2022年研究生考试数学二302预测卷4套合集和答案解析

1、2022年全国硕士研究生招生考试数学（二）预测卷（一）（科目代码：302）考生注意事项1 .答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指 定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2 .选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书 写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题册上答题无效。3 .填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写 部分必须使用2B铅笔填涂。4 .考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。（以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、选择题：110小题,

2、每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的.1 .设 /(sin%) = r，当 f 0，时I sin x IA. /(力与1为等价无穷小量.B.八工)与x为同阶非等价无穷小量.C. /(J-)为比工高阶的无穷小量.D. /(x)为比了低阶的无穷小量.2 .设函数/(工)可导,y = /(73).当自变量r在z =- 1处取得增量=-0.1时.相应的函数增量的线性主部为0.3,则/(I)=A. 1.B. 0. 1.C. 1.D. 0. 3.3 .设函数/(/)在0,1上具有连续导数A.C.(工)dr | WM.4 .下列反常积分发散的是A.广曰*C.为口也J

3、。右 1，且 /(0) =0, max | /'(7)| = M,则B. |仆)同和.D.M& |/(_r)dr & 2M.(x2 + y2 )sin 2 j.0,w? +1/ # 0, x2+y = 0在点(0,0)处数学(二)预测卷(一)试题 第1页(共3页)A.不连续.C.可微.B.连续但偏导数不存在.D.偏导数存在但不可微.D,则二重积分+/)匕=D6 .将双纽线(f+y)2 = 22(3-2-/)围成的平面区域记为A. 7t.B. 27t.C. 37r.D. 47r.7 .设a均为常数,则微分方程d'+ 4» = 1 + cos 2工的特解可

4、设为 A. ar + /»+ Arcos 2x.B. s +。+ Asin 2jc.C. ar + +Acos 2x + Bsin 2/).D. xajc + + Acos 2jc + Bsin 2z).8 .设A为mX "矩阵，且A的秩为厂，则下列命题中正确的是A. r = n时，方程组Ar = 8有解.B. r = m时，方程组Ar = b有解.C. r = m时，方程组Ax = 0有非零解.D.r = n时方程组Ar = 0有非零解.9 .设A.5均为5阶非零矩阵,且满足AB =O,下列命题中正确的是 A.若矩阵B有1阶非零子式,则r(A) = 4.B.若矩阵3有2阶

5、非零子式，则厂（A） = 3.C.若矩阵3有3阶非零子式则NA） = 2.D.若矩阵B有4阶非零子式，则厂（A） = 1.A. zi + 忌.C. Z Z2.10.二次型/'（不，工2，73）=（力+ J,2）2 +（/2 3产+ （为+/3）2的规范形为B. z +zl+ zf.D-Z1 22 二、填空题：1116小题,每小题5分，共30分.11 . /（x）=cosd出在0,1上的平均值为12 .由曲线y = 口-j和直线z = 0,2=中,y = 0所围成图形的面积为.1 + sin x213 .已知（ary3 一 丁2cos x）dr+ （1 +6ysin x + 372y2）

6、dy是某函数的全微分，则a,b的取值 分别为.14 .曲线y = /（x） =（z + ?sin的渐近线的条数为.15. 一水平横放的圆柱形油桶，设F1为桶内盛半桶油时桶的一个端面所受的侧压力,B为桶内盛满油时桶的一个端面所受的侧压力，则今=.X X1 X16. /(x)=1 11 111X1l-2z中/的系数为三、解答题：1722小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .（本题满分10分）设/ =1 sin（a +/"）dn = 1,2,，其中 a 为实数，证明：lim/rt = sin a.18 .（本题满分12分）设函数 y = 满足= J -=Sx +。

7、（ Ar）,且 y（ 1） = 1,计算>（x）dr.V2xx2J119 .（本题满分12分）计算 lim* S ', 一S M （n2 +i2Vn2 +j220 .（本题满分12分）已知z =在Z>0时有二阶连续导数,且满足痣+零=0.求/（u）的表达式.21 .（本题满分12分）一容器内表面是由曲线> =（0 &工4 2,单位:m）绕 > 轴旋转一周所得到的曲面.现以1 m'/min的速率注入某液体.求：数学（二）预测卷（一）试题第#页（共3页）（D容器的体积；（2）当液面升高到1 m时液面上升的速率.22 .（本题满分12分）设A为3阶矩阵

