一阶双曲常系数

1、第三章第三章双曲型方程的差分方程双曲型方程的差分方程第一节第一节 一阶线性常系数双曲型方程一阶线性常系数双曲型方程 0,0uuaxtxuxfx 设设 一一 阶阶 常常 线线 性性 方方 程程 为为 xfxuxxuatu0 ,0设一阶常线性方程为 采用对流方程开始研究双曲型方程的数值解法的原因：采用对流方程开始研究双曲型方程的数值解法的原因：1. 对流方程非常简单，对它的研究是探讨更复杂对流方程非常简单，对它的研究是探讨更复杂 的双曲型方程（组）的基础。的双曲型方程（组）的基础。2. 对流方程虽然简单，但通过它可以看到双曲方程对流方程虽然简单，但通过它可以看到双曲方程 在数值计算中特有的性质和现

2、象。在数值计算中特有的性质和现象。3. 利用它的特殊的、复杂的初值给定，完全可以用来利用它的特殊的、复杂的初值给定，完全可以用来 检验数值方法的效果和功能。检验数值方法的效果和功能。4. 它的差分格式可以推广到变系数双曲方程（组）它的差分格式可以推广到变系数双曲方程（组） 以及非线性双曲方程领域。以及非线性双曲方程领域。 几种典型的差分格式几种典型的差分格式迎风格式迎风格式Lax-Friedrichs格式格式Lax-Wendroff格式格式Courant-Friedrichs-Lewy条件条件利用特征线构造差分格式利用特征线构造差分格式隐式格式隐式格式蛙跳格式蛙跳格式思想思想: :在对微商进行

3、近似的时候在对微商进行近似的时候, ,关于空间导数用在特关于空间导数用在特 征线方向一侧的单边差商来代替征线方向一侧的单边差商来代替. . 11110, 0 1 nnnnjjjjnnnjjjuuuuaahuaua u 11110,01nnnnjjjjnnnjjjuuuuaauaua u 1.11.1 迎风格式迎风格式000210 ,minaaaaaaa000210 ,maxaaaaaaa:若引入 111nnnnnnjjjjjjuuauuauu 111122nnnnnjjjjjuaauuaauu 迎风格式可统一成：适用于变系数的情形1110, nnnnnnjjjjjjuuuuuuaahh 迎风格

4、式的性质：迎风格式的性质：1 1、满足相容性，一阶精度，、满足相容性，一阶精度， 截断误差为：截断误差为：2 2、条件稳定的，稳定性条件为：、条件稳定的，稳定性条件为：3 3、条件收敛的，收敛条件为：、条件收敛的，收敛条件为：1|a1|a)(),(hOtxTnj中心差分格式02111 huuauunjnjnjnj Fouriernnikjhjuv e 用用分分析析方方法法分分析析此此格格式式的的稳稳定定性性。设设, ,于于是是有有11-sin)nnviakh v （所以此格式绝对不稳定所以此格式绝对不稳定. .2、Lax-Friedrichs 格式格式 khakhiakG222sin1|sin

5、1 | ),(|1954LaxFriedrichs年年和和提提出出格格式式： 111111122nnnnnjjjjjuuuauu 即即：22()hOhO此格式的截断误差为： 111111202nnnnnjjjjjuuuuuah nnikjhjuv e 令令，有有1122nikhikhikhikhnaveeeev （）（）cossinnkhiakhv （）1Lax-Friedrichsa 故故当当时时，格格式式稳稳定定。其其增增长长因因子子为为：,cossinGkkhiakh22222,cossinGkkhakh22211sinakh Lax-Friedrichs格式的性质：格式的性质：1 1、

6、满足相容性，一阶精度，截断误差为：、满足相容性，一阶精度，截断误差为：2 2、条件稳定的，稳定性条件为：、条件稳定的，稳定性条件为：3 3、条件收敛的，收敛条件为：、条件收敛的，收敛条件为：| |1a| |1a22(,)()()jnhT xtOhOOh两种格式的比较两种格式的比较1 1、它们的精度都是一阶的精度、它们的精度都是一阶的精度, ,在实际应用中在实际应用中, , L-F格式可以不考虑对应方程的特征线的走向格式可以不考虑对应方程的特征线的走向, , 而迎风格式却要考虑其走向而迎风格式却要考虑其走向. .注、如果迎风格式写成统一格式注、如果迎风格式写成统一格式, ,也不必考虑特征线也不必

