高中数学立体几何专题：空间距离的各种计算(含答案)

1、高中数学立体几何空间距离1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离【例

2、 1】如图，在空间四边形abcd 中， ab=bc=cd=da=ac=bd=a，e、f 分别是 ab、cd 的中点 . (1)求证： ef 是 ab 和 cd 的公垂线；(2)求 ab 和 cd 间的距离；【规范解答】(1)证明：连结af，bf，由已知可得af=bf. 又因为 ae=be，所以 feab 交 ab 于 e. 同理 efdc 交 dc 于点 f. 所以 ef 是 ab 和 cd 的公垂线 . (2)在 rtbef 中， bf=a23,be=a21, 所以 ef2=bf2-be2=a212，即 ef=a22. 由 (1)知 ef 是 ab、cd 的公垂线段，所以ab 和 cd 间的

3、距离为a22. 【例 2】如图 ,正四面体abcd 的棱长为 1，求异面直线ab、cd 之间的距离 . 设 ab 中点为 e，连 ce、ed. ac=bc,ae=eb.cdab.同理 deab. ab平面 ced.设 cd 的中点为 f,连 ef，则 abef. 同理可证cdef.ef 是异面直线ab、cd 的距离 . ce=23,cf =fd=21,efc=90,ef=22212322. ab、cd 的距离是22. 【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以

4、转化为求直线与平面的距离. 例 1 题图例 2 题图（3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离【例 3】如图 (1),正四面体abcd 的棱长为1，求： a 到平面 bcd 的距离；过 a 作 ao平面 bcd 于 o，连 bo 并延长与cd 相交于 e，连 ae. ab=ac=ad,ob=oc=od.o 是 bcd 的外心 .又 bdbccd， o 是 bcd 的中心， bo=32be=332332. 又 ab1，且 aob=90 ,ao=36331222boab.a 到平面 bcd 的距离是36. 【例 4】在梯形 abc

5、d 中,adbc,abc=2,ab=a,ad=3a 且 sinadc=55,又 p a平面 abcd,pa=a, 求： (1)二面角 pcda 的大小 ; (2)点 a 到平面 pbc 的距离 . 【规范解答】(1)作 afdc 于 f,连结 pf, ap平面 abcd,afdc, pfdc, pfa 就是二面角pcd a 的平面角 . 在 adf 中,afd =90,adf =arcsin55,ad=3a,af=53a, 在 rtpaf 中 tanpfa=3535aaafpa, pfa=arc tan35. (2)pa平面 abcd,pabc,又 bc ab, bc平面 pab,作 ahpb

6、,则 bcah,ah平面 pbc,paab,p a=ab=a, pb=2a,ah=a22. 【例 5】如图，所示的多面体是由底面为abcd 的长方体被截面aec1f 所截面而得到的，其中ab=4 ，bc=2 ，cc1=3，be=1.（）求bf 的长；（）求点c 到平面 aec1f 的距离 . 解法 1： （）过e 作 eh/bc 交 cc1于 h，则 ch=be=1 ，eh/ad ，且 eh=ad. afec1， fad= c1eh. rtadf rtehc1. df=c1h=2. .6222dfbdbf（）延长c1e 与 cb 交于 g，连 ag，则平面 aec1f 与平面 abcd 相交于

7、 ag. 过 c 作 cmag ，垂足为m，连 c1m，由三垂线定理可知ag c1m.由于 ag面 c1mc，且 ag面 aec1f，所以平面aec1f面 c1mc. 在 rtc1cm 中，作 cqmc1，垂足为q，则 cq 的长即为c 到面 aec1f 的距离 . .113341712317123,17121743cos3cos3,.17, 1,2211221mccccmcqgabmcgcmmcggabbgabagbgcgbgcceb知由从而可得由解法 2： （i）建立如图所示的空间直角坐标系，则d（0，0，0） ，b（2，4，0） ，a（2，0， 0） ，c（0，4，0） ，e（2，4，1

8、） ，c1（0，4，3） .设 f（0，0， z）. aec1f 为平行四边形，例 3 题图b a c d 1a1b1cd1c1b1a1edcba.62,62|).2 ,4, 2().2,0,0(.2),2,0 ,2(), 0, 2( ,11的长为即于是得由为平行四边形由bfbfeffzzecaffaec（ ii）设1n为面 aec1f 的法向量，)1 ,(,11yxnadfn故可设不垂直于平面显然02020140,0,011yxyxafnaen得由.41, 1,022,014yxxy即111),3 ,0 ,0(ncccc与设又的夹角为a，则11114 33cos.33| |ccnccnuuu