8、,a为3维列向量，且A2a手O.A a = 0.（1）证明向量组a，4a.A2a线性无关；若P= （a,4a.A%）,计算 P AP；（3）判断矩阵A能否相似对角化,并说明理由.2022年全国硕士研究生招生考试数学（二）预测卷（二）（科目代码：302）考生注意事项1 .答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指 定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2 .选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书 写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题册上答题无效。3 .填（书）写部分必须使用黑色字

9、迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写 部分必须使用2B铅笔填涂。4 .考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。（以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、选择题：110小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是 最符合题目要求的.1 .函数/()=lim 信)+(今)+z"在(0,+8)内A.处处连续但有一个不可导点.B.处处连续且可导.C.处处连续但有两个不可导点.D.有一个不连续点.2 .若当70时,/(z) = f，(eM,-es'",)d/a是等价无穷小，则常数a#的值分别为 J 0A.,3.B.,3.C.!,4.D.5,4.0

10、Lo43 .设二阶可导函数/()满足/(-1) =/(1) =0,/(0) = 1,且/'(为<0,则A. j /(x)dr > 1.B. J /(jr)dr < 1.c J；/(j')cLr = J /(x)cLzD. J /(j-)cLr J /(x)dr.教学(二)预测卷(二)试题第1页(共3页)4 .设函数/("在7=0处可导，且lim八也)- 2zf Cr) = 2,则/ = X-*OxA. - 1.B. C. 0.D. 1.5 .设函数fCr)在点z = 0的某一邻域内具有二阶连续导数，且lim丛力=0, T-*O Xhm3h3 = ,则

11、 lOXA. /(0)是函数/Cr)的极大值.B. ./ (0)是函数/(h)的极小值.C. (0,/(0)是曲线> =/(J-)的拐点.D. /(0)不是函数义工)的极值,(0,7函数也不是曲线y = /(x)的拐点.6.设人=尸一叫+了)也/J 0XA. /, < /2 < 1.B. 1 < /, < I2.C. /! < 1 < I2.D. 72 < 1 < /).7 .设/(z)为连续函数,F(力=J：dyj(z)dLr,则尸'=A. /(/),C. -f(t).D. f(. z).8 .设3维列向量组内，a?线性无关,az

12、，也线性无关，而如，03线性相关，且%则下 列向量组中一定线性无关的是A. a, +a2 -a? +a.i .a：t - ai.B. a, .ai - a： -ai +a2 as.C. ai - a> .a, +a(.D. a - a> .a:! +a：i.9 .设4是正定矩阵,P是初等矩阵,则非齐次线性方程组PAPx = bA.无解.B.有唯一解.C.有无穷多解.D.不能确定是否有解.10 .设A,3,C都是2阶矩阵,AB = BC,若A有一个特征值为3,3的两个特征值为2, 2,则 矩阵C有一个特征值为A. - 2.B. 2.C. 一 3.D. 3.二、填空题：H16小题，每小

13、题5分，共30分.11 .设 /（了）=，久一】则 r（i）=.Ie, z = 1,12 .设y =其中函数/Cr）具有二阶导数,且lim 小二 =4,则宴|' JC I A /*0 JCCl«* |13 .定积分（后三口n（z+ 的值为.14 .若函数= d +»3 +C在约束条件J*? + 2/ = 9下的最小值为1,则常 数 C =.15 .设函数u = 及u =具有一阶偏导数，函数z = f（u,v）具有二阶连续偏2,导数,且 dz = （y/：+2z/：）dr+ （z«2y/：）dy,则方, =.16 .设向量a= （1,0, - l）,A =

14、aa,若矩阵A的特征多项式为fGD,则微分方程，'- y = /<x）的通解为.三、解答题：1722小题，共7（）分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .（本题满分10分）设/（1）=（1 + 1）（7 > 0）,求lim 当；-.18 .（本题满分12分）设定义在（-8,+8）上的连续函数八外满足方程/Cr） +U（f）d，= 2,求： J 0（1）函数八公的解析式；（2）曲线y = /Cr）的凹、凸区间与拐点.19 .（本题满分12分）设 D = （z,y） | 1 （ f< 2工,求：（1）平面图形D的面积；（2）平面图形。绕.y轴旋转一周所形成的旋

