安徽省长丰县实验高级中学高中数学二教案：3.2.1直线的点斜式方程

1、学必求其心得，业必贵于专精3。2 直线的方程3。2。1 直线的点斜式方程整体设计教学分析直线方程的点斜式给出了根据已知一个点和斜率求直线方程的方法和途径 .在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的.从一次函数y=kxb(k 0) 引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题-求直线的方程问题。在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手.在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程。三维目标1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法,掌握直线的点斜式

2、方程，了解直线方程的斜截式是点斜式的特例;培养学生思维的严谨性和相互合作意识，注意学生语言表述能力的训练.2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件，并会利用探讨出的条件求出直线的方程.培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神 .3.掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围,培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.重点难点教学重点：引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件,并学必求其心得，业必贵于专精会利用探讨出的条件求出直线的方程。教学难点 :在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围.课时安排1 课时教学过程导入新课思路 1。方程 y=kxb 与直线 l 之间存在

3、着什么样的关系？让学生边回答，教师边适当板书。它们之间存在着一一对应关系,即（1）直线 l 上任意一点 p(x1,y1）的坐标是方程 y=kxb 的解.（2)(x1，y1)是方程 y=kx+b 的解点 p（x1,y1）在直线 l 上.这样好像直线能用方程表示,这节课我们就来学习、研究这个问题直线的方程（宣布课题）.思路 2。在初中，我们已经学习过一次函数,并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾：一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线， 它是以满足 y=kx+b 的每一对 x、y 的值为坐标的点构成的。由于函数式y=kx+b 也可以看作二元一次方程 ,所以我们可以说，这个方程的解和直

4、线上的点也存在这样的对应关系 .这节课我们就来学习直线的方程（宣布课题）.推进新课新知探究提出问题如果把直线当做结论,那么确定一条直线需要几个条件？如何根学必求其心得，业必贵于专精据所给条件求出直线的方程？已知直线 l 的斜率 k 且 l 经过点 p1(x1，y1)，如何求直线 l 的方程?方程导出的条件是什么？若直线的斜率 k 不存在，则直线方程怎样表示？ k=11xxyy与 y-y1=k(x-x1）表示同一直线吗？已知直线 l 的斜率 k 且 l 经过点（，） ,如何求直线 l 的方程 ?讨论结果 :确定一条直线需要两个条件：a。确定一条直线只需知道k、b 即可；b。确定一条直线只需知道直

5、线l 上两个不同的已知点 .设 p(x，y)为 l 上任意一点，由经过两点的直线的斜率公式,得k=11xxyy,化简，得 yy1=k(xx1).方程导出的条件是直线l 的斜率 k 存在。 a.x=0 ；b.x=x1。启发学生回答：方程k=11xxyy表示的直线 l 缺少一个点 p1（x1,y1)，而方程 yy1=k(xx1)表示的直线 l 才是整条直线。 y=kx+b.应用示例思路 1例 1 一条直线经过点 p1（-2，3)，倾斜角 =45 , 求这条直线方程，并画出图形 .学必求其心得，业必贵于专精图 1解：这条直线经过点 p1（-2,3), 斜率是 k=tan45 =1. 代入点斜式方程,

6、得 y3=x+2,即 x-y+5=0,这就是所求的直线方程，图形如图1 所示。点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握， 并具备一定的作图能力。变式训练求直线 y=-3(x-2)绕点（ 2,0）按顺时针方向旋转30所得的直线方程。解：设直线 y=-3(x-2)的倾斜角为 , 则 tan =3,又0 ,180 ) ， =120 。所求的直线的倾斜角为120 30 =90。直线方程为 x=2.例 2 如果设两条直线 l1和 l2的方程分别是 l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，试讨论：(1)当 l1l2时,两条直线在 y 轴上的截距明显不同，但哪些量是相等的？为什么？（2）l

7、1l2的条件是什么？活动:学生思考：如果 1=2， 则 tan 1=tan 2一定成立吗 ?何时不成立？由此可知： 如果 l1l2,当其中一条直线的斜率不存在时，则另一条直学必求其心得，业必贵于专精线的斜率必定不存在 .反之，问 :如果 b1b2且 k1=k2,则 l1与 l2的位置关系是怎样的？由学生回答，重点说明1=2得出 tan 1=tan 2的依据。解： （1)当直线 l1与 l2有斜截式方程 l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2时，直线 l1l2k1=k2且 b1b2.(2）l1l2k1k2=1。变式训练判断下列直线的位置关系：（1）l1:y=21x+3，l2:y=21x2