9、 u ru u ruuu u ru u r c 到平面 aec1f 的距离为.11334333343cos|1ccd【例 6】正三棱柱111cbaabc的底面边长为8，对角线101cb， d 是 ac 的中点。（ 1）求点1b到直线 ac 的距离 .（ 2）求直线1ab到平面bdc1的距离解： （1）连结 bd，db1，由三垂线定理可得：acdb1，所以db1就是1b点到直线ac 的距离。在bdbrt1中, 6810222211bccbbb34bd2122121bbbddb（ 2）因为 ac 与平面 bd1c交于的中点，设ebccb11，则1ab/de，所以1ab/平面bdc1，所以1ab到平

10、面 bd1c的距离等于点到平面bd1c的距离，等于点到平面bd1c的距离，也就等于三棱锥1bdcc的高，bdccbdccvv11，131311ccshsbdcbdc，131312h，即直线1ab到平面 bd1c的距离是131312【解后归纳】求空间距离注意三点：1常规遵循一作二证三计算的步骤；2多用转化的思想求线面和面面距离；3体积法是一种很好的求空间距离的方法【范例 4】如图，在长方体ac1中， ad=aa1=1，ab=2 ，点 e 在棱 ab 上移动 . （ 1）证明： d1ea1d；（2）当 e 为 ab 的中点时，求点 e 到面 acd1的距离；（3）ae 等于何值时，二面角d1ecd

11、 的大小为4. 解析：法 1 （ 1） ae面 aa1dd1，a1dad1， a1dd1e （ 2）设点 e 到面 acd1的距离为h，在 acd1中， ac=cd1=5， ad1=2，故.2121,232152211bcaessacecad而11111131,1,.33223daecaecad cvsddshhhhd1c1b1a1edcbad1c1b1a1edcbaoxzy（ 3）过 d 作 dh ce 于 h，连 d1h、de，则 d1hce， dhd1为二面角d1ecd 的平面角 . 设 ae= x，则 be=2x112,1.4,1,rtd dhdhddhrtadedexrtdheehx

12、qq在中在中在中.4,32.32543.54,3122的大小为二面角时中在中在decdaexxxxxxcecbertchdhcrt法 2：以 d 为坐标原点，直线da 、dc、dd1分别为 x、y、z 轴，建立空间直角坐标系，设ae=x，则 a1(1，0，1)，d1(0，0，1)，e(1，x，0)，a(1，0，0), c(0，2，0). （ 1）.,0) 1, 1 (),1 , 0 , 1 (,1111eddaxedda所以因为（ 2）因为 e 为 ab 的中点，则e（1，1，0） ，从而)0,2 , 1(),1, 1 , 1(1aced，) 1 , 0, 1(1ad，设平面 acd1的法向量

13、为),(cban，则,0, 01adnacn也即002caba，得caba2，从而)2, 1 ,2(n，所以点e 到平面 ad1c 的距离为.313212|1nnedh（ 3）设平面 d1ec 的法向量),(cban，),1 ,0,0(),1, 2, 0(),0, 2, 1(11ddcdxce由.0)2(02,0, 01xbacbcencdn令 b=1, c=2, a=2x，).2 , 1 ,2(xn依题意.225)2(222|4cos211xddnddn321x（不合，舍去） ，322x. ae=32时，二面角d1ec d 的大小为4. 对应训练分阶提升一、基础夯实1.把边长为a 的正 ab

14、c 沿高线 ad 折成 60的二面角，则点a 到 bc 的距离是( ) a.a b.a26c.a33d.a4152.abc 中， ab=9，ac=15， bac=120.abc 所在平面外一点p 到三个顶点a、b、c 的距离都是14，那么点 p 到平面的距离为( ) a.7 b.9 c.11 d.13 3.从平面外一点p 向引两条斜线pa,pb.a,b 为斜足 ,它们与所成角的差是45,它们在内的射影长分别是 2cm 和 12cm ,则 p 到的距离是( ) a.4cm b.3cm 或 4cm c.6cm d.4cm 或 6cm 4.空间四点a、b、c、d 中，每两点所连线段的长都等于a，动点