15、转体的体积.20 .（本题满分12分）ri （计算二次积分J dr1（x2+y2'）dy.21 .（本题满分12分）设函数/（x）在闭区间a,切上连续，且| f（x） | <= 0.证明：11 x/（x）dr竽（6 a）.22.（本题满分12分）已知实二次型，（©,%小）=*tAr的矩阵为A,且A-E = 0.AB 3B = O,其中1 1 2矩阵5= 2 1 4，求一个正交变换x = Qy,化二次型为标准形.1 1 2.数学（二）预测卷（二）试题第3页（共3页）2022年全国硕士研究生招生考试数学（二）预测卷（三）（科目代码:302）考生注意事项1 .答题前，考生须在

16、试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指 定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2 .选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书 写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题册上答题无效。3 .填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写 部分必须使用2B铅笔填涂。4 .考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。（以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、选择题：110小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是 最符合题目要求的.r? ,1 .设/'

17、;(Z)=(/廿/-1)出名(力=.若当Z-0+时,/(工)是8(工)的高阶无穷小,J 0而当H T 8时,是我 的高阶无穷小，则常数a的取值范围为 g(£) j (X)A. (4,6).B. (4,8).C. (5,6).D. (5,8).2 .设/Cr) = lim匚/工，则函数/Cr)有n-x> 1 十A. 一个跳跃间断点.B.两个跳跃间断点.C. 一个可去间断点.D.两个可去间断点.3 .设/(x)在工=0处连续，且lim 厘=2,则lim一幻一 sin/与Q £运= 10 XXA. 1.B. 2,C, 3.D.4.4 .设函数/(x) = (In/1)( I

18、n z 2)(In一),其中n为正整数，则f (e)=(1( 1 y,A.( “ (一1)!.B. i(n-l)!.ee5 .设函数f(z)在0,1上具有二阶连续导数，且/'(?) > 0.若/(后)业=0,则必有 A./(f )<0.B./(1)<0.C./(1)<0,D./(1)<0.6 .设函数/(h)在0,1上二阶可导,且/'(力V 0,则A.小。丁(0) Ve，"> 一乎。> <e/<1>/(l).B.空。>八1) </-»。> < 夕>/(0).C.e/(1

19、)/(0) <e/<n-e0)仪/.D. < 空" 一丫<。> < »”(0).7.设 D= Cr,y)|/+y2&2,z + N) /,a， 为常数,则！也三与 drdy = D X 丁A.6速(-1).B. j(n-2).C. W&l2).D. y(7T-l).8 .设A为加X”矩阵，r(A) = mV”,考虑下列四个命题：齐次线性方程组A4 " = 0只有零解；齐次线性方程组A' Ax = 0有非零解；对任意的"，维列向量6方程组心=b有无穷多解；对任意的»维列向量八方程组* x

20、 = b有唯一解.正确命题的个数为A. 0.B. 1.C. 2.D. 3.9 .设A,8均为4阶方阵,且厂(A) =4,r(B”)= 1,则齐次线性方程组(A，8)x = 0的基础解 系所含解的个数为A. 1.B. 2.C. 3.D. 4.0 A .10 .设A为3阶可逆矩阵，|A| = 2,C=- 八，则| - 2C| =、A O .A. 16.B. 128.C. -16.D. -128.二、填空题：n16小题，每小题5分，共30分.11 .设<p(1)=3，则函数y = w(z)2>的最小值为.12 .设/(h)为可导函数，且/XI) = O，/。)= j dyj则li邛=(1

21、 +) >/2 X2(x cos31,14 .曲线4.，的弧长为.= sin Z15 .设函数具有连续偏导数(0,0) = 1,£(0,0) = 2,£(0,0) = 4,z = z(x,y)是由方程f(xz,yz) = x3 +y z3所确定的函数，则dz|x = o =.16 .设A是3阶方阵，其特征值为2,3,4,将A的第2行加到第3行得矩阵B,再将8的第3列 的一 1倍加到第2列得矩阵C,则tr(2C+E) =.三、解答题：1722小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .(本题满分12分)求函数 f(z,y) = (2x3+3t2+&g

22、t;) 的极值.18 .(本题满分12分)讨论方程=工+1的实根的个数.19 .(本题满分12分)设/是第一象限内连接点A(0,l)与点8(1,0)的一段连续曲线弧,为该曲线弧 上任一点，点C为M在辽轴上的投影为坐标原点.若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为,求曲线弧L的方程，并求该曲线弧与抛物线y = 1所围成的平面图形的面积.20 .(本题满分10分)设a2且为常数,证明反常积分I =一 甩/收敛，并计算积分的值.J o 1十ar+x21 .(本题满分12分)rir Vi-x2计算二次积分J数学(二)预测卷(三)试题第I页(共3页)22 .（本题满分12分）设A为3阶实对称矩

