球与正三棱锥和正三棱柱的切接关系实用教案

1、OPABCDKH正三棱锥的内切球的球心(qixn)在它的高上(与外接球的球心(qixn)不一定重合）有关正三棱锥内切球半径的计算，通常利用RtPHDRtPKO，或放在筝形OKDH 中进行。 OH=OK=r. 注意到球心O与棱BC中点(zhn din)D的连线平分二面角P-BC-A的平面角。把有关立体几何的计算(j sun)转化为平面几何的计算(j sun)，是最基本的策略。PHDOKrbrhhKOHDPOPDPKORtPHDRt36hbrhrPDHDOPOKP63sin或222222)63()33(hbhhba设正三棱锥底面边长为b，侧棱长为a， 高为h，斜高为h ，内切圆半径为r，bhbhr

2、363第1页/共17页第一页，共17页。正三棱锥P-ABC的侧棱长为1，底面边长为 ，它的四个顶点在同一个球面(qimin)上，则球的体积为 （ ）23622332AH339396122AHPAPHA解：设P在底面ABC上的射影(shyng)为H，则H为正ABC的中心.延长(ynchng)PH交球面于M，则PM为球的一直径，PAM=90由Rt中的射影定理得：232331,22RRPMPHPA，即2323343433）（球RV6.66.3.23.DCBAOPABCDMH法二由AHPH知：球心O在正三棱锥的高PH的延长线上。在RtAHO,有：23,)33()36(222RRR 题目：第2页/共17

3、页第二页，共17页。 题目(tm)：正三棱锥PABC的三条侧棱两两互相垂直(chuzh)，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为 ( )解析(ji x)：OPABCDKHPHDOK设正三棱锥侧棱长为a ，底面边长为b ，三侧棱两两垂直，各侧面都是全等的等腰直角三角形。ab2aaabahah3396)33(,222222高斜高bhbhr363代入正三棱锥内切球半径公式：得：aar633333133263323633Rr又 正三棱锥外接球半径 aR233: ) 13(.3: ) 13(.)33( :1.3:1.DCBAD第3页/共17页第三页，共17页。已知三棱锥PABC的四个顶点均在半径(bn

4、jng)为1的球面上，且满足PBPAPBPA00PBPA0PCPB0PAPC同理，PBPC, PCPA , 即PA、PB、PC两两互相(h xing)垂直4)2(2222RPCPBPA易知，该三棱锥三个侧面均为Rt，所以(suy)，其侧面积为2)(21)(21222cbacabcabS解析：222222222,2,2,2cbacabcabcaacbccbabba三式相加得：说明：,cPCbPBaPA设则三棱锥的侧面积的最大值为 （ ）41.21.1.2.DCBAA 题目：第4页/共17页第四页，共17页。提示：三棱锥三侧面(cmin)两两垂直 三侧棱两两垂直正三棱锥对棱互相垂直，即SBAC,又

5、SBMN,且AMMN,所以，SB平面(pngmin)SAC。故，SBSA,SBSC,进而，SASC.则三侧棱互相垂直。以S为顶点，将三棱锥补成一个正方体，则球的直径 设三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球大圆(d yun)的面积为 （ ）32SA在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MNAM，若侧棱则正三棱锥外接球的表面积是 （ ）C48.36.32.12.DCBACRSRSAR选即,364,3,3223SABCMN 题目：解析：34.9.32.3.DCBAC巩固练习第5页/共17页第五页，共17页。从P点出发三条射线PA，PB，PC两两成60，且分别与球O相

6、切于A，B，C三点(sn din)，若球的体积为 ， 则OP的距离为（ ）34axxaaPOPHPA26,36,22即0PABCHPABCO 因PA与球O相切于点A，OAPA,同理，OBPB,OCPC.RtPOARtPOB RtPOC PA=PB=PC又APB=BPC=CPA=60PAB、PBC、PCA、ABC为全等的等边三角形，P-ABC为正四面体(zhn s min t)；O-ABC为正三棱锥。解析：先想象(xingxing)一下图形，画出示意图由已知得球半径R=1，设PA=a，OP=x，设P在底面ABC上的射影为H（也是O在底面ABC上的射影），则AHPH.在RtPAO中，有：22222

7、1,xaPOAOPA即又3,2,2,234612222xaaaaa2.21.3.2.DCBAB第6页/共17页第六页，共17页。 4 球与棱柱切接问题(wnt)举例正三棱柱(lngzh)的外接球球心在上下(shngxi)底面中心连线的中点。AOB是等腰三角形，OA=OB=ROABCA1B1C1M222dr21d33r,tRhOMaAMROAAOMR，中在设球半径为R，球心到底面ABC的距离为d，ABC的外接圆半径为r.设正三棱柱高AA1=h，底面边长为a。正三棱柱的内切球如果一个正三棱柱有内切球，则球心为正三棱柱上下底面中心连线的中点，球直径等于正三棱柱的侧棱长。各面中心即为切点（共5个）。底

