过点 M 的直线与 E 交于 P ，Q ，直线 QN 与 E交于另一点 R ，证明： DMPR 是等腰三角形.21. 

24、已知函数 f ( x) = e x - x 2 + a ， x Î R ，曲线 y = f ( x) 的图象在点 (0, f (0) 处的切线方程为 y = bx .（1）求函数 y = f ( x) 的解析式；ï

25、39;（2）当 x Î R 时，求证： f ( x) ³ - x 2 + x ；（3）若 f ( x) > kx 对任意的 x Î (0, +¥) 恒成立，求实数 k 的取值范围.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写

26、清题号 .22.选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线 C ： r = 2cos q ，曲线 C ： r = ( r × cosq + 4) × cosq .以极点为坐标原点，极轴为 x 轴12ì1x = 2 -t,2正半轴建立直角坐标系 xOy ，曲线 C&

27、#160;的参数方程为 í（ t 为参数）.ï y =3 tïî2（1）求 C ， C 的直角坐标方程；12（2） C 与 C ， C 交于不同四点，这四点在 C 上的排列顺次为 H ， I ， J ， K ，求 | HI | - | JK

28、 | 的值.1223. 选修 4-5：不等式选讲.已知 a ， b 为任意实数.（1）求证： a 4 + 6a 2b2 + b4 ³ 4ab(a 2 + b2 ) ；（2）求函数 f ( x) =| 2 x - a 4 + (1- 6a 2

29、b2 - b4 ) | +2 | x - (2 a3b + 2ab3 - 1) | 的最小值.参考答案及解析理科数学一、选择题1-5:CADBA6-10:BBBBB11 、12：DC二、填空题13.214. 4 315.102三、解答题16.17.解：（1）因为 an+1= Sn+1- S ，所以 n(Snn+1- S ) =&

30、#160;(n + 2)S + n(n + 1) ，n n即 nSn+1= 2(n + 1)S + n(n + 1) ，则nS Sn+1 = 2 ´ n + 1 ，n + 1     nn      1SSSS

31、所以n+1 + 1 = 2(n + 1) ，又1 + 1 = 2 ，故数列  n + 1 为等比数列.n + 1n1nSS（2）由（1）知n + 1 = (1 + 1)× 2n-1 = 2n ，所以 S = n × 2n -

32、60;n ，n故 T = (1´ 2 + 2 ´ 22 + L + n × 2n ) - (1+ 2 + L + n) .n设 M = 1´ 2 + 2 ´ 22 + L + n 

33、× 2n ，则 2M = 1´ 22 + 2 ´ 23 + L + n × 2n+1 ，所以 -M = 2 + 22 + L + 2n - n × 2n+1 = 2n+1 - 2 - n&#

34、160;× 2n+1 ，所以 M = (n - 1)× 2n+1 + 2 ，2所以 T = (n - 1)× 2n+1 + 2 - n(n + 1)n.AB 2 + BC 2 - AC 23=18.解：（1） DABC 中，应用余弦定理得 

35、cos ÐABC =，2 ABgBC2解得 AC = 2 3 ，所以 AC 2 + BC 2 = AB 2 ，所以 AC BC .因为平面 BCDE  平面 ABC ，平面 BCDE I 平面 ABC = BC ， BC  AC 

36、，所以 AC  平面 BCDE ，又因为 BE Ì 平面 BCDE ，所以 AC  BE .所以在 RtDBAE 中， sin ÐBAE =  BE（2）由（1） AC  平面 BCDE ， CE Ì 平面 BCDE ，所以 AC 

37、0;CE .又因为 BC  AC ，平面 ACE I 平面 ABC = AC ，所以 ÐBCE 是平面 EAC 与平面 BAC 所成的二面角的平面角，即 ÐBCE = 45° .因为 BE  EC ， AC  BE ，所以 BE  平面&#

38、160;ACE .所以 ÐBAE 是 AB 与平面 ACE 所成的角.因为在 RtDACE 中， BE = BC sin 45° = 3 2 ，6=.AB419.解：（1）设高一女学生人数为 x ，由表 1 和表 2 可得样本中男、女生人数分别为 40，30，则700 - x  40=x&

39、#160;   30，解得 x = 300 .即高一女学生人数为 300.（2）由表 1 和表 2 可得样本中男女生身高在 165,180) 的人数为 5 + 14 + 13 + 6 + 3 + 1 = 42 ，样本容量为 70.所以样本中该校学生身高在 165,180) 的概率为42&#

40、160; 3= .70  53因此，可估计该校学生身高在 165,180) 的概率为.5（3）由题意可得 X 的可能取值为 0，1，2.14由表格可知，女生身高在 165,180) 的概率为，男生身高在 165,180) 的概率为35.所以 E ( X ) = 0 + 1´  9412414194 14所以 P( X 