15、 p 在线段 ab 上，动点q 在线段 cd 上，则 p 与 q 的最短距离为( ) a.a21b.a22c.a23d.a5.在四面体pabc 中， pa、pb、pc 两两垂直 .m 是面 abc 内一点，且点m 到三个面p ab、pbc、pca 的距离分别为2、3、 6，则点 m 到顶点 p 的距离是( ) a.7 b.8 c.9 d.10 6.如图， 将锐角为 60，边长为 a 的菱形 abcd 沿较短的对角线折成60的二面角， 则 ac 与 bd 的距离是( ) a.a43b.a43c.a23d.a467.如图，四棱锥 pabcd 的底面为正方形，pd底面 abcd，pd=ad1，设点

16、c 到平面 pab 的距离为d1，点 b 到平面 pac 的距离为 d2，则有( ) a.1 d1d2b.d1d21 c.d11d2d.d2d11 8.如图所示，在平面的同侧有三点a、 b、 c， abc 的重心为g.如果 a、 b、c、g 到平面的距离分别为 a、b、c、 d，那么 a+b+c 等于( ) a.2d b.3d c.4d d.以上都不对9.如 图 ， 菱 形abcd边长 为a， a=60 ， e、 f 、 g、 h 分 别 是ab、 bc 、 cd 、 da上 的 点且2dgcgfbcfhdahebae，沿 eh 和 fg 把菱形的两锐角折起，使a、c 重合，这时点a 到平面

17、efgh 的距离是( ) a.2ab.a22c.a23d.a615二、思维激活10.二面角 -mn-等于 60， 平面内一点a 到平面的距离ab 的长为 4， 则点 b 到的距离为. 11.在 60的二面角l中， a ,acl 于 c，b， bdl 于 d，又 ac=bd=a,cd=2a，则 a、b 两点间距离为. 12.设平面外两点a 和 b 到平面的距离分别为4cm 和 1cm，ab 与平面所成的角是60，则线段ab的长是. 13.在直角坐标系中,已知a(3,2),b(-3,-2) 沿 y 轴把直角坐标系折成平面角为的二面角aoy b 后,aob=90，则 cos的值是. 三、能力提高第

18、6 题图第 7 题图第 8 题图第 9 题图14.在边长为a 的菱形 abcd 中， abc=60， pc平面 abcd， e 是 pa 的中点，求点e 到平面 pbc 的距离15.在直三棱柱abca1b1c1中， acb 为直角，侧面ab1与侧面 ac1所成的二面角为60，m 为 aa1上的点.a1mc1=30， bmc1=90， ab=a. (1)求 bm 与侧面 ac1所成角的正切值. (2)求顶点 a到面 bmc1的距离 . 16.已知斜三棱柱abca1b1c1的侧面a1acc1与底面abc 垂直 .abc=90,bc=2,ac=23,且 aa1a1c,aa1=a1c. （ 1）求侧棱

19、a1a 与底面 abc 所成角的大小; （ 2）求侧面a1abb1与底面 abc 所成二面角的大小; （ 3）求顶点 c 到侧面 a1abb1的距离 . 17.如图，在棱长为a 的正方体abcda1b1c1d1中， e、f 分别为棱ab 与 bc 的中点， ef 与 bd 交于 h. (1)求二面角b1efb 的大小 . (2)试在棱 b1b 上找一点 m，使 d1m面 efb1，并证明你的结论. (3)求点 d1到面 efb1的距离 . 第 15 题图第 17 题图空间的距离习题解答1.d 折后 bc=2a,点 a 到 bc 的距离为415422aaa. 2.a bc=21120cos159

20、215922. abc 外接圆半径r=37120sin221, 点 p 到的距离为.7)37(14223.d 设 po垂足为o,|po|=xcm ,oap=,obp=,那么 -=45, tan=2x,tan=12x,tan (-)=tan 45展开左边并整理得:x2-10 x+24=0,解得 x1=6,x2=4. 4.b p、q 的最短距离即为异面直线ab 与 cd 间的距离，当p 为 ab 的中点， q 为 cd 的中点时符合题意. 5.a pm=7632222. 6.c 取 bd 的中点 o 连 ao、oc，作 oeac 于 e，则 oe 为所求， ao=co=ac=23a. 7.d 点

