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文档简介

1、v1.0可编辑可修改余数特性的基本应用事个余数的问题一 和同爱上数学剩余定理问题一一基础学习余同5一、解答题1、剩余定理基础知识【答案】I=什么事余数?定义:在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时,就产生 余数,所以余数问题在小学数学中非常重要"简单点说:指整数除法中被除数未被除尽部分,例如27餘以乩商数为右余数为苑2:余数特性的基本应用性质:余数有如下一些重要性质 G 6 c均为目然数):1:余数小于除数。2;被除数=除数X商诊数;除数=(被除数-余数)白商; 商=:被除数诊数)十除数。3:如果 b除以心的余数相同,那么事与b的差能被C整除。例SL 17与11除

2、以3的余数都是2所17-11能被3整除。4: N与b的和除以c的余数,等于 b分别除以亡的余数之和(或这个和除以亡的余数)。如.23 16除以5的余数分别是3和1,所以(2+ie除以5的余数等于3+l=4o注意当余数之和大于除数吋,所求余数等于余数之和再除以匚的余数。艾如,3 19除以5的余数分别是3ff4,所以(23+19)除以巧的余数等于(3+4)除以丘 的余数&I5:鼻与b的乘积除以C的余埶 尊于加b分剔除以Q的余数之积或这个积除以C的余数)o如.23, 16除以5的余数分别是3和h所£1 (X16)除以5的余数等于3 Xl电注意:当余数之积大于除数时,所求余数等于余数

3、之积再除以C的余数。又如,23 19除以5的余数分别是3和£所以(23X19)除以5的余数等于(3X4)除以5的余数。性质4和5都可以推广到多个自然数的情形e【结東】2、余数特性的基本应用例 1: 5122除以一个两位数得到的余数是66 ,求这个两位数【答案】79【解题关键点】由性质(2)知,除数×商 =被除数-余数。5122-66=5056 ,5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数,得到5056=64 × 79。由性质1知,除数应大于 66,再由除数是两位数,得到除数在6799之间,符合题意的5056的约数只有79 ,所以这个两位数是79。【结束】3.

4、多个余数的问题:“差同减差,和同加和余同取余,最小公倍加刃这是同余问题的口诀4、多个余数的问题例 1 (余同):五年级两个班的学生一起排队出操,如果9人一排,多出一人;如果 10人排一行,同样多出一个人。这两个班最少共有多少人()A . 51B. 71C. 91D. 101【答案】C【解题关键点】此题为剩余定理问题中余同的情况,即人数减去一人的话就是9和10的公倍数,9和10的最小公倍数是 90,因此两个班最少共有 90+仁91人。余同取余:用一个数除以几个不同的数,得到的余数相同,此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,加上这个相同的余数,称为:“余同取余”。例:“一个数除以 4余1,除以

5、5余1 ,除以6余1”,因为余数都是 1,所以取+1,表示为60n+1。【结束】5、 多个余数的问题例 2 (和同):袋子里有一百多个小球,五个五个取出来剩余4个,六个六个取出来剩余3个,八个八个取出来剩余一个,问袋子里面有多少个球()A . 109B. 119 C . 129D. 139【答案】C【解题关键点】此题为剩余定理问题中典型的和同的情形,份容易得出9是满足以上两个条件的最小自然数,由于袋子里面有一百多个球,因此只需要加上5、6和8的最小公倍数120即可,即袋子里面有9+120=129个小球。和同加和:用一个数除以几个不同的数,得到的余数,与除数的和相同,此时反求的这个数,可以选除数

6、的最小公倍数,加上这个相同的和数,称为:“和同加和”。 例:“一个数除以 4余3,除以5余2 ,除以6余1”,因为4+3=5+2=6+仁7,所以取+7,表示为60n+7。【结束】6、 多个余数的问题例 3 (差同):把几百个苹果平均分成若干份,每份9个余8个,每份8个余7个,每份7个余6个。这堆苹果共有多少个()A . 111B. 143 C . 251D. 503【答案】D【解题关键点】 此题为剩余定理问题中差同的情况,即苹果数加上一个, 就是7、8和9的公倍数,而7、8和9的最小公倍数数504 ,正好在几百的范围内,因此这堆苹果有504-仁503个。【结束】7、多个余数的问题例 4: 一个

7、自然数被6除余4,被8除余6被10除余8,那么这个数最小为多少()A . 58B. 66C. 118D. 126【答案】C【解题关键点】此题为剩余定理问题中典型的差同的情况,这个自然数加上2后,就能够被6、8和10整除,而6、8和10的最小公倍数是 120,因此,这个数最小为 120-2=118.【例】一个数被4除余1,被5除余2 ,被6除余3,这个数最小是几()A . 10B. 33C . 37D. 57【答案】D【解题关键点】此题为剩余定理问题中典型的差同的情况,这个数加上3后,为4、5、6的倍数,而4、5、6的最小公倍数为 60,因此这个数最小为 60-3=57。差同减差:用一个数除以几

8、个不同的数,得到的余数,与除数的差相同,此时反求的这个数,可以选除数的最小公倍数,滅去这个相同的羞数,称为差同例:“一个数除以4余1,除5余2,除以6余M J 因为i-l=5-=6-f所以取-盂 覆示为GclrLl乩【结束】8. 余数相关何题=【答案】余数相关问题主要考查两类问题:Il基本余数问题,2;是同余问题。这两类问题的区别之处在于有无“商”的出现,也即如果题目涉及到商,则属于基#余数问题.如果不涉及到商,则是同余问题。基本余数问题的考查点集中在Mti等式:被除数=除数X商+余数基本余数问题的常规解答方式是根据题目条件及基本恒等式列出方程组并求解即可。而在基本余数问题中的常用技巧是被除数

9、大于商与余数的乘积,并且将恒等式右侧的余数移到左侧时,可得到整除结论:被除数减去余数能够被商或除數整除。同余问题的题目通常表述为类似于“一个数除以9余1,除以8余1除以F余丄这种形式。这种问题通常的求解是丸根据题目条件写出被除数的表达式,然后根据题目的限定条件进行具体求解。写岀表达形式的方法通常是根据口诀柿余同取余,和同加和,差同减差,公倍数做周期”对于一般的情形,考试中一般不会涉及,考生并不需墓记住中国剩余定理。如果同余问题中,待求屋为棊个符合要求的被除数,则通常只需代入脸证即可O気 余数黄系式和恒等式的应用【答案】余数基本关系式;被除数÷除数二商余数(0除数)余数基本恒等式:被除

10、数=除数X商+余数余数的关系式和恒等式比较简勒 但余皴范围3W余数V除数是部分题型的解题究破口,需要引起足够的重视。关于余数范围的应用见下文例题;【结束】10、余数关系式和恒等式的应用例1:两个整数相除,商是 5,余数是11 ,被除数、除数、商及余数的和是99,求被除数是多少()【答案】选DO【解题关键点】 余数是11,因此,根据余数的范围(o余数V除数),我们能够确定除数 11。除数 为整数,所以除数 12,根据余数的基本恒等式:被除数 =除数×商+余数 12×商+余数=12× 5+ 11=71, 因此被除数最小为 71 ,选DO【结束】11、余数关系式和恒等式的应用例2 :有四个自然数 A、B、C D,它们的和不超过 400,并且A除以B商是5余5, A除以C商是6余6, A除以D商是7余7。那么,这四个自然数的和是A. 216B. 108C. 314D.348【答案】选CO【解题关键点】 利用余数基本恒等式:被除数=除数×

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