23、阵,A的特征值为一 1, 一 L2,A，g =或其中§ = （-1,-1,1）T.（1）求一个正交变换x =仍,将二次型,x2 ,x3） = xtAx化为标准形；（2）求矩阵A.数学（二）预测卷（三）试题 第3页（共3页）2022年全国硕士研究生招生考试数学（二）预测卷（四）（科目代码：302）考生注意事项1 .答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指 定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2 .选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书 写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸

24、、试题册上答题无效。3 .填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写 部分必须使用2B铅笔填涂。4 .考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。（以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、选择题J10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是 最符合题目要求的.1.设当3-> 0+时，函数/（x）=W"一与4（彳）=sin jca是同阶无穷小，则常数学（二）预测卷（四）试题第3页（共3页）数a的值为2.3.4.A. 2.B.设工=2是函数八公=/与七A. 4,2.C.2,ln 2.C. 4-OD.3.的第一类间断点,则常数。，的

25、值分别为B. 2,4.D. In 2,2.设函数/（T）在（o,+°0）上可导，且/（工）<匹？，则 X设函数/（X）与g（x）满足r Cr） = 2g（z） ,g'Cz） = 2/（z）,且函数以工）在z = 0处取得极值2,则曲线3 =A. 1.f(x) g(N)B. 2.的渐近线的条数为C. 3.D. 4.5.也d»/=Usin(三)设“D(3) | Cr 1)2 + (y-lV 4 2,则A. L V J2 V hC 13 V L VArdy/ =卜山("2drdy,其中 D = DB./2Vl3 V八.D. h<I2< L.6.

26、二元函数/Cz）=(1,y) = (0,0)（«r,y） # （0,0）,在点（0,0）处必定7.A.C.A.连续且偏导数存在.C.不连续但偏导数存在. 下列反常积分收敛的是B.D.B.D.连续但偏导数不存在.不连续且偏导数不存在.f-fooo8.设4维列向量组a,债,。3,a线性无关次是实数,A =ai+32,住=。2+33，；=。3 +妞4仇=6 +，则向量:组小性，诙,小线性无关的充分必要条件为B. k 中 土 1.D. k =± 1.9.设A为（22）阶可逆矩阵，1 & i V j & ，互换A的第，行与第j行得矩阵3 ,A , ,B 分别为A,3的

27、伴随矩阵，则Z = 2所围成的平面闭区域.22.（本题满分12分）设二次型 f（© ,后，23）= ar?+xi+&c|+4x）X2+4xiX3+4x2-T3 的矩阵为 A,已知。=（1,1,（1） A的一个特征向量.（D求常数a,6的值;（2）求一个正交变换x = 3,将二次型/化为标准形.数学(二)预测卷(一)试题答案及评分参考一、选择题1 .答应选D.解 设£ = 5山2工,则在Z = 0的某一较小去心邻域内，有| sin z | = sin | 71 = , | 1 | = arcsin 77.故 /(sin2x) = i可化为/(/) = (arcs)而%

28、 >。).则有.r/、 r (arcsin -/xY 7 八lim/(x) = Iim-= lim = 0,1r*o+vXJ工又lim 9 = lim(arc*n G* = lim 4=+oo, lo+ X lo+ >JjC X l0' jcjx即当Hf 0+时JCr)为无穷小量，且为2的低阶无穷小量.【注】 判定当l-0+时，/(外为无穷小量是不可缺少的一步.2 .答应选A.解由于f(z)可导，因此' = /()可导.由微分的定义知，当Ar-0时,»-£!'为& 的高阶无穷小量，且dy为的线性主部,于是有= dy +o(Ar)

29、= y'Ax +o(D.当、=八了 3)时，有丁 = 3/r(合)，由题设有3/“才力匚3尸0.3,3/(-1) (-0. 1) = 0. 3,/(-I) =-1.3 .答应选A.解显然/(x)在区间0,1上满足拉格朗日中值定理的条件,于是有/(x)-/(0) = /($)T,O<f<x.根据题设，可知|J；3酸卜 |£)-/(O)dr|= |£r(f).rdr|W C I X($)-r | Ar = | f (?) | j-dx & f Air dr =M.JoJoJoZ4 .答应选D.解因为数学(二)预测卷(一)试题答案及评分参考第1页(共3

