2022考研数学（二）10月模考试卷附答案解析

1、2022考研数学（二）10月模考试卷附答案解析设当 x-> 0 时,a(x) = tanx-sinx,凤x) = Jl+x2 - Jl-x2,父力=051 sintdt都是 无穷小，将它们关于x的阶数从低到高排列，正确的顺序为()A.a(x),凤 x),y(x)D4xa(x),/(x)参考答案D答案解析当xfO时，凤玲=也 +d一6一1 =/ 2x j x2,Vl + x2 +71-x2.X3a(x) = tan xsinx = (l cosx)tanx ,Xx) = fsin&/ = cos咕y0sx = l-cos(l - cosx) 巴X,故 D 正确.Jo282设 /(-

2、x) = -/«，且在(01 -wo)内，r(x)> 0 J"(x) > 0 ,则 /(x)在(TO, 0)内必有 ()A./，(x)<0,/*(x)<0B./,(x)<0J/»(x)>0C./,(x)>05/ff(x)<0D./f(x)>0sr(x)>0参考答案C答案解析由已知，/（X）是奇函数，故广（X）是偶函数，/（X）是奇函数，从而由/3>0,xe(0.+ao),可知当 xe (-8,0)时,f'(x) > 0 ；由)"(力>Qxe(0,+oo),可知当xe(7

3、,0)时，由(力<0, C正确.已知1ynV+ox+bx+c在x=-2处取得极值，且与直线y =-3x+3相切于点(1.0),则()A. a = 1.6 =8,c = 6B. a = -L b = 8.c = -6C.a = 1.6 = 8.c = -6D. a = -L 6 =8.c = 6参考答案A答案解析 由已知，y（-2）=o,y（i）=-3»（i）=o(x3 + ar2+hx+cy|x_2=0,fl2-4a + 6 = 0,即, (x3+ax2 +bx+c)' 1,.!= 3,即« 3 + 2a + b = 3,解得 a = 1,6 =8,c = 6

4、 一故选 A.(x3 + ax2 + Z>x 4- c) |&1= 0, l+a + b + c = 0,由已知，y(-2) = 0jQ) = -3j(l) = 0(x3 + ax2+bx+ c)r =0s 12-4a + b = 0,(xJ + ax +bx+ c)' |xj = 3,即, 3 + 2a + b = -3.解得a = ,b =-8,c = 6 .故选 A. (x3 + ax1 + bx+ c) 1= 0,.l+a + b + c = 0.设左>0,方程InX一 +左=0在(0,m)内不同实根的个数为().A.0B.1C.2D.3参考答案C答案解析令

5、/'(x) = lnx-2+左，则|八力=1-1 = _令八力=0,得x = e, ex e ex可知x = c是/(x)的最大值点，最大值为/(e)=匕由左>0,知当xe©e)时，/(x)单调增加；当xeQy®)时，/x)单调减少，故函数"X)的图形与x轴有两个不同交点，即方程有两个不同实根，C正确设反常积分/(。一布-厂班收敛，则正确的是()AJt>-lC.k>lD.k<l参考答案D答案解析-COS- I 1 -COsA-1., CC6+1.,1e x-e =/（。1 -1）当 x y 时，ee 1 T）与 JQ-cos）是等价

6、无穷小,又lcos与人是等价无穷小，则布-1）与丁:是等价无穷小. x 2xlex当左<1时，2-k>,故/（。-。"城收敛；当上21日12-k41, 丁二是阶数不高于L的无穷小，故 2exxx*（e，-。"）长发散.故选D.V arctan，.（x, v） * （0s0）,7 + /" 则 xj）在点（0,0）处（0,（XJ）H。），A.连续但不可微B.偏导数存在但不连续C.可微D.连续但偏导数不存在参考答案C答案解析由 arc tanyp+y有界，知眄/(xj)=煦yarctan -= = 0 = fM ,3TojtO7X 十)故"X J

7、)在点(0,0)处连续.AO, 0) = limOf。)=5 9 = 0, x ioz-(o,o)=iim2XMzZ()=limarctan± =JtOy3To| y |712M-df f (xj)-/(O,O)-X(O.O)x+(O,O)yPP所以/(x,y)在点(QO)处可微，故C正确.积分/二二乃人%四力+f(x,ydy=().f(x,y)dxf(x,y)dxB.f(x,y)dxf(x,y)dx参考答案C答案解析第7题图原积分1的积分区域如图所示， 2<x<242,故/ =票/(”心8设q =(用吗吗),42 =(许向也),必=(%。2,。3尸，其中4；+邛*0(1

