新苏科版九年级数学下册《5章二次函数小结与思考》教案_14

1、二次函数的图象与性质考点梳理考点71二次函数的概念及解析式1 .二次函数：一般地，表达式形如y=ax2+bx+c (a, b, c是常数，且aw0)的函数叫做 x的二次函数，其中，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项.(1) 一般式：y=ax2+bx+c (aw0);(2)顶点式：y= a (xh) 2+k (aw0),其中抛物线的顶点坐标是(h, k);(3)交点式：y= a (x xi) (xx2)(aw0),其中xi, x2为抛物线与x轴交点的横坐标.【温馨提示】三种解析式之间的关系：丁西上一展开、化简一皿一因式分解一上一 以八、式 配方 般式整式乘法父八、式3.二次函数解析

2、式的确定求解二次函数解析式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数解析式当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y=ax2+ bx + c；当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式y = a (xh) 2+k；当已知抛物线与 x轴的交点或交点横坐标时，通常设为交点式y = a (x xi) (xx2)考点2二次函数的图象和性质4.二次函数y=ax2+ bx+c的图象和性质函数二次函数 y=ax2+bx+c （a, b, c 为常数，且 aw0）aa>0 (开口向上)a<0 (开口向卜)图象II卜1KTI 工对称轴直线x=2a直线x =一最2a顶点 坐标.2b

3、4ac b（一0 , / ）2a4a.2b4ac b（一0 , / ） 2a4a增减性在对称轴的左侧，即 xv 7b时，y随x的增 2ab大lii减小；在对称轴的右侧，即当x>2a时，y随x的增大而增大，简记为“左减右 增， b在对称轴的左侧，即当 x<- -2a时，y随x的增大而增大；在对 b称轴的右侧，即当x> 京时，2ay随x的增大而减小，简记为 “左增右减”最值当x =b 时，抛物线有最低点，即 y有最2a4ac b2小值,y最小值=/44a当x=J时，抛物线有最高2a点，即y有最人值,y最大值=4ac b24a 一5.二次函数y=ax2+bx+c图象与系数a, b,

4、 c的关系项目字母字母的符号图象的特征aa>0开口向上|a|越大，开 口越小a< 0开口 向卜bb = 0对称轴为y轴ab> 0 （a与b同号）对称轴在y轴左侧abv 0 （a与b异号）对称轴在y轴右侧cc = 0经过原点c>0与y轴正半轴相交cv 0与y轴负半轴相交b2 4acbC.y = 2x22 D.y =- 2 (x2) 4ac = 0与x轴有唯一交点（顶点）b2 4ac > 0与x轴有两个小同交点b2 4ac< 0与x轴没后交点几种特定关系当 x= 1 时，y = a+ b+ c当 x=1 时，y=ab+c当 a+b+c>0,即 x=1 时，

5、y>0当 ab+c>0,即 x= 1 时，y> 0y= a(xh)(xh) 2+k + ny= a(xh)2向下平移+ k祈存y=a(xh) 2+ k-my= a(x-h)2 向左平移+ k祈存y=a(xh+nj)2+k;y= a(x-h)2向右平移+ k y= an小单位,(xhnj)2+ k.6.二次函数图象的平移（上加下减，左加右减）抛物线的平移6.1. (2018 百色中考)把抛物线y= 1x2向右平移2个单位，则平移后所得抛物线的解析式为（A.y = - 2x2+ 2 B.y12 (x+2)命度点2二次函数解析式的确定1.对于二次函数A.开口向下B.C.顶点坐标是（

6、1, 2） D.与x轴有两个交点6.2. (2017百色中考)经过 A (4, 0), B(2, 0), C (0, 3)三点的抛物线解析式是y=会+3x+384y= （x1） 2+2的图象，下列说法正确的是（对称轴是x= - 12.二次函数C.x=2 D.x=-2y = x2+4x 5的图象的对称轴为（D ）A.x = 4 B.x3.如果将抛物线y = x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（A.y = （x1） 2+2 B.y = （x+1） 2 + 2C.y = x2+1 D.y =x2+ 34. （2016 来宾中考）设抛物线 则抛物线C2对应的函数解析式是（Ci： y

7、= x2向右平移2个单位长度，再向下平移 3个单位长度得到抛物线 Q,A.y = (x2) 23 B.y = (x+2)2-3C.y= (x2) 2+3 D.y = (x+2) 2+35.函数y = *与y=kx2+k （kw0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ x6. （2016 河池中考）二次函数y = ax2+bx + c的图象如图所示，则下列结论不正确的是（A.a< 0 B.c >0C.a+ b+ c>0 D.b 2-4ac>0，（第6题图）7. （2017 贺州中考）二次函数2y = ax题图）aw0）的图象如图所示,卜列结论：abcv 0; 2a + bv0