30、3页)8 .答应选B.解 当厂=”时，系数矩阵A为行满秩矩阵，所以增广矩阵(A ; b)的秩也为，从而方程 组Ax = b有解,故选项B正确.当r = 时，增广矩阵(A ;扪的秩可能为，也可能为所以方程组可能有解，也可能 无解,故选项A不正确.当厂=/«时，若r = m V ",则方程组Ax = 0有非零解，若r = m "，则方程组Ax = 0 只有零解,故选项C不正确.当时,方程组Ax =0只有零解,故选项D不正确.【注】 考核点为方程组的解与矩阵的秩.关键是当矩阵A的秩为"，时，矩阵A必有机阶非零子式，从而矩阵(A i b)也有，阶非零子式,又矩阵

31、(4 ：力行数为如所以其秩为日9 .答应选D.解 由于A.B均为5阶非零矩阵，且AB =O,故矩阵A.B均不可逆，从而r(A)44, r(B) <4.记B =(4,p2遇弧，仙)，由AB = O,得A(R,也，怯*0、.止)=(Afi.AfiAfi5) = (0.0.0.0.0),可知B的每一列均为方程组Ax = 0的解,故矩阵B的列向量组可由方程组Ax = 0的基 础解系线性表示，从而r(B)&5 r(A),即r(A)+r(B)&5.若B有4阶非零子式，又r(B) & 4,则r(B) = 4,r(A) & 5-r(B) = 1,又由于A为非零矩阵，即MA

32、)21,因此r(A) = 1.故选项D正确.当B有4阶非零子式时，必有1,2,3阶非零子式，此时r(A) = 1,故选项A,B,C均不正确. 【注】考核点为矩阵运算,矩阵的秩，线性方程组等.注意AB=O=r(A)+r(B)(5是 常用的结论.10 .答应选A.解由于/(© ,Xz ,X-s ) =(X1 +x2)2 + (网13)，+(为 +13)2=2x? + 2x1 + 2x1 + 2x 22X3 + 2xiX3，因此其矩阵为211A=12-1.1-12因为|力一4| =/(4-3)2,所以矩阵4的特征值为猫=的=3山=0,故二次型的规 范形为若+后.二、填空题应填sin 1.1

33、1.答解12.答解占义工）业=心3市空积分次序面'/母J 0 J XJo JO=I Zcos t2d/ = -sin t21 =sin 1.J oZ I o Z应填i一考.1 + sin x2dr= TJo1_1 + sin x2d(x2).当04z4百时=匚产?>0.故所求图形面积为 N1 + sin x10分数学（二）预测卷（一）试题答案及评分参考 第5页（共33页）Ip 1 . = 1.户 l-sinz>2 J o 1 4- sin t 2 J o 1 sin2Z_j_r2cos 11 o-环吗&=*2 J o cos t2 J o cos t 2=彦(y/2

34、 1)= 一 冬13.答 应填2,一2.解 设(ary， y2cos j;)cLr + (1 +6ysin x + 3jc2y2)dy 是(1)的全微分，则=axy3 - y2cos £, = 1 + 外sin x + 3jc2jz2.显然(科y)存在二阶连续偏导数，于是有普=普，即 dxdy dydx3ory2 2ycos r = by cos x + &xy2,比较系数得a = 2,b=-2.14.答应填2.解 由limf（幻=lim Qsinz = o,可知该曲线有一条水平渐近线= 0； j>-*oojr-*ooX由lim/（z） = lim（十.三±1

35、 = 8,可知该曲线有一条铅直渐近线 X-0lOXl0 XXz = 0；又由lim 9 = lim I十?sin“ = o,可知该曲线没有斜渐近线. X-X> xJT-oaX综上，该曲线有两条渐近线.【注】由lim/Cr） =0可知曲线、= /（外肯定没有斜渐近线，事实上不必再判定lim 3OO X15.答应填熹解如图所示，以桶的一个端面中心（圆心）为原点，铅直向下 的方向为工轴正向，建立平面直角坐标系，选取辽为积分变量， 设油桶的底圆半径为R,油的密度为p,重力加速度为g,则dFi = 2pgx y/R2 x2ir, dF2 = 2 闱（R + 丈）/R2 jc2 dr. 于是，Fi