8、 = 1,23),则三条直线qx+b,+G =0(i =1,2,3)恰好仅交于一点的充要条件是().A;(aw3)= 3B.r(a1,a2!a3)=lC.r(a1,a2：a3) = r(a1,a2)D.r(a1：a2=a3) = r(a1：a2)=2参考答案D答案解析ajx+hjv+q =0,三条直线交于一点，等价于有唯一的兑产满足方程组。产+5/ +与=0,qx+姐+一 =0,写成向量形式，即有唯一的使得下列等式成立，X a, +y b2、国即再/+，=-里，所以生可由%生线性表示，且表示法唯一，从而%生与线性相关，而%线性无关，故N4%里) = «4%) = 2 一故选D. 设N

9、是阶矩阵，齐次线性方程组.以=0有两个线性无关的解，则()A. N0 = 0的解均是Ax=O的解B.出:=0的解均是/x = 0的解C. 4: =0与,4% = 0无非零公共解D. 4c =0与=0恰好由一个非零解构成公共基础解系参考答案B答案解析由/x =。有两个线性无关解=>n-r(A) >2=>r(A)/中阶子式全A1= 0.".Tx = 0 有,L «/) = 基础解.又 44, = /4N/|E = O 及 Ax = 0 n A'Ax = 0 ,即-4x = 0 的解均是= 0 的解，故选B.显然可排除A.由于-=o与夙=0,当分(+/时

10、，；"=0有非零解，即出:=0与Bx = 0有非零公共解.又 A4" = <?=厂(/) +/(/)« ”，故当？*(+ ”/)<“ 时，4=0 与/有 非零公共解，故排除C.而Ax =0与4x = 0恰好由一个非零解构成公共基础解系，需条件= 故排除D.设“兀二次型/（再,巧,X“）=（演+。田）'+（巧+42再）2+（/+%药）2，其中6（i=L2,均为实数，若二次型正定，则（）.A.1+(T)"+%叼4HoB.1+(T)"2 4=0C.l-(-l)% -4 *0D. 1 (1)"-%生"an =0参

11、考答案A答案解析 由正定二次型的定义，知“冷孙,修）正定的充分必要条件是对任意xl,x1. - ,xn,有/（不多,4）之0,其中当且仅当方程组只有零解时等号成立.w +q 第=0,/+% 巧=0,%+1 = 0-方程组只有零解的充分必要条件是系数行列式不为零,140 001%-0-0001an000即001=1 + (1广4口24 H 0 ,因此，当1+（-1）"+%°2时，对任意不全为0的小孙田都有/（冷电，,/）0,故正定,A正确设函数/Okanxbintanx2)tan(2产)-100,则八1)44411答案解析因为tan(；x)-l|x_i =0 ,令/0) =

12、|>30。乂)-1出(工)，则 rrAD =tan(-x)-lf|XJ - g(l)+0- gr(D=tang x) 1' | z 卜 an(： V) - 2tang )100 | x4=-(-99!) = - 4 8鸿)2412设f(x)为连续函数，且由，贝|/(x)=.答案解析令.f(f)dt = A (常数)，贝|J f(x) = x+2A ,所以.f(x)dx = f； xdx = f； 2 Jobe, 即 N=g + 24,解得4 = 1,故/(x) = x-l.13设“乂乂2)= /炉7 ,且z=z(x»y)由方程>+1/ + 22-3型z = 0确定

13、,则加1)=答案解析由 f(x, y,z) =z，,得乂 z) = 2xy2z3 + 3y2z2.ex方程/+/+223孙2=0两边同时对求偏导，得2x2z 3yz-3xy = 0,dxdx解得3="半，故£，(x,y,z)=2到2z3+3/y2z2.兰芈，所以ex 3型一 2z3 孙-2z£(LU) = T.14设区域 Z)由 X = -yj2y-y2, x = -2, y = 0, y = 2 所围，贝U / = jj ydxdy =答案解析如图所示，设JD=(xJj)|-2<x<0I0<y<2IDd. =x,-yjly-y1 <

14、x<0,则，=IT ydxdy= ydxdy- ydxdyr。 r2c kr2 sin ddr= 4 - - Jsin4 Odd = 4 2 cos4 tdt 3J73。 8 3 1 万 < 乃=4 xxx =4.15微分方程生=二满足y(l) = 0的特解为. ax v + x答案解析已知方程变形为孚=J,为一阶齐次微分方程.改2+1X令士=U ,贝ijy =际生= x« + ，故 + x虫,分离变量得xax axax w 4-1 + 1 ,dx-5du = -,W +1X积分得;山(？ +1)4-arctan u =-ln | x| +C .由 y(l) = 0,得