21、c 到平面 pab 的距离 d1=22, 点 b 到平面 pac 的距离 d2=33211221，12233,d2d118.b |mm |=2cb，又3122cbacbd.a+b+c=3d. 9.a 设 bd 的中点为o，eo=6760cos2322322aaaaa，点 a 到平面 efgh 的距离为23679422aaa. 10.2 作 acmn 于 c，连 bc，则 bcmn， acb=60，又 mn平面 abc，平面 abc平面，作bdac 于 d，则 bd，bd 的长即为所求，得bd=211.a3ab=aaaaaa360cos2)2(222. 12.23cm 或3310cm 当点 a、

22、b 在同侧时， ab=3260sin3; 当点 a、b 在异侧时， ab=331060sin513.94如图 ,ab=26)32(22222oboabcy 轴,bcy 轴, bcb为二面角a oyb 的平面角 . bcb= ,在 bcb中 ,bc=bc=3, bb=104262,由余弦定理易知cos=94. 14.如图，将点e 到平面 pbc 的距离转化成线面距，再转化成点面距. 连 ac、bd，设 ac、bd 交于 o，则 eo平面 pbc，oe 上任一点到平面pbc 的距离相等平面 pbc平面 abcd，过 o 作 og平面 pbc，则 gbc，又 acb=60 ， ac=bc=ab=a

23、，oc=2a,og=oc sin60=43a. 点评： 若直接过e 作平面 pbc 的垂线，垂足难以确定在解答求距离时，要注意距离之间的相互转化有的能起到意想不到的效果15.(1)三棱柱abca1b1c1为直三棱柱，bac 为二面角b1aa1c1的平面角， bac=60 . 又 acb 为直角， bc侧面 ac1. 连 mc，则 mc 是 mb 在侧面 ac1上的射影 . bmc 为 bm 与侧面 ac1所成的角 . 且 cmc1=90， a1mc1=30，所以 amc =60 . 设 bc=m，则 ac=m33， mc=32m，所以 tanbmc=23. 即 bm 与侧面 ac1所成的角的正

24、切值为23. (2)过 a 作 anmc，垂足为n，则 an面 mbc1. 面 mbc面 mbc1，且过 n 作 nhmb，垂足为h，则 nh 是 n 到面 mbc1的距离，也就是a 到面 mbc1的距离 . ab=a,ac=2a,且 acn=30，an=4a且 amn=60， mn=a123. 第 14 题图解nh=mnsinbmc=a123a5239(本题还可用等积法). 16.(1)如图所示 ,作 a1dac,垂足为 d,由面 a1acc1面 abc,得 a1d面 abc a1ad 为 a1a 与面 abc 所成的角aa1a1c,aa1=a1c a1ad=45为所求 . (2)作 dea

25、b 垂足为 e,连 a1e,则由 a1d面 abc,得 a1eab, a1ed 是面 a1abb1与面 abc 所成二面角的平面角. 由已知 abbc 得 debc,又 d 是 ac 的中点 ,bc=2,ac=23de=1,ad=a1d=3,tana1ed=deda1=3,故 a1ed=60为所求 . ()连结 a1b,根据定义 ,点 c 到面 a1abb1的距离 ,即为三棱锥ca1ab 的高 h. 由 vca1ab=va1-abc得31saa1bh=31sabca1d即313223122h,h=3为所求 . 17.(1)如图连结b1d1，ac，b1h，底面为正方形abcd，对角线acbd.

26、又 e、f 分别为 ab、 bc 的中点efac.efbd. 又棱 b1b底面 abcd ，ef面 abcd， efb1b. 又 b1bbd=b,bb1面 bb1d1d，bd面 bb1d1d. ef面 bb1d1d. 而 b1面 bb1d1d，bh面 bb1d1d， efb1h，efbh . b1hb 为二面角b1efb 的平面角 . 在 rtb1bh 中， b1b=a,bh=a42，tanb1hb=221bhbb. b1hb=arctan22. 二面角b1efb 的大小为arctan22. (2)在棱 b1b 上取中点m，连 d1m，则 d1m面 efb1.连结 c1m. ef面 bb1d1