36、= j：2陶:2 TAe =号R3,F2 = 1 2儆（R + z） VR2 x2 dr = 4图R J VR2 x2<Lr4限R jnR2 = npgR16.答应填3.解由于只有主对角线元素与（1,2）元含工,由行列式的定义知含有d的有两项，一项为主对角线元素的乘积二（1 - 2工）=n3一2/，且符号为正；另一项为（1,2）,（2,1）, （3,3）,（4,4）元的乘积公（1-2外=工2 2，且符号为负.从而Z3的系数为工 【注】考核点为行列式的定义.注意由行列式的定义知每一项为不同行、不同列元素 的乘积，故若选取了（1,2）元，则（1,1）与（2,2）元均不能再选取.三、解答题17

37、.证 显然函数sint在区间a,a+工口上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在 $6 (a,a+z"),使得sin(a +1”) sin a = xncos 63 分于是0 & I in - sin a | = | J sin(a +xn) sin adz& f | sin(a + z" ) sin a dr j o=J。| "cos £ | dz & J xndjc = ； .8 分当f 87-7 f 0,根据夹逼准则，可知 lim| 1” 一sin a| = 0,故 liml” = sin a.71 I 1»-*<

38、;»n-*818.解 由» = /二. Ar + o（3,有V 2 J7 - X2=1 -z | 0（最）y/2x 两边取极限，得y（x）r y v 1 _X _j_O（Az） lim U = hmtAr-0 X5/21 之工 X _1 -xx/2x x2y（z） = f J / ：dr = /2x x2 + C.J，2z z2又？（1） = 1,得 C=0,即 yCz） = V2x-x2.于是j （x）dr = j/2x x2dr = 1a/1 （x l）2drJ-1 = S，n< pcos = f.Jo4解 lim * 2 " / = lim 次 * 1

39、 了 一仁M（n2+：2）v6?T7 一仁G 口 +（上/沙 +（上）2=UJ d/rdy电（i+x2）/i+7=,毋M -i-d>J。1 +x2 Jo +y212分1庐6分-j-lnd +V2） 94其中区域。=（z,y） | 0&z&l,0&y&l12分20 .解由z = /R）,有Hz _ 1 /«/ /N 1 ,/为=37 ,方=宗/,则票+ =/'+等原方程可化为（1 + «2）/ + 2«/ = 0,7 分其中”=卫,解上述方程，得 X故/()= G arctan +C2，其中G(2为任意常数.12分21

40、.解 (1)容器的体积为 V = (“Vdy = 7tl, ydy = 87c(n?).5 分J 0J 0记液面在t时刻高为y =?,则液体体积为V=Ttj'" ydy,两边对，求导，有%L 二.肾一，又北匕")=1 m：'/min,故 at=L.£V(1)J|=3.1 = Lm/min).at I 必=i 7rly(E) d/ I y«)=i n 1k12分22 . （1）证设向量组a.Aa,Al线性相关,即存在不全为零的数M，居次3,使得ka I kiAa +3A:a = 0.（ * ）在（* ）式两端左乘AJ根据题设条件A：'

41、;a =（）,得MA% = 0,由于*a#0,因此跖=0. 于是（*）式变为kiAa + k3A a = （）.（ * * ）在（* * ）式两端左乘A,根据题设条件A'a = 0,得k2A2a = 0,由于Al卉0,因此A = 0.于是（*）式变为k3A2a = 0.由A”#0,得幻=0,与假设矛盾.故/总5线性无关.4分0 0 0,（3）解记8= 1 0 0，由于|加一川=厂，因此a=。是矩阵B的三重特征值.又 ,0 1 0.因为r（OE-B） = 2,所以方程组（OE-B）x = 0的基础解系由一个向量构成，即矩阵B数学（二）预测卷（三）试题答案及评分参考 第7页（共33页）数学

42、（二）预测卷（二）试题答案及评分参考一、选择题1.答应选A.解 当OVh&I时看专Vz,此时有工仔）"+陶）"+x"了 工羽;当1 Vz42时售亨工,此时有h & 传）”+酶）"+x" <x73j当工>2时受VhV、,此时有传）”+传）"+工"了，凉又lim%=1,故显然，/(了)在(0,+8)内处处连续.由于/(2) = 1,隹(2) = 2,因此/(才)在z = 2处 不可导.【注】本题是用夹逼准则求极限的题目，注意本题的放缩法.1 y” <& 2，夹逼准则Xf A(f 8).y

