同济版线性代数课件--第一节 向量组及其线性组合

1、 第四章第四章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、一、n 维向量维向量二、向量组与矩阵二、向量组与矩阵三、向量组的线性组合三、向量组的线性组合四、等价向量组四、等价向量组定义定义1 1 . , 21个分量个分量称为第称为第个数个数量，第量，第个分个分个数称为该向量的个数称为该向量的维向量，这维向量，这组称为组称为所组成的数所组成的数个有次序的数个有次序的数iainnnaaanin分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量. .分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，一、一、n 维向量维向量1 1、概念、概念例如例如), 3 , 2 , 1(n)1(,32

2、,21(innii n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量),(21ntaaaa naaaa21 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： ttttba,n 维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： ,ban注意注意1. 行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的向量两个不同的向量；2. 行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行进行 运算

3、；运算；3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作都当作列向量列向量.3、向量的线性运算、向量的线性运算1) 1) 加法：加法：tnnbaba),(11 和向量和向量2) 数乘：数乘：tnkakak),(1 求求）（且且），（），（例例 ,5225 881211,2374 rxxxxxxxrnnnt ,),(2121 bxaxaxaxxxxnnnt 221121),( 叫做叫做 n 维向量空间维向量空间 时时 , n 维向量没有直观的几何形象维向量没有直观的几何形象3 n叫做叫做 维向量空间维向量空间 中的中的 维超平面维超平面rnn1 n1 1、若

4、干个同维数的若干个同维数的列列向量组成的集合叫做向量组成的集合叫做列向量列向量组组2、维列向量维列向量个个有有矩阵矩阵mnaijanm)( aaaaaaaaaaaaamnmjmmnjnj21222221111211a1. , , 的列向量组的列向量组称为矩阵称为矩阵向量组向量组aa1a2an二、向量组与矩阵二、向量组与矩阵a2ajana1a2ajan 若干个同维数的若干个同维数的行行向量组成的集合叫做向量组成的集合叫做行向量组行向量组维行向量维行向量个个又有又有矩阵矩阵、类似地、类似地nmijaanm)(,3 aaaaaaaaaaaaamnmminiinn21212222111211 t1 t

5、2 ti tm t1 t2 ti tm向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵a的行向量组的行向量组 t1 t2 tm4、反之，由有限个同维向量所组成的向量组可、反之，由有限个同维向量所组成的向量组可以构成一个矩阵以构成一个矩阵.矩矩阵阵构构成成一一个个组组维维列列向向量量所所组组成成的的向向量量个个mnnmm , 21 矩矩阵阵构构成成一一个个的的向向量量组组维维行行向向量量所所组组成成个个nmnmtmtt , 21 tmttb 21 ),( 21ma b 2211 xxxnn 5、线性方程组的向量表示、线性方程组的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxa

6、xaxabxaxaxamnmnmmnnnn), 2 , 1(),(21njaaatmjjjj 设设三、向量组的线性组合三、向量组的线性组合, , , , , , ,: 2121mmkkka组实数组实数对于任何一对于任何一给定向量组给定向量组 1 1、定义、定义2 2. , , , 21合系数合系数称为这个线性组合的组称为这个线性组合的组mkkk线性组合线性组合, ,21的一个的一个称为向量组称为向量组m 向量向量mmkkk 2211 mmb 2211，使，使，一组数一组数如果存在如果存在和向量和向量给定向量组给定向量组mmba , ,: 2121的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向

7、量组则向量则向量ab 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示ba2、定义、定义3121212:(1,2,3),(1,3,1),b(0, 1,2)b,b,. 例如则即 可由线性表示3 3、定理、定理 , 121线线性性表表示示可可由由向向量量组组向向量量定定理理mb 的的秩秩的的秩秩等等于于矩矩阵阵矩矩阵阵),(),( m21m21bba 四、等价向量组四、等价向量组向量组向量组 a 与与b 等价等价 . ,.,:,: 2121则称则称线性表示线性表示向量组向量组组中的每个向量都能由组中的每个向量都能由若若及及设有两个向量组设有两个向量组abbasm 向量组向量组 能由向量组能由向量组

8、 线性表线性表示示ba1 1、定义、定义3 3 , 则称则称能相互线性表示能相互线性表示与向量组与向量组若向量组若向量组ba).,()(),(),(),(,:,:22121212121bararbbbaaabaaaaaaaaabbbblmmml 的秩，即的秩，即的秩等于矩阵的秩等于矩阵件是矩阵件是矩阵线性表示的充分必要条线性表示的充分必要条能由向量组能由向量组向量组向量组定理定理.),()()(,:b,:2121所构成的矩阵所构成的矩阵和和是向量组是向量组和和其中其中等价的充分必要条件是等价的充分必要条件是与向量组与向量组向量组向量组推论推论bababarbrarbbbaaaalm .,0213,2011,1102,3113,11113212132121等价等价与向量组与向量组证明向量组证明向量组设设例例bbbaabbbaa ).,(),(,:,:321212121mlmlaaarbbbraaaabbbb 线性表示，则线性表示，则能由向量组能由向量组设向量组设向量组定理定理.)(,.),(),(,:221212121naraeeene