7、考虑特征线 走向，但需要计算绝对值。走向，但需要计算绝对值。1111120222nnnnnnnjjjjjjja uuuuuuuahahh 迎迎风风格格式式：()()2 2、比较截断误差、比较截断误差111112Lax-Friedrichs2222nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuhahh 格格式式改改写写为为112212nnnjjjuuuahah 左端相同,2Oh它们都以 （）趋近对流方程。211221huuuahanjnjnj截断误差大。格式的截断误差比迎风，则个式子相等。如果小于则上面的，如果取由稳定性的限制条件FLaa1211L-F格式的右端项：格式的右端项：112202nnnj

8、jjuuuaha h迎迎风风格格式式()()的的右右端端项项：222002huhx此格式也可以理解为在不稳定的中心差分格式的基础上适当的增加了一个起耗散作用的扩散项，（在 固定，），从而提高稳定性，此格式也称为耗散中心差分格式。22222huTOhx 截截断断误误差差为为：（）1211112Lax-Friedrichs2222nnnnnnnjjjjjjjuuuuuuuhahh 格格式式改改写写为为22312(,)(,)()2nnjnjnjjuuu x tu x tOtt22222uuatxuuuaattxx 利利用用微微分分方方程程有有： （）3 3、Lax-Wendroff 格式格式1960

9、年年Lax和和Wendroff构造了一个二阶精度的二层格式。构造了一个二阶精度的二层格式。构造的思想是利用构造的思想是利用TaylorTaylor展开式及方程本身。展开式及方程本身。代入上面的式子代入上面的式子, ,于是有于是有222312(,)(,)()2nnjnjnjjuauu x tu x taOxx22,uuxx并用中心差商近似)(2),(),(211hOhtxutxuxunjnjnj211222(,)2 (,)(,)()njnjnjnju xtu x tu xtuO hxh 12211111222nnnnnnnjjjjjjjauuuuauuuhh （ ） 21112222311(,)

10、(, )(, )(, )()21(, ) 2 (, )(, )2jnjnjnjnjnjnjnau x tu x tu xtu xtOhhau xtu x tu xtOhOh （ ）（） （ ）得到得到略去高阶项得到差分方程略去高阶项得到差分方程Lax-Wendroff 格式格式222312(,)(,)()2nnjnjnjjuauu x tu x taOxx截断误差为截断误差为22(,)jnT xtO h 1221111Lax-Wendroff11222nnnnnnnjjjjjjjuuauuauuu 格格式式： 222,12sinsin2khGkaiakh 2sin141,422222khaak

11、G时，差分格式稳定。当1a22()Oh此格式具有二阶精度:.利用利用Fourier方法分析稳定性，得增长因子为：方法分析稳定性，得增长因子为：Lax-WendroffLax-Wendroff格式的性质：格式的性质：1 1、满足相容性，二阶精度，、满足相容性，二阶精度， 截断误差为：截断误差为：2 2、条件稳定，稳定性条件为：、条件稳定，稳定性条件为：3 3、条件收敛，收敛条件为：、条件收敛，收敛条件为：| |1a22(,)()jnT x tOh| |1a4 4、Courant-Friedrichs-Lewy条件条件 00001,njj lj ljj muuuuu 一一般般的的，双双曲曲型型方方

12、程程的的差差分分格格式式中中的的，会会涉涉及及到到初初值值：,j ljmnjxxxu 那那么么 轴轴上上的的内内的的节节点点，即即是是差差分分方方程程的的解解的的依依赖赖区区域域，jj ljnj mjxlhxxatxxmh因因此此，必必须须有有才才能能稳稳定定， 由差分方程解的依赖区域与微分方程解的依赖由差分方程解的依赖区域与微分方程解的依赖区域的关系导出的差分方程收敛的必要条件。区域的关系导出的差分方程收敛的必要条件。即差分方程解的依赖区域包含微分方程解的依赖区域即差分方程解的依赖区域包含微分方程解的依赖区域 ,njjnjnuu x tfxat而而ourantC这这就就是是保保证证稳稳定定性