15、C = 0,故所求特解为 LnKy+l +arctan 2+lnx = 0.2 xx16再+ 2巧+否=3：设方程组，2项+ (左+4)与-5毛=6：有无穷多解，贝|左=一再- 2巧+应=3,答案解析 对非齐次线性方程组的增广矩阵N作初等行变换,2 k01 3、-7 0 ,由方程组有无穷多解, k+lQ7知/(4) = «0<3,故左=-1或左=0一 17设须=赤(a > 0)，5+i = Ja+xn ,证明：lim 存在，并求其值.答案解析依题意，有再=&，为=Ja +x*注个愎号#可知/严格单调增加.由 1=" + 修，得x3 = a + x

16、7;,，故%1=旦 +与<* + L-w-1即$有上界，故lim不存在. ,，00而 X* >匕V -= +1 =+1 9y/a设limx£=，等式心= a + x找两边同时取极限(->8),得W = a + ,4, n-to解得4 = 1+用工,4 = 1一呼缶(舍去)，故1沁/ =*半至 22nD 2(1)求积分4=广工之1,。>0)的递推关系 (X r u )(2)计算/=3x+4 工i(/+2x+2)2答案解析(1)当”之1时，4 =(，产=(x2 +a2y + (Y *产以=» '、 + 2”(x35c = % +2nZ -Ina1

17、1 x,(/+/>译+/产 (x2+/yi故(2" T)1" + 7 ： j 26，其中 4= f-y工 = 1arctan2 + C.2na(x+a)* xa a3a ,彳-(2x+2)(2)3x+4,(2i-55dx= dx+(x2 + 2x+2)2' (x2 + 2x+2)131fl/,、z+ 5(x+1)2d + 2x+2 J(x+1)2+1231 ff 1(x+1)2八； + I ； ；-d(x+1) 2(x+1)2+1 (x + l)2+l (x+1) +1话再会+ 1屋宁心+1)+ ."+屿岛币312(x+1)2+1+ arctan(x

18、+l) +x+l2(x+1)2+1arctan(x+1) + C19x-21/ t、 c；F arctan(x +1) + C . 2(/ + 2*+2) 2求函数/(X, >') = (1 + y)2 +(1+力?在条件X2 + y2 +孙=3下的最大值.答案解析利用拉格朗日乘数法，令乂幻=(1 + 丁)2+(1+“)2+双/+/+到一 3),则 工=2(1+力 + A(2x+ y) = 0,<Z；=2(1 + j)+A(2> + x) = 03L = x1 + y2 +xy-3 = 0.由消去2,得(x-y)(x+y-l) = 0 ,故x = y 或x+y-1 =

19、0.当x = y时，代入式，解得x = y = ±l；当x+y = l时，代入式，解得x=Zy = T或x=Ty =2.比较大小：/(L1) = 8J(TT) = 0,/(2-1) = /(-L2) = 9,故/(x,y)的最大值为9. 20设 Z)： x+y2 <y/2x,Q<y<x,计算/ =+。-1 曲行.答案解析 用/+)，2=1,即，=1将。划分为4与4,如图所示，则 I = (y-r')rdrde+ (r-Y)rdrde = f f (1 - ry-drdO - f f (1 - r)rdrdOwA工万=2 Q汨"爪1 f= 2 仔 d

20、 可 i (1 t )ed8 产m (1 尸)济W$n 2 八 2723 n 5 1 ti 11 n(cos* 0cos- ff)d0 112 J。312 9 4 8 36 24设L是一条平面曲线，其上任意一点尸（xjXx > 0）到原点的距离恒等于该点处 的切线在y轴上的截距，且A过点（；0）.（1）求曲线Z的方程；（2）求2位于第一象限部分的一条切线，使该切线与Z以及两坐标所围的面积 最小.答案解析（I）依题设，曲线Z过点尸（XJ）的切线为y-），= j/（x-x）,令x = o,贝|J切线在尸轴上的截距为尸-3.由已知，(X2= y -xy',即 >'=+由x>°Q'TF'为齐次微分方程笆=*则yi+刈'，则“ +g?,为可分离变量的微分方程，-7 = -,积分并代T1 + U2 X回¥=，得>，+百+>2 =C.又工过（上0）,得。=于是曲线z的方程为 x22y +Jx2 + V =： , gp = Ax2.（2）在第一象限内，），= q-x2在点尸处的切线方程为4Y -（-x1'） = -2x（X-x） , gpy =-2x-A"+x2+-（O<x<-）,它