8、面正三角形中心到一边的距离即为球半径r。rarlhrahl322:, )则正三棱柱内切球半径为边长为底面正（即为其高设正三棱柱侧棱长为第7页/共17页第七页，共17页。解:在 中, , 可得由正弦定理,可得 外接圆半径r=2,设此圆圆心为 ，球心(qixn)为 ，在 中，易得球半径 ，故此球的表面积为. （2009全国卷理）直三棱柱 的各顶点都在同一(tngy)球面上，若 , ，则此球的表面积等于 。 真题赏析真题赏析(shn x)ABCEOOBACB1A1C1OBOORr120第8页/共17页第八页，共17页。（2009江西卷理）正三棱柱 内接于半径(bnjng)为2的球，若 两点的球面距离

9、为 ，则正三棱柱的体积为 111ABCABC362322,23222,60sin222rrr即：60sin2,180sin23ranran由公式：真题赏析真题赏析(shn x)由球面距离(jl)公式：得：,Rl332964422rRd83322)22(43243222dadShSV解析：222,2RABAOB设正ABC的外接圆半径为r球心O到平面ABC的距离为 8第9页/共17页第九页，共17页。一个(y )正方体的棱长为2，将八个直径各为1的球放进去之后，正中央空间能放下的最大的球的直径为 13 棱长为a的正方体外接球的表面积为（ ） 2222.2.3.4.aDaCaBaA B八个球的球心(

10、qixn)连线构成一个立方体，且其棱长为1.解析(ji x)：O1O7O1O7MN137171NOMOOOMNd设过对角线O1O7的对角面与球O1、O7分别交于M、N，如图。则所求为：作业：第10页/共17页第十页，共17页。已知体积(tj)为 的正三棱锥的外接球的球心为，满足 ,则三棱锥外接球的体积(tj)为 OBADC如图, 设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相(h xing)垂直，且，则AD两点间的球面(qimin)距离 . 提示：由已知得：球心O为正三棱锥底面ABC的中心。如图，则有PAM为等腰直角三角形，O为斜边PM中点。设底面正边长为a，侧棱长为b，则aaAOh

11、R332332aRb3624312939331231213343313133332aRaaaaShV得：由锥提示：21642222RADACABRAOD为等边三角形.323RlAOD即第11页/共17页第十一页，共17页。半径为1的球面(qimin)上有A、B、C三点，B、C间的球面(qimin)距离是 ，点A与B、C两点间的球面(qimin)距离均为 ，球心为O。23 Rl求： AOB，BOC的大小(dxio)； 球心到截面ABC的距离； 球的内接正方体的表面积与球面积之比解：球面(qimin)距离2BOC3AOCAOBOA=OB=OC=1 2,1,BCACABBOC是等腰直角三角形而222

12、,2BCrBCABCBACABC中点，外接圆半径外接圆圆心是的是等腰直角三角形，2221122rRdABCO的距离到截面球心 设球的内接正方体棱长为a，则332,223aRa:24:)332(64:6222RaSS球正：OBACAOBACOBCOCBA的正三角形都是边长为、1AOCAOB第12页/共17页第十二页，共17页。A、B、C是半径(bnjng)为1的球面上三点，B、C间的球面距离是 ，点A与B、C两点间的球面距离均为 ，球心为O。32求： AOB，BOC的大小； 球心到截面ABC的距离(jl)； 球的内接正方体的表面积与球面积之比解：球面(qimin)距离rOA=OB=OC=1 设球

13、的内接正方体棱长为a，则3,2BOCAOCAOB1,2BCACAB414sin,42cosBBABC中，易求在72,2sinrrBAC由正弦定理，72173741222rRdABCO的距离为到截面球心法二：易知AO垂直于平面BOC。OASdSVVOBCABCOBCAABCO3131,：得由721,14347dd：即332,223aRa:24:)332(64:6222RaSS球正：有人抄错题了，把 和 交换了一下，那么，答案还一样吗？23ACOABOBOCABC第13页/共17页第十三页，共17页。则三棱柱(lngzh)的体积为 （ ） 在棱长为a的正方体内有一个内切球，过正方体中两条互为异面直线(zhxin)的棱的中点作直线(zhxin), 该直线(zhxin)被球面截在球内的线段长为 ( )一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个(lin )底面都相切，已知这个球的体积为323aDaCaBaA)12(.22.21.41.348.324.316.396.DCBADCaONOM22易知aaaaMN26)21()21(22242)21(22MNOMdMNO的距离为到球心所以，aaadREK228141222222OHR 2易知球半径AOH323260OHAHaAOHAOHRt中，在348243,342RaShVa柱第14页/共17页