实变函数论课件23讲

1、目的：熟练掌握单调函数的结构，熟悉单调函数的基本性质以及跳跃度、跳跃函数等重要概念。重点与难点：单调函数的性质与结构。基本内容：一问题的提出问题问题1：newton-leibniz公式告诉我们公式告诉我们 什么？它的重要性表现在什么什么？它的重要性表现在什么 地方？对于地方？对于lebesgue积分而言，积分而言， 能否建立类似的结论能否建立类似的结论？牛顿-莱布尼兹公式告诉我们，如果 是 a, b 上的连续函数，则 是 的一个原函数，即 。)(xfxadttfxf)()()(tf)()(xfxf假如我们将riemann积分换成lebesgue积分，类似的结论是否仍成立？具体地说，若 是a,b

2、上的lebesgue可积函数，则在a,b上是否可导？如果可导，其导函数是否等于 ？ )(xf,)()(xadttfxf)(xf另一方面，如果 是 a, b 上的可导函数，则 在 a, b 上是否可积？如果可积，则是否等于 ？不难看到，无论是对riemann积分还是对lebesgue积分而言，一个函数即使处处有导数，其导函数未必是可积的。 )(xf ,)()(xadttfxf)(xf)(xf例如，若则 在0,1上处处有导数，然而在0,1上却是不可积的 (参见江泽坚、吴智泉合编实变函数论第二版，高教出版社1998)。那么，什么样的函数的导函数是可积的呢？这正是我们关心的问题。0 00cos)(22

3、xxxxxf)(xf)(xf 二. 单调函数的间断点定义1 设 f 是定义在实直线 r1 中点集 e 上的有限函数，如果对任意 ，当 时，不等式 恒成立， 就称 f 是 e 上的单调增加函数单调增加函数。如果 恒成立，则称 f 为 e上的严格单调增加函数严格单调增加函数。exx21,21xx )()(21xfxf)()(21xfxf如果当 时，不等式 恒成立， 则称 f 是 e 上的单调递减函单调递减函数数。若不等式 恒成立，则称 f 为 e上的严格单调递减函数严格单调递减函数。21xx )()(21xfxf)()(21xfxf问题问题2：单调函数的间断点哪些类单调函数的间断点哪些类 型？间断

4、点有多少型？间断点有多少？若 f 是 e 上的有限函数， 在 点的右极限 存在，则称 为 f 在 点的右方跳右方跳跃度跃度，若 f 在 点的左极限存在，则称 为 f 在 点的左方跳跃度左方跳跃度。 fex,0)0(0 xf)() 0(00 xfxf)0(0 xf) 0()(00 xfxf0 x0 x0 x0 x若 f 在 的左、右极限都存在，但其左、右方跳跃度不全为 0 (即 不全相等)，则称 为 f 的第一类不连续点第一类不连续点，若 f 的不连续点不是第一类的，则称为第二类不连续第二类不连续点点。 )0(0 xf0 x)(),0(00 xfxf0 x定定理理1 1 设设 f 是是 a, b

5、 上的单调递增函数，上的单调递增函数，则则 f 具有下列性质：具有下列性质：(1) f 的不连续点全是第一类的；的不连续点全是第一类的；(2) f 的不连续点集至多可数；的不连续点集至多可数；(3) f 在不连续点的左、右方跳跃度都是在不连续点的左、右方跳跃度都是非负的，并且所有跳跃度的总和不超过非负的，并且所有跳跃度的总和不超过 。)()(afbf证明：(1) 首先证明，对任意 存在。事实上，由于，故存在 n，当 时， ，由单调性得 且 是单调下降的序列，故 存在，且 。 ),0bax ) 0(0 xfbxa0nn),10banx)()1(00 xfnxf10)1(nnxf)1(lim0nx

6、fn)()1(lim00 xfnxfn记 ，则对任意 ，存在 ，使得 ，对任意 ，显然有 ，由 f 的单调性得 ，因此 ，即 。)1(lim0nxfan0nanxf)1(00)1,(00nxxxaxf)(anxfaxf)1()(000axfxx)(lim00axf ) 0(0类似可证 也存在，故 f 的不连续点必是第一类不连续点。(2) 由 (1) 的证明知对任意 ，有 ，当 时显然 ，当 时， ，这说明 f 在 中任一点的左、右方跳跃度均非负， )0(0 xf),(bax) 0()() 0(000 xfxfxfax 0) 0()(afafbx 0)0()(bfbf,ba设 f 为 f 在 上

7、的不连续点全体，若 ，且 ，则由 f 的单调性可知 ，因此开区间 与 互不相交，且由于 f 中点为不连续点，故 。记 f 为 中开区间全体所成的类。 ,bafxx21,21xx ) 0() 0(12xfxf)0(),0(11xfxf)0(),0(22xfxf)2 , 1)(0()0(ixfxfii1r作对应关系 如下： ，并记 ，则 是 中互不相交的开区间构成的集类，从而最多可数，显然 是 f 到 的一一对应，所以 f 也是至多可数的集合。 ff :)0(),0(:xfxffx|)0(),0()(fxfxfxfff1r)(ff)(ff(3) 记 ，对任意正整数 n，不妨设 ，取 ，则 ，因此