43、f, A,z” f A对于s +如+0，为有限数)，其放缩法为1 “max & "1 + 2 + ex2.答应选C.(ptan t _ sin t)布I vv7 J，A<«n x _ Asin jcqSin x ( tan LSin x _ 1 解im= k - = lim-卷=lime 底 _lo axd akxx-o akx=lim tan-in .*，d akxu数学（二）预测卷（二）试题答案及评分参考第8页（共33页）0, +8）上单调减少,从而当x>0时,/Cr） < /（0） = 0,即i一 ln（l +工）< ，也即土力 又因为

44、工1水1 +- >。，故R烹+工）> 2.于是2 >r ln（ 1 +.r）11 =L x-lnCl+a-） > L故m.7 .答应选B.解F（Z）= J dyj /（jr）cLr,F'W = 1 /（x）cLr,r（/）= /（-/）.8 .答 应选D.解 因为02，23线性无关,。】，。3线性相关，且中，故存在k W 0,1 ,使得小=31.因为1 0 1（。| I。2+处Q< +。1）=（。1）1100 1 111 1（Q1 。1 +5。1 +02 +。3 ）=（。2 &）0110 0 111均为可逆矩阵，所以Lr（a, +02 。2 图。3

45、 +qi ）= r（ai .a1+02，a】+ a? + a3） = r（a），a2 ,处）=2.于是，向量组ai +a->m2 +a3，图+因与向量组a «）+a?.6+妣 a：s均线性相关.若出=©，则a】，处.。1+a线性相关，故团+小不一定线性无关,由排除法 知应选D.也可直接证明a. +妣92 +柒一定线性无关.若存在M 花，使得囱（。1 +妣）+品（。2 +。3）=0.将a.=如代入上式得（M + kk2）ai + （&i +局）。2 =。.由于ai线性无关，因此+ kkz = 0,因为k # 1,所以3 =卜2 = 0.因此曲+。2+。3 一定线

46、性无关.Ui + k2 = 0.9 .答 应选B.解 因为A是正定矩阵,P是初等矩阵，所以A,P均可逆，从而PAP也可逆.因此，非齐 次线性方程组P APx = b有唯一解.10 .答 应选D.解因为B的两个特征值为2,2,所以|m=-4#0,即8可逆.于是，由的=比得B AB =C,即A与C相似,从而A与C有相同的特征值.又A有一个特征值为3,故C也 有一个特征值为3.二、填空题11 .答应填趣./（工）一/ex - e er x - 1 eJ - e - e(jr - 1)= hm： = hm；7T2l1 x1 一 i x-1)r eJ e v eJ e=hm etv = hm-z- =

47、-y.I lx - 1) l】N Z12 .答应填0.解 因为函数/(z)具有二阶导数，且limT = 4,所以 x-*0 Xf (0) = lim/7 (x) = lim/(x) 2+2 = 0 + 2 = 2, jr-*0x-*0从而r(0) = lim 仆)一逑=lim= 4. jc - 04()x由于d_ _ , /z - 1 1.2dr + 1 / (t + 1 )2 *= Z/J- 1 4 /“/ 一4dr2 x+ir (jt+1)47-(/+1)3,因此副 E = 1r(O)-1r(O) = lx4-1x2 = O.13 .答应填当+ 1.解 因为三是偶函数,ln（z+4=中）是

48、奇函数，而积分区间-1,是关于原 点对称的区间，所以由奇偶性、对称性并运用定积分的几何意义得J I，2 -j"2ln（z+ 71+j-2） + l<Lr = 2 J, >/2 x2cLr= 2（f+l）=f + L14 .答应填28.解作拉格朗日函数LCr，w；l) n/+y+c + xf+zy-g),则由方程组L： = 3x2 + 2Ax = 0,< Ly= 3y2 + 4灯=o,L： = f + 2y2 9 = 0,.ZHjc = IAjc =- 1, X °' (x =±3,解得1 _, 3 4G = 2, y =-2,卜=士忌 L

49、 =。.由于/(l,2) = 9 + C,/(-l,-2) =-9 + C, /(吗卜焉+c小一白一第+c /(3,0) = 27 + CJ(3,0) =-27 + C, 故函数/Cr,y) =/+V+C在约束条件/ +2/ =9下的最小值为/(-3,0) =-27+C. 由题意，-27 + C= 1,故C=28.15 .答 应填<+制4+2(72 y2)<4制<.解 由 dz =+ (£/：2x/j)dy,得 o N du dv o -yfu+2rfv,-=J：,-=-2y.于是n2= £+ y /t Z + 4 (- 2y) + 2z4 7 +/(-