8、； b24ac=0;8a + cv 0;a : b ： c= 1 ： 2 ： 3,0）和（4, 0）,则这个二次函数的解析式是 典题精讲精练其中正确的结论有 W.y= x2 7x+ 12 W.8.已知二次函数 y=x2+bx+c经过点(3二次函数的图象与性质炳1（2017 玉林中考）对于函数y = - 2 （xm） 2的图象，下列说法不正确的是（A.开口向下B.对称轴是x=mC.最大值为0 D.与y轴不相交【解析】根据二次函数的性质即可一一判断.对于函数y= 2 （xnj）2的图象，=a= 2v0,，开口向下，对称轴x=m,顶点坐标为（m0）,函数有最大值0,故A、B、C说法正确.【点评】本题

9、考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，求二次函数的最 大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法二次函数图象与系数 a, b, c的关系例2(2016贺州中考)抛物线 y= ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y =在同一平面直角坐标系内的图象大致为(B )ABCD【解析】根据二次函数图象与系数的关系确定a, b, c的符号，然后根据一次函数和反 r比例函数的图象与性质确定答案.由抛物线可知，a>0, b<0, c<0,一次函数y=ax + b的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y

10、=c的图象在第二、四象限.x类型3二次函数图象的平移1 2例3(2018 北部湾中考.)将抛物线y = 2x2-6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为(D )1 ,2 2-1 ,、2A.y = 2" (x 8) +5B.y =2 (x4) +51 212C.y = 5 (x 8) +3 D.y r = 2 (x4) +3【解析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案 1 2 -1,2 12 1 ,2 cy=2x6x+21 = 2 (x12x) + 21=g (x 6) 36 +21=2 (x 6) +3,11o故y = 2 (x6) 2+ 3向左平移2个单位

11、后，得到新抛物线的解析式为y = - (x 4) 2+3.二次函数解析式的确定例4 如图，A(1, 0), B (2, 3)两点在一次函数 y1 = x + m与二次函数y2= ax2+bx3的图象上.(1)求m的值和二次函数的解析式；(2)请直接写出使y1>y2时自变量x的取值范围.【解析】(1)将A, B的坐标分别代入y1, y2的解析式中，可求出 m a, b的值，也就能求出抛物线的解析 式；(2)根据A, B的坐标及两个函数的图象即可求出y1>y2时自变量x的取值范围.【解答】解：(1)由于A(1, 0)在一次函数 y1=x + m的图象上，得一(一 1) + m= 0,即

12、 m= - 1.已知A(1, 0), B (2, 3)在二次函数y2=ax2+bx 3的图象上，则解得a= 1,b=-2,a 一 b一 3= 0,4a +2b 3=一 3,，二次函数的解析式为y2=x22x 3;（2）由两个函数的图象知，当 yi>y2时，一1vxv 2.【点评】此题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法以及函数图象的意义1 .对于二次函数y = ：x2 + x 4,下列说法正确的是（ B ）A.当x>0时，y随x的增大而增大8 .当x=2时，y有最大值一3C.图象的顶点坐标为（一2, 7）D.图象与x轴有两个交点2 . （2016 来宾中考）已知函数 y = -

13、x2-2x,当 xv 1 时，函数值y随x的增大而增大耕猾制豚J3 .函数y = ax2+1与y = a （aw0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ B ） x2x2+ 16. （2017 贵港中考）将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后,得到的抛W.8 .y = ( x+ 1) 2+ 1C.y=2 (x-1) 2+1D.y = 2 (x+ 1) 2+1R符别焦47. (2016 贺州中考)如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为(10,8),沿直线。所E三点.叠矩形，使点 A正好落在BC上的E处，E点坐标为(6, 8),抛物线y=ax55 直线O

14、D解析式为y=2x,令x=5,可得y = 2，.点P的坐标为5,-.+bx+c经过O, A,(1)求此抛物线的解析式；(2)求AD的长；四边形ABC端矩(3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当 PAD的周长最小时，求点 P的坐标.解：(1) 形,B (10, 8) , A (10, 0).抛物段经过A, E, O三点，把点的坐标代入抛物线解析式r可得a=-1,100a + 10b+c=0,3'36a + 6b+ c=8,c= 0,解得10F，此抛物线的解析式为y= 3x2+孝x；(2)由题意可知， AD= DE BE= 106=4, AB= 8.设 AD= x,贝U ED= x, BD= AB-AD= 8-x.在 RtBDE中，由勾股定理得 EE2= EE2+ BE2,即 x2=42+ ( 8-x) 2,解得 x= 5,. AD= 5;(3) = y= ,x2 + -x,其对称轴为 x= 5. 33.A,。两点关于对称轴对称， PA= PO.当P, O, D三点在一条直线上时，PA+ PD= P» PD= OD此时 PAD的周长最小.连接OD交对称轴于点 巳则该点即为满足条件的点P,由(2)可知点D的坐标为