27、d，d1m面 bb1d1d. d1m ef. 又 d1c1面 b1bcc1. c1m 为 d1m 在面 b1bcc1内的射影 . 在正方形b1bcc1中， m、f 分别为 b1b 和 bc 的中点，由平面几何知识b1fc1m. 于是，由三垂线定理可知b1d1，而 b1f面 efb1，ef面 efb1，efb1f=f，d1m面 efb1. (3)设 d1m 与面 efb1交于 n 点，则 d1n 为点 d 到面 efb1的距离，b1面 efb1,d1m面 efb1，第 17 题图解b1nd1m. 在 rtmb1d1中，由射影定理d1b12=d1nd1m，而 d1b1=2a,d1=ambdb232

28、1211，d1n=.341211amdbd即点 d1到面 efb1的距离为a34. 高中数学立体几何空间距离的计算（学生版）1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离. 4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公

29、垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离. 题型一：两条异面直线间的距离【例 1】如图，在空间四边形abcd 中， ab=bc=cd=da=ac=bd=a，e、f 分别是 ab、cd 的中点 . (1) 求证： ef 是 ab 和 cd 的公垂线； (2)求 ab 和 cd 间的距离；【例 2】如图 ,正四面体abcd 的棱长为1，求异面直线ab、cd 之间的距离 . 例 1 题图例 2 题图【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法：（1）利用图形性质找出两条异面直线的公垂线，求出公垂线段的长度. （2）如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行，可以转

30、化为求直线与平面的距离. （3）如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可以转化为求两平行平面的距离. 题型二：两条异面直线间的距离【例 7】如图 ,正四面体abcd 的棱长为1，求： a 到平面 bcd 的距离；【例 8】在梯形 abcd 中,adbc,abc=2,ab=a,ad=3a 且 sinadc=55,又 p a平面 abcd,pa=a, 求： (1)二面角 pcda 的大小 ; (2)点 a 到平面 pbc 的距离 . 【例 9】如图，所示的多面体是由底面为abcd 的长方体被截面aec1f 所截面而得到的，其中ab=4 ，bc=2 ，cc1=3，be=1.（）求bf 的长；（

31、）求点c 到平面 aec1f 的距离 . 例 3 题图b a c d 1a1b1cd1c1b1a1edcba【例 10】正三棱柱111cbaabc的底面边长为8，对角线101cb， d 是 ac 的中点。（ 1）求点1b到直线 ac 的距离 .（ 2）求直线1ab到平面bdc1的距离【解后归纳】求空间距离注意三点：1常规遵循一作二证三计算的步骤；2多用转化的思想求线面和面面距离；3体积法是一种很好的求空间距离的方法【例 11】如图，在长方体ac1中， ad=aa1=1，ab=2 ，点 e 在棱 ab 上移动 . （ 1）证明： d1ea1d；（2）当 e 为 ab 的中点时，求点 e 到面 a

32、cd1的距离；（3）ae 等于何值时，二面角d1ecd 的大小为4. 对应训练分阶提升一、基础夯实1.把边长为a 的正 abc 沿高线 ad 折成 60的二面角，则点a 到 bc 的距离是( ) a.a b.a26c.a33d.a4152.abc 中， ab=9，ac=15， bac=120.abc 所在平面外一点p 到三个顶点a、b、c 的距离都是14，那么点 p 到平面的距离为( ) a.7 b.9 c.11 d.13 3.从平面外一点p 向引两条斜线pa,pb.a,b 为斜足 ,它们与所成角的差是45,它们在内的射影长分别是 2cm 和 12cm ,则 p 到的距离是( ) a.4cm

33、b.3cm 或 4cm c.6cm d.4cm 或 6cm 4.空间四点a、b、c、d 中，每两点所连线段的长都等于a，动点 p 在线段 ab 上，动点q 在线段 cd 上，则 p 与 q 的最短距离为( ) a.a21b.a22c.a23d.a5.在四面体pabc 中， pa、pb、pc 两两垂直 .m 是面 abc 内一点，且点m 到三个面p ab、pbc、pca 的距离分别为2、3、 6，则点 m 到顶点 p 的距离是( ) a.7 b.8 c.9 d.10 6.如图， 将锐角为 60，边长为 a 的菱形 abcd 沿较短的对角线折成60的二面角， 则 ac 与 bd 的距离是( ) a.a43b.a43c.a23d.a467.如图，四棱锥 pabcd 的底面为正方形，pd底面 abcd，pd=ad1，设点 c 到平面 pab