41、= 0) = (1- ) ´ (1- ) =， P( X = 1) =(1- ) + (1- ) ´=， P( X = 2) =´=.53155353155 315所以 X 的分布列为：417+ 2 ´=.15151520.解：（1）以 BC 所在直线为

42、60;x 轴， O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则 | AB | + | AC |= 6 >| BC | ，所以点 A 的轨迹是以 B ， C 为焦点的椭圆.所以 2a = 6 ， 2c = 3 2 ，所以 a = 3 ， c =

43、3 22，所以 b2 = a 2 - c2 = 92，+   = 1(y ¹ 0) .所以点 A 的轨迹方程为x2  y 29 92设 T ( x, y) ，点 T 在线段 AO 上，且 | AT |= 2 | TO&#

44、160;| ，+   = 1 ，整理可得点 T 的轨迹 E 的方程是 x2 +  = 1(y ¹ 0) .所以 A(3x,3 y) ，代入x2  y 2                

45、60;                y 29 9                               

46、;  12                                 2（2）证明：设 M (m,0)( m > 0) ，由 | OM | 

47、;× | ON |= 1 得 N (1m,0) ， P( x , y ) ， Q( x , y ) ， R( x , y ) .由题1 1 2 2 3 3意，直线 QM 不与坐标轴平行， kQM =y y1 ，直线

48、60;QM 的方程为 y = 1x - m                   x - m1 1( x - m) .与椭圆方程联立，消去 y ，得 (m2 + 1 - 2mx ) x

49、0;2 - 2m(1- x 2 ) x + (2 mx - x 2 - m 2 x 2 ) = 0 .11111m2 + 1 - 2mx所以 x x =1 2同理 x x =1 32mx - x2 - m2 x21

50、60;1 1 ，m2 + 1 - 2mx12mx - x2 - m2 x21 1 1 = x x ，1 21所以 x = x ，或 x = 0 .231当 x = x 时， PR  x 轴.23m2 + 12 ×

51、0; 1m=      = x  ， PR  x 轴，(   )2 + 1  m当 x = 0 时， x =2m12， x =31 2 + 1 2m2m所以 | MP |=| MR | ，所以 DMP

52、R 是等腰三角形.21. 解：（1）根据题意，得 f '(x) = e x - 2 x ，则 f '(0) = 1 = b .由切线方程可得切点坐标为 (0,0) ，将其代入 y = f ( x) ，得 a = -1 ，故 f ( x) =&#

53、160;e x - x 2 - 1 .（2）令 g ( x) = f ( x) + x 2 - x = e x - x - 1 .由 g '(x) = e x - 1 = 0 ，得 x = 0

54、 ，当 x Î (-¥,0) ， g '(x) < 0 ， y = g ( x) 单调递减；当 x Î (0, +¥) ， g '(x) > 0 ， y = g ( x) 单调递增.所以 g 

55、( x)min= g (0) = 0 ，所以 f ( x) ³ - x 2 + x .（3） f ( x) > kx 对任意的 x Î (0, +¥) 恒成立等价于f ( x)x> k 对任意的 x Î (0

56、, +¥) 恒成立.f ( x)xf '(x) - f ( x)x(e x - 2 x) - (e x - x2 - 1)( x - 1)(e x - x - 1)令 j ( x) =， x > 0 ，得 

57、j '(x) =xx2x2x2由（2）可知，当 x Î (0, +¥) 时， ex - x - 1 > 0 恒成立，令 j '(x) > 0 ，得 x > 1 ；令 j '(x) < 0 ，得 0 < x&

58、#160;< 1.所以 y = j ( x) 的单调增区间为 (1,+¥) ，单调减区间为 (0,1) ，故 j ( x)min= j (1) = e - 2 ，所以k < j ( x)min= e - 2 .1  的直角坐标方程为所以实数 k 的

59、取值范围为 (-¥, e - 2) .22.解：（1）因为 x = r cosq ， y = r sin q ，由 r = 2cos q ，得 r 2 = 2r cos q ，所以 C( x - 1)2 + y 2 = 

60、1 .由 r = ( r × cosq + 4) × cosq ，得 r 2 sin 2 q = 4 r cos q ，所以曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 = 4 x .2（2）不妨设四点在 C 上的排列顺序由下而上依次为 H ， I ， J ， K ，它们对应的参数分别为， t , t , t , t ，如1234图.连接 C J ，则 DC IJ 为正三角形，所以 | IJ |= 1，故11| HI | - | JK |=| HI | -&#