函数定义域值域及表示

1、函数定义域值域及表示(1) 函数的概念设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合 A中的任意一个数X,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f : A B为从集合A到集合B的一个函数.记 作：y=f(x) , x A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与 x的值相对 应的y值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| x A 叫做函数的值域.注意：如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：1) 构

2、成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)2) 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致(两点必须同时具备)(2) 区间的概念及表示法设a,b是两个实数，且 a b，满足a x b的实数x的集合叫做闭区间，记做a,b；满足a x b的实数x的集合叫做开区间，记做 (a,b)；满足a x b，或a x b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做 a,b) , (a,b；满足x a,x a,x b,

3、x b的实数x的集合分别记做a,),(a,),(,b,(,b).注意：对于集合x|a x b与区间(a, b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须a b .(3) 求函数的定义域时，一般遵循以下原则： f (x)是整式时，定义域是全体实数. f (x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数. f (x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. 对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1. y tanx 中，x k (k Z).2 零(负)指数幕的底数不能为零. 若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各

4、基本初等函数的定义域的交集. 对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f (x)的定义域为a,b，其复合函数fg(x)的定义域应由不等式 a g(x) b解出. 对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义.(4) 求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法： 观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观

5、察直接得到值域或最值. 配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值. 判别式法：若函数 y f (x)可以化成一个系数含有 y的关于x的二次方程2a(y)x b(y)x c(y) 0 ,则在a(y) 0时，由于x, y为实数，故必须有b2(y)4a(y) c(y) 0 ,从而确定函数的值域或最值. 不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值. 换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题. 反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. 数形结合法：

6、利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值. 函数的单调性法.例题讲解例1求下列函数的定义域:(1) x2 2x 15y x 33(3) f(x)(x 1)0(4) g(x)= . x 1,1x2例2求抽象函数求定义域记住两句话：地位相同范围相同，定义域是关于 x的。1)设f (x)的定义域是3，,2 ，求函数f(.、x 2)的定义域。2)已知y=f(2x+1)的定义域为-1，1，求f(x)的定义域;3) 已知y=f(x+3)的定义域为1，3，求f(x-1)的定义域.114)若函数y f(x)的定义域为1,1,求函数y f(x )+f(X -)定义域44例3设x取实数，则f(x)与g(x)表示

7、冋一个函数的是()A、f(x) x , g(x)i 2Gx)2xX2B、f(x)xg(x)(X)C、f (x)1 , g(x)(x 1)0D、 f(x)x29g(x)x 3x 3例4下列四个函数中,与y=x表示冋一函数的是()=()2= =例5判断下列各组中的两个函数是同一函数的为(y1(x 3)(x 5)f (x)f(x)h(x)x3 x 1、x 1 ：x ,g(x)3x43x ，2y1B .、，Y22 x，y2F(x),f2(x)A.、 C .例6在映射,(x 1)(x 1)；2x 5。D .、B中，A B ( x,y)|x,yR，且 f ：(x,y) (x y,x y)，则与 A中的元素

8、(1,2)对应的B中的元素为()(A) ( 3,1)(B) (1,3)(C) ( 1, 3)(D) (3,1)例7若f : A B能构成映射，下列说法正确的有(1) A中的任一元素在 B中必须有像且唯一;(2) A中的多个元素可以在 B中有相同的像；(3) B中的多个元素可以在 A中有相同的原像;(4) 像的集合就是集合 BA 、1 个B、2个C、3个D、4个例8求函数值域1)观察法2)图象法 3)分式分离常数法4)换兀法5 )判别式法6 )配方法7)函数单调性法5x 38)反解 1 ) y 5x 3x 3(2) yx2x 2/ 、2x2 2x34x . 1 3x(3) y(4) yX2 x 1例9求函数解析式(1 )配凑法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)方程组法.1 3 1(1)已知 f (x)