50、2) ojcoy=£+13匕+2(工2 y2)4-4_T3£.16 .答 应填 y = Ge，+ C2erN3 + 2z2-6z + 4,其中C1,C2 为任意常数.解 因为4 =21.<1 = (1,0, 1),所以 r(A) = 1 ,tr(A) = a.a = 2,从而A 的特征 值为A = 0,0,2.于是,A的特征多项式为/(A) =A2(A-2),从而fS = /Cz 2).与微分方程y-y = /(x)相应的齐次方程的通解为V = 。亡+62-，.可设3/' >= /(丁)的一个特解为= &3+&2+° +。,代入

51、方程 y y = f(z),得 A =- LB 2,C =6,D = 4.故微分方程y" y = /(x)的通解为 y = Ge- + Cze; / + 2/ 61 + 4,其中 C, ,C2 为任意常数.三、解答题17 .解 对/（了）=（1 +q）两边取对数，得In/（工）=工口!1（1+Z）-In z,两边对z求 导,得7八工）=In1+7 171+/数学（二）预测卷（二）试题答案及评分参考 第10页（共33页）八工)=(1+)(i 1 + JC In i ,x 1 +«r从而/(1) = 2ln2-l.于是lim .r-1. limeZe/aT ie(e1 - 1)

52、= elimVj-i jr - 1=e lim检二抖l1 JC - 1=e，(l) = e(21n 2 1).10 分18 .解 由于函数f(x)连续且满足方程f+1力出=2,因此f(x)可导.方程 J 0fix) + f = 2两边对/求导，得/'(z) += 0,这是可分离变量的微分方J o程，其通解为八外=Cef又由原方程得/(0) = 2,故C= 2,从而八工)=2e-+?.6分(2)函数 f(x)的定义域为(一8, 4-oo), f (a-) =- 2ze +尸，/(I)= 2(jt2 De令/"(i) = 0,得x 1,7 = 1.列表讨论如下：X(8, -1)-

53、1(-1,1)1(1, +8)义工)+00+y - /V)U2eTn2e+u由上表可知：曲线的凹区间是(-8, - 1及口，+8),凸区间是- 1,1，拐点是 (及(1,2卜),12分19.解(1)由对称性，平面图形。的面积为A = 21d0f rdr = f 4cos20d0- -yJo JiJ o3=21(cos 26+ l)cl0 - -y = sin 2o + 等=§ + 年 4 分J o310 o L o(2)V = 2k£(1 + /T7)2-(1-一陶2兀(1 y2) (1 V i y2)2 dy=8k j /I y2 dy 2n j"(2 M1 1

54、)心 «=8兀 工江47ry/1 y2 dy + Rk4 J o、 "" 2兀2 - 4k f cos2/dr 十悟五=2兀 (1 + cos 2z)dr + 2兀2+6兀 J 0=-2支,+ sin 2t j j + 2k2 + V3k'dr '/77(x2+3r2)d>=J 0J 1xJ 0dgj t r3dr4 分cm伊卜in 94 fo D (cos 6+sin 6)4_ JL _ 8f -由 16Jo sin4(0 + -J)=A一 8一兼f esc，伍十多曲_ 2L一 8+ ' C "(0+f )+ ldcot(

55、0+f )=JL 8+ lCOt3(0+f)+cOt(0+f) 0=A8+ 16.( 3)8 6-I2分1_贯2 含加+ 27r27r = A2 + 整兀12 分«JLJJ乙20.解21.证 令F（z） =1/（，）&.由于函数f（z）在闭区间a,切上连续，故F（外在a,幻上可 导，且FCr） =/Cr）.对VxE （a，»，由拉格朗日中值定理，存在& £ （a,z）,& 6 （工而, 使得F(x) F(a) = f(i)(jr a) 9F(b) F(x) = /(&)(6 z).注意到 F(a) = J /(x)dr = 0,F(A) = J f (x)dr = 0,得F(x) = /(fi)(7 a),F(z) =-/(&)(0 一N)4 分由于因此/FCr)dr|= |j：FCr)dr+；FCr)dr=|/(&)(/ a)" +、-/(&)(6 N) dr I(i a)dr +。l/(&)I S z)ir数学（二）预测卷（二）试题答案及评分参考 第10页（共33页）aJ(。-a)2 (b a)2 "I M z, x2i八八=M_8+8r 7(/,-a) i° 分|