8、， 1kkxfnxxx21, 2 , 1),(,10kxxyaykkk)()0()0()(1kkkkyfxfxfyf)0()0()()(1kkkkxfxfyfyf进而()()0() 0(111kknkkknkyfyfxfxf)()()()(0afbfyfyfnn)()()0()0(1afbfxfxfkkk令 立得证毕。三单调函数的可积性问题问题3：a,b上的单调函数是否一定上的单调函数是否一定是是r- -可积的？为什么？可积的？为什么？定定理理2 设设 f 是是 a,b 上单调增加的有上单调增加的有限函数，则限函数，则 f 是是 a,b 上的上的riemann可积函数。可积函数。证明：由于 f

9、 在 a,b 上有限，故 ，从而由单调性知 f 是 a,b 上的有界函数，由定理1知 f 至多有可数个不连续点，其不连续点集显然是零测集，由本章2定理6知 f 必是riemann可积函数，证毕。 )(,)(afbf四. 跳跃函数问题问题4：能否找到一个结构相对简单：能否找到一个结构相对简单 的函数，其间断点与所给定的函数，其间断点与所给定 的单调函数相同？且对应点的单调函数相同？且对应点 处的跳跃度也相同？找一个处的跳跃度也相同？找一个 在一点间断的例子。在一点间断的例子。定义2 设 是两组数 ( p 是正整数或 )，满足 ，设 是 中的 p 个点，称下列函数为跳跃函数，其中 是所谓的heav

10、iside函数函数：, 2 , 1|, 2 , 1|pnpnnn|)|(|1nnpn, 2 , 1|pnxn,ba)()()(111nnpnnnpnxxxxx)(x如果 都是非负数，则不难验证 是单调增加的。一般情况下，可令 ，则 ，于是.0, 00, 1)(,0, 00, 1)(1xxxxxxnn0 ,max,0 ,maxnnnnnnn)()()(1111nnpnnnnnxxxxx)()()(1112nnpnnnpnxxxxx).()()(21xxx都是单调增加的跳跃函数，且是是 上的跳跃函数，若上的跳跃函数，若 ，则则 (i) 是是 的不连续点集。的不连续点集。(ii) 每个每个 都是都是

11、 的第一类不连续点，且的第一类不连续点，且 在在 点的左方跳跃度为点的左方跳跃度为 ，右方跳跃度，右方跳跃度为为 。)()()(111nnpnnnpnxxxxx,ba), 2 , 1(0|pnnn, 2 , 1|pnxnnxnn引引理理1 设设nx则 在 x 点连续，且证明：首先证明，只要 x 不等于 ，则 在 x 点连续，事实上，当 时，结论是显然的。现设 ，令nxpp)()()(111nnknnnknkxxxxxk由于级数 收敛，故 ，所以 在 上一致收敛到 ，从而对任意 ，存在 使得 时，有| )()(| )()(|111knknnnknkxxxxxx|)|(|1nnkn1) | (nn

12、n0|)|(|lim1nnkkk,ba00k0kk ),(| )()(|baxxxk任意若 ，则由 在 x 点的连续性知存在 ，当 时，有 ，进一步 。由 的任意性知 在 x 点连续。 nxx 0k0),(xox| )()(|00 xxkk| )()(| )()(|0 xxxxk3| )()(| )()(|000 xxxxkkk下设 ，令则 在 点连续，但在 点显然不连续，所以 也是的间断点， 0nxx )()()(1000nnnnnnnnnxxxxx0n)()(00001nnnnxxxx0nx)()(000001nnnnnxxxx0nx0nx而且，由于 在 处的左、右极限都存在，且左、右方跳

13、跃度分别为 ， ，因此 在 点的左、右极限也存在，且左、右方跳跃度也分别为 与 ，证毕。 )()(00001nnnnxxxx0nx0n0n0nx0n0n五单调函数的结构问题问题5：利用上面的跳跃函数能否抹去给利用上面的跳跃函数能否抹去给 定单调函数的间断点使其连续？定单调函数的间断点使其连续？问题问题6：对于给定的单调递增函数，其对：对于给定的单调递增函数，其对 应的跳跃函数也是单调递增的，应的跳跃函数也是单调递增的， 这两个函数的差是否仍是单调递这两个函数的差是否仍是单调递 增的？增的？定理定理3 设设 f 是是 上的单调增加函数，上的单调增加函数， 是是 f 的不连续点全体，令的不连续点全

14、体，令则则 是是 上的单调增加函数，且上的单调增加函数，且 是是 上的单调增上的单调增加连续函数。加连续函数。 nxnnnnxxxfxfx)()()0()(,ba)()()(xxfxhnnnnxxxfxf)()0()(1,ba,ba证明：记 ，则由 f 的单调性知 均非负。由定理3知 。于是是 上的单调增加函数，且其间断点全体为 ，在间断点 处的左、右方跳跃度分别为 。 ) 0()(),() 0(nnnnnnxfxfxfxfnn,)()()(afbfnnn)()()(1nnnnnnxxxxxnxnx,bann,显然， 在 处连续，而当 时， 在 处的左方跳跃度为 ，同理右方跳跃度也为0。这说明 在 处也是连续的，即 h 是 上的连续函数。 nxx nxx )(xh)0()(nnxhxh)0()()0()(nnnnxhxhxfxf,ba)0()0()()(nnnnxhxfxhxf0nn)()()(xxfxhnx)(xhnxx 往证 h 是单调增加的。设 ，则当 时， 当 时， 所以,0bax nxx 0, 0)()(010nnxxxx0)()(00 xxnnnxxx. 1)(, 0)(010nnxxxxnxx 0.)(00001xxnxxnxxnnnnnxx这说明当 x 是 f 的间断点