13、性的的条条件件。注、注、Courant条件是保证稳定性（收敛性）的必要条条件是保证稳定性（收敛性）的必要条 件，而非充分条件。件，而非充分条件。例如：一维对流方程的差分格式的例如：一维对流方程的差分格式的CFL条件条件 ( a 0 )右偏格式：右偏格式：000012,.,jjjj nu uuu差分方程的依赖区域jnxat 微微分分方方程程的的依依赖赖区区域域 显然，微分方程的依赖区域在差分方程的依赖区域之显然，微分方程的依赖区域在差分方程的依赖区域之外，不满足外，不满足CFL条件，所以格式不稳定。条件，所以格式不稳定。左偏格式（迎风格式）：左偏格式（迎风格式）：0000-1-2-,.,jjjj

14、 nu uuu差分方程的依赖区域jnjnjxatxx:CFL条件1a实际上实际上 也是稳定性的充分条件也是稳定性的充分条件 1a中心格式：中心格式：0000000-n-2,-112,.,.,jjjjjjj nuuuu uuu差分方程的依赖区域CFL:j njnj nxxatx条件|1a格式不稳定格式不稳定, ,所以所以CFL条件不是稳定性的充分条件条件不是稳定性的充分条件 Lax-Wendroff 格式：格式：0000000-n-2,-112,.,.,jjjjjjj nuuuu uuu差分方程的依赖区域: CFL:j njnj nxxatx条件|1a实际上实际上 也是稳定性的充分条件也是稳定性

15、的充分条件 |1a5、利用特征线构造差分格式利用特征线构造差分格式 ：点点的的值值层层上上现现计计算算已已计计算算出出。上上得得层层上上各各网网格格点点设设11,njnnjnuPttuDCBAtt 0jnnaPxatxatttQUPU Q 设设，过过 向向下下作作特特征征线线交交于于点点，则则有有。 U Q对对于于用用不不同同的的插插值值，可可得得不不同同的的差差分分格格式式： (1)BC(1)U PU Qa U BaU C若若用用 ， 两两点点进进行行线线性性差差值值， 11 nnnnjjjjuuauu 得得：这这是是迎迎风风格格式式。 (2)BD22hahaU PU QU DU Bhh若若

16、用用 ， 两两点点进进行行线线性性差差值值，有有 111111122nnnjjjuauau 11111122nnnnjjjjuuauu Lax-Friedrichs得得格格式式： 111111111111(3),jjjjjjjjjjjjjjjjjjB C DxxxxU PU QU BxxxxxxxxxxxxU CU Dxxxxxxxx 若若用用三三点点作作抛抛物物插插值值，有有： 1122UCaUCUBaaUBUCUD 1221111Lax-Wendroff11222nnnnnnnjjjjjjjuuauuauuu 得得格格式式：njnjnjnjnjnjnjuuuaauuauuCBA211121

17、21,)4(二阶迎风格式：三点进行抛物插值，得若用22hOE 此此格格式式具具有有二二阶阶精精度度： 24221,12sin14sinsin222sin11sin2khkhGkaaakhkhiakha 且增长因子：且增长因子：Beam-Warming格式格式 2 a 故故当当时时，二二阶阶迎迎风风格格式式稳稳定定。0 , a 如如果果二二阶阶迎迎风风格格式式为为： 11211122nnnnjjjjnnnjjjuuauuaauuu 2sin1241,442khaaakG6、蛙跳、蛙跳（leapflog）格式格式 0221111huuauunjnjnjnj有：差商近似偏导数，对于对流方程，用中心n

18、jnjnjnjuuauu1111即得蛙跳格式：22hO其截断误差为：用用Fourier方法方法分析稳定性，分析稳定性，把三层格式化为二层格式把三层格式化为二层格式njnjnjnjnjnjuvuuavu1111)(T,uvu令njnjnjnjaa11u000u0110u000uikjhnnjevu 令011sin2,khaikG增长矩阵：khakhia2222, 1sin1sin特征值：时，当1a1sinsin122222222, 1khakhaVon Neumann条条件件成成立立。注：注： 容易验证增长矩阵不是正规矩阵，所以容易验证增长矩阵不是正规矩阵，所以Neumann条件是满足稳定性的必要条件。条件是满足稳定性的必要条件。21( , ),10iGk由于传播矩阵是于是2212( , )21 2nnnnniGki2121,nnG 则则于是不稳定。于是不稳定