8、；（2)l1：y=35x,l2:y=-53x.答案： (1）平行； （2)垂直.思路 2例 1 已知直线 l1：y=4x 和点 p（6，4） ，过点 p 引一直线 l 与 l1交于点 q，与 x 轴正半轴交于点r,当 oqr的面积最小时，求直线l的方程。活动:因为直线 l 过定点 p（6,4), 所以只要求出点q 的坐标，就能由直线方程的两点式写出直线l 的方程 .解：因为过点 p（6，4）的直线方程为x=6 和 y4=k（x6),当 l 的方程为 x=6 时， oqr 的面积为 s=72；当 l 的方程为 y4=k（x6)时,有 r(kk46，0） ，q（kk46，41624kk） ，此时

9、oqr 的面积为 s=21kk4641624kk=)4()23(82kkk。变形为（ s72）k2（964s)k 32=0(s 72）。因为上述方程根的判别式 0，所以得 s 40。学必求其心得，业必贵于专精当且仅当 k=1时，s有最小值 40.因此，直线 l 的方程为 y4=（x6)，即 xy10=0.点评： 本例是一道有关函数最值的综合题.如何恰当选取自变量，建立面积函数是解答本题的关键。怎样求这个面积函数的最值，学生可能有困难 ,教师宜根据学生的实际情况进行启发和指导。变式训练如图 2，要在土地abcde 上划出一块长方形地面（不改变方向） ，问如何设计才能使占地面积最大？并求出最大面积

10、(精确到1 m2） （单位： m） 。图 2解:建立如图直角坐标系，在线段ab 上任取一点 p 分别向 cd、de作垂线，划得一矩形土地. ab方程为2030 xx=1，则设 p（x,20-32x)（ 0 x 30),则 s矩形=(100-x）80-（20-32x） =32(x-5)2+6 000+350(0 x 30),当 x=5 时，y=350,即 p(5，350)时,(s矩形)max=6 017（m2） 。例 2 设 abc的顶点 a(1,3） ，边 ab、ac 上的中线所在直线的方程分别为 x2y1=0，y=1，求 abc 中 ab、ac 各边所在直线的方程。活动:为了搞清abc 中各

11、有关元素的位置状况， 我们首先根据已知学必求其心得，业必贵于专精条件,画出简图 3，帮助思考问题 .解：如图 3,设 ac 的中点为 f，ac 边上的中线 bf：y=1。图 3ab 边的中点为 e，ab 边上中线ce：x2y1=0.设 c 点坐标为 (m,n）,则 f（23,21 nm） 。又 f 在 ac 中线上，则23n=1， n=-1。又 c 点在中线 ce 上，应当满足 ce 的方程，则 m2n1=0。 m=3。c 点为（ 3，1).设 b 点为(a,1 ） ，则 ab 中点 e（213,21a)，即 e（21a,2）.又 e 在 ab 中线上，则21a-4+1=0。 a=5。b 点为

12、（ 5，1).由两点式，得到ab,ac 所在直线的方程ac:xy2=0,ab：x2y7=0。点评： 此题思路较为复杂，应使同学们做完后从中领悟到两点：(1)中点分式要灵活应用；（2）如果一个点在直线上,则这点的坐标满足这条直线的方程，这一观念必须牢牢地树立起来。变式训练学必求其心得，业必贵于专精已知点 m（1， 0） ，n(1，0）,点 p为直线 2x-y1=0 上的动点，则 |pm|2+|pn|2的最小值为何 ?解：p 点在直线 2x-y-1=0 上，设 p（x0，2x01）. |pm2+pn|2=10(x0-52)2+512512。最小值为512。知能训练课本本节练习 1、 .拓展提升已知直线 y=kxk2 与以 a（0，3） 、b(3,0）为端点的线段相交，求实数 k 的取值范围 .图 4活动： 此题要首先画出图形4， 帮助我们找寻思路 ,仔细研究直线 y=kxk2，我们发现它可以变为y2=k(x1)，这就可以看出，这是过(1，2)点的一组直线。设这个定点为p(1，2).解：我们设 pa 的倾斜角为 1，pc的倾斜角为 ,pb 的倾斜角为 2，